Сложив почленно все три уравнения, получим выражение для полной энергии:

* [ (x t e - y d i , + z f c ) - i ( . £ < u + -2e. d » + £ < b ) -

Так как во втором слагаемом выражение в скобках является полным дифференциалом давления, окончательно уравнение энергии примет следующий вид:

Все члены уравнения (4.3) имеют размерность энергии —

[т (Xdx + Убг/+ Zdz)] = j m — j = - ~ j = ML2T-2.

Единица энергии СИ —джоуль (Дж): 1 Д ж = 1 Н-м.

Так как в уравнение (4.3) входит масса т, которая при пе­ ремещении жидкости может изменяться, то для получения об­ щего выражения, не зависящего от массы, полный запас энер­ гии относят к единице массы, объема или силы тяжести.

Энергия, отнесенная к единице массы —удельная энергия, широко используемая при исследовании движения газов с пере­ менной плотностью.

Разделив выражение (4.3) на т, получим уравнение удель­

Р2

Для получения уравнения данной энергии необходимо выраже­

Размерность членов этого уравнения ML- 1T-2, единица СИ — джоуль на кубический метр (Дж/м3): 1 Дж/м3= 1 Н/м2= 1 Па.

Наиболее важна в гидравлике энергия, отнесенная к единице силы тяжести (особенно при исследовании движения капельных жидкостей). Для того чтобы получить уравнение такой энер­ гии, надо все члены выражения (4.3) разделить на mg:

Размерность всех членов уравнения (4.6) L, единица СИ — джоуль на ньютон (Дж/Н): 1 Дж/Н=1 м. В гидравлике — это напор, соответствующий высоте столба жидкости в метрах.

4.2. Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости

Рассмотрим установившееся движение элементарной струйки идеальной жидкости в декартовой системе координат, в кото­ рой плоскость хОу (рис. 4.2) горизонтальна, а из всех массовых

Рис. 4.2. Расчетная схема к выводу урав­

нения Бернулли

сил действуют, допустим, только силы тяжести, проекции кото­ рых на оси координат: Х= 0, У=0, Z = —g. Плоскость хОу назы­ вается плоскостью сравнения потенциальной энергии (gdz). С учетом всех этих условий уравнения (4.4) —(4.6) примут вид:

* ± + J lL + s i2 = o, 1 Р

— + — —|-dz = 0 . 2 ' pg '

Интегрирование уравнений (4.7) произведем для двух струйных моделей жидкости — с постоянной плотностью (несжи­ маемая капельная жидкость, газы при неизменных давлении и температуре) и с переменной плотностью (газы при изменяю­ щихся по длине потока давлении и температуре).

Для первой модели после интегрирования получим урав­ нения:

полной удельной энергии

Э ти выражения называются уравнениями Бернулли. Они являются основными при решении многих задач гидравлики и представляют собой математическую модель закона сохранения энергии вдоль элементарной струйки невязкой, несжимаемой Жидкости относительно принятой плоскости сравнения.

где k — показатель адиабаты равный отношению теплоемкости газа при постоянном давлении (ср) к его теплоемкости при по­ стоянном объеме (Cv): k = cp/cv. Для воздуха Л=1,4.

Для начальных условий

с=ро/рок, или p/pkl=Polp0k.

В интеграле / — выразим плотность газа через давление и

Р

начальные параметры: р= р0(р/р0) '/к- Тогда, вычисляя опреде­ ленный интеграл в пределах р0, р, получим:

или после преобразования,

^Ро ( Ро

Ь— 1 Ро \ Р

Используя эту зависимость, можно с достаточной степенью точности представить выражение интеграла в следующем виде:

Г dp _ k р

J Р k — I р '

Тогда уравнение удельной энергии относительно плоскости сравнения —

Так как p/p = RT (R — газовая постоянная, Т — абсолютная температура), уравнение (4.13) запишем в виде

Следовательно, при значительных перепадах давления и темпе­ ратуры по длине струйки полная удельная энергия равна сумме кинетической, потенциальной и тепловой энергий.

Уравнения (4.12) —(4.15) являются основными при исслед0. ваниях и расчетах движения сжимаемого невязкого газа.

4.3. Энергетический смысл уравнения Бернулли

Из уравнения Бернулли, полученного путем интегрирования Вы_ ражений баланса энергии (4.4) —(4.6), видно, что все его чл^цы представляют собой запас энергии, которым обладает едицИца

массы (4.8), объема (4.9) или силы тяжести (4.10) относитель­ но принятой плоскости сравнения (см. рис. 4.2).

Для более глубокого понимания энергетического смысла уравнения Бернулли выведем его, используя следующую теоре­ му механики: изменение кинетической энергии определенного тела при некотором его перемещении равно сумме работ всех сил (внутренних и внешних), приложенных к этому телу, при том же перемещении.

Выделим в элементарной струйке весьма малый отсек, за-

АГг = Аа>2А12 = AtoiA/j = A Гь

Масса отсека равна рДУ, а кинетическая энергия массы отсе­ ка при перемещении из первого положения во второе — pAV (u22—ui2)/2.

На выделенный объем действуют внешние силы: сила тяже­

равны piAo>i и р2Дю2 и направлены противоположно друг дру­ гу (см. рис. 4.2). Работа, совершаемая ими при перемещении,

можно записать как AV(pi—рг).

Работа внешних сил давления рв на боковую поверхность струйки равна нулю, так как они перпендикулярны к направле­ нию перемещения жидких частиц, двигающихся вдоль этой по­ верхности. В соответствии с теоремой об изменении кинетиче­ ской энергии можно записать:

рАП(ы22 — «12)/2,= р^АГ(г1 — z2) + AV(pt — р2) или

pAV + PgAVzi+ AVpt — РДУ~г~ + PgWz2+ AVpz.

Если все члены уравнения отнести к единице массы (разде­ лить на pAV), объема (разделить на AV) или силы тяжести

(разделить на pgAV), то получим соответственно удельную энер­ гию, давление и напор:

Уравнение Бернулли представляет собой математическое вы­ ражение закона сохранения энергии вдоль элементарной труб­ ки. Сумма его членов равна полному запасу энергии, которым обладает единица массы, полному давлению и полному напору относительно принятой плоскости сравнения.

Уравнения (4.16), в свою очередь, представляют собой меру энергии, которой обладает единица массы, объема или силы тяжести в данном сечении элементарной струйки относительно принятой плоскости сравнения.

Помножив все члены каждого уравнения соответственно на определенные значения массы, объема или силы тяжести, по­ лучим значение механической энергии в джоулях, которой об­ ладает жидкость, проходя через намеченное сечение. Таким об­

Hr = z. Сумма пьезометрического и геометрического напоров рав­ на статическому напору, который определяет запас потенциаль­ ной энергии единицы силы тяжести в данном сечении струйки относительно принятой плоскости сравнения, HCT = HP+ HV. Сле­ довательно, полный напор представляет собой сумму скоростно­ го и статического напоров: Н = НСК+ Нст.

Пьезометрический напор измеряется п ь е з о м е т р о м — трубкой 1 (рис. 4.3), начальное сечение которой расположено по касательной к направлению скорости и. Сумма пьезометрическо­ го и скоростного напоров измеряется т р у б к о й Пи т о — трубка 2, входное сечение которой нормально направлениюско-

расти и. Разность показаний трубки 2 и пьезометра / соответ­ ствует значению скоростного напора, по которому определяют скорость:

вводят коэффициент скорости, определяемый тарировкой каж­ дой трубки. Тогда фактическая скорость жидкости

запишем для них уравнения полного напора, учитывая, что хотя

В каждом сечении поставим пьезометры и трубки Пито. Так как жидкость невязкая, уровни ее в трубках Пито 2 во всех се­ чениях будут одинаковыми. Превышения уровней жидкости в трубках Пито над плоскостью сравнения 0—0 соответствуют значениям полного напора. Соединив их прямой А—Л, получим линию полного напора, которая для невязких жидкостей пред­ ставляет собой прямую параллельную горизонтальной плоско­ сти сравнения 0—0.

Разность полного Я и скоростного Яск напоров соответствует статическому напору ЯСТ= Я—Яск, который равен сумме пьезо­ метрического и геометрического напоров. Графически линия статического напора получается в результате соединения пока­ заний пьезометров 3 линией В—В. Превышение ее над плос­ костью сравнения равно статическому напору HCT = p/pg+z. Для участков, имеющих равные по площади сечения, линия ста­ тического напора — прямая, параллельная плоскости сравнения, так как скоростной напор в этом случае одинаков по длине.

Давление внутри струйки определяется разностью высот между линией статического напора В—В и линией геометриче­ ского напора Е—£, проведенной через отметку центров тяжести сечений, и измеряется пьезометрами 3.

Рис. 4.3. Определение скоростного напора

При расчете длинных трубопроводов данный графический метод часто используют для определения необходимого стати­ ческого напора движущейся жидкости.

4.5. Уравнения Бернулли для элементарной струйки и потока реальной жидкости

4.5.1. Рассеивание энергии. Потери напора

Полный напор в любом сечении струйки вязкой жидкости опре­ деляется теми же составляющими, что и для невязкой жидко­ сти. Однако, значения полного напора в сечениях будут разны­ ми, так как часть энергии расходуется на преодоление гидрав­ лических сопротивлений (трение частиц жидкости друг о друга или о стенки). При этом часть гидравлической энергии преоб­ разуется в тепловую или механическую (колебание трубопро-