Гидравлика и гидропривод

В соответствии с правилом дифференцирования сложной функции проекции ускорений элементарных объемов среды в этой системе координат будут следующими:

Зная, что dx/dt = ux, dy/dt = uyy dz/dt = u2 являются проекция­

Последние слагаемые du/dt%duy/dt, duz/dt представляют со­ бой проекции локальных ускорений, которые обусловлены изме­ нениями скоростей во времени при фиксированных координа­ тах— местным локальным изменением, а первые три слагаемых в правой части (3 .2 ) — проекции конвективных ускорений, ко­ торые образуются за счет изменения координат частиц, соот­ ветствующих ее передвижению (конвекции): Конвективное ус­ корение возможно только при движении жидкостей и газов.

3.2. Виды движения 3.2. /: Установившееся и неустановившееся движение

Эти понятия вводятся только при исследовании движения жид­ кости в переменных Эйлера.

Установившееся (стационарное) движение жидкости — это движение, при котором все параметры, характеризующие его в любой точке пространства, не меняются во времени, т. е. в со­ ответствии с уравнением (3.2):

Пример установившегося движения — истечение жидкости из резервуара при постоянном ее уровне (приток равен расходу).

Установившееся движение является основным при гидравличе­ ских расчетах.

Неустановившееся (нестационарное) движение жидкости — это движение, при котором параметры, характеризующие его, изменяются во времени, т. е. в этом случае скорость частиц жидкости, проходящих через определенные точки пространства, изменяется во времени (см. рис. 3.1,6), и частные производные duxfdt=£0, диу/сИФ0, duz/ d t ^ 0. В свою очередь, зависимость ско­ рости частицы жидкости в намеченной точке пространства от времени приводит к изменению ее гидродинамического давле­

Пример неустановившегося движения — истечение жидкости из резервуара при переменном ее уровне (опоражнивание резер­ вуара).

Анализируя уравнение (3 .2 ), можно сделать вывод, что пер­ вые три частные производные физически представляют собой изменение скоростей вдоль той оси, на которую они проектиру­ ются. Если они параллельны оси, например трубы или канала, то являются продольными, а движение при этом — поступатель­ ное. Проекции частных производных скорости на другие оси ха­ рактеризуют изменение скорости перпендикулярно основному направлению и обусловливают вращение частиц жидкости (т. е.

вопределенных условиях движение может быть вращательным)

идеформацию объема движущейся жидкости.

Таким образом, элементарный объем жидкости совершает три вида движения: п о с т у п а т е л ь н о е , в р а щ а т е л ь н о е и д е ф о р м а ц и о н н о е . Влияние деформации элементарного объема в практических задачах несущественно, поэтому в гид­ равлике рассматривают в основном два вида движения — посту­ пательное и вращательное (вихревое).

3.2.2. Поступательное движение. Струйная модель движущейся жидкости

Основные задачи гидравлики — расчет и исследование парамет­ ров движения жидкости по трубам и каналам. В этих условиях основным видом движения является поступательное. Так как реальная жидкость представляет собой непрерывную среду, об­ ладающую свойством текучести и способностью заполнять объ­ ем того сосуда, в котором она находится, то при этом невозмож­ но производить исследования даже простейшего поступательно­ го движения. Поэтому, основываясь на методе Эйлера, для ис­ следований и расчетов используется с т р у й н а я м о д е л ц

4о

Рис. 3.2. Линия тока (а) и элементарная струйка (б)

жидкости, т. е. воображаемая жидкость, частицы которой про­ ходят через определенные зафиксированные точки пространст­ ва. Элементами этой модели являются: линии тока, трубки тока и элементарные струйки.

Линия тока — это линия, в каждой точке которой в данный момент времени вектор скорости жидкости совпадает с каса­ тельной к этой линии (рис. 3.2,а). В установившемся движе­ нии линия тока является траекторией движения частицы жид­ кости.

Трубка тока — это поверхность, образованная линиями тока, проведенными в данный момент времени через все точки беско­ нечно малого замкнутого контура, нормального к линиям тока и находящегося в области, занятой жидкостью.

Элементарная струйка — это часть движущейся жидкости, ограниченная трубкой тока (рис. 3.2,6).

Элементарная струйка обладает следующими важными свой­ ствами:

частицы жидкости не выходят из струйки и не входят в нее через боковую поверхность, так как данная поверхность образо­ вана линиями тока и, следовательно, в любой ее точке векторы скоростей направлены по касательным;

скорости частиц во всех точках одного и того же поперечно­ го сечения струйки одинаковы, что объясняется малыми разме­ рами поперечного сечения;

при установившемся движении форма струйки остается неиз­ менной во времени.

Поток движущейся жидкости рассматривается как совокуп­ ность элементарных струек, что соответствует струйной модели движущейся жидкости.

3.2.3. Вихревое движение

Поступательному движению жидкости часто сопутствует вихре­ вое движение, вызванное вращением элементарного объема. Угловая скорость элементарного объема жидкости называется вихрем, а касательная линия в любой точке вектора вихря —

выми линиями, проведенными через все точки элементарного замкнутого контура, называется вихревой трубкой, а жидкость, заключенная внутри вихревой трубки, — вихревой нитью-шну­ ром (рис. 3.3,6).

Расчетным вихрем является вектор угловой скорости враще­ ния частиц относительно мгновенной оси, а физическим вих­ рем — группа частиц, вращающихся как твердое тело вокруг не­ которой мгновенной оси.

Мгновенная ось вращения может быть неподвижной или пе­ ремещающейся в пространстве. Перемещающиеся вихри наблю­ даются позади какого-либо тела, движущегося в жидкости, и имеют вид колец, например, дыма или пара, выходящих из труб. В природе они часто встречаются в виде смерчей. Изуче­ ние перемещающихся вихрей имеет большое значение при кон­ струировании и исследовании лопастных машин, самолетов, при транспортировании твердых тел жидкостью.

В гидромеханике широко применяется понятие «циркуляция скорости» — кинематическая характеристика течения жидкости или газа, служащая мерой завихренности.

Циркуляция скорости вдоль замкнутого контура выражается криволинейным интегралом

(3 .3 )

где щ — проекция скорости жидкости или газа в какой-либо точ­

Размерность циркуляции скорости [ Г] =Ь2Т-1, единица СИ — м2/с,

где F=nr2— поперечное сечение вихревой трубки, со — угловая скорость вихря.

Циркуляция вдоль произвольно замкнутого контура, прове­ денного на поверхности вихревой трубки и охватывающего труб­ ку один раз, называется интенсивностью вихря (вихревой труб­ ки). Интенсивность вихря постоянна вдоль всей вихревой трубки.

В соответствии с теоремой Гельмгольца вихревые нити в жидкости не могут оканчиваться внезапно: они или простира­ ются концами в бесконечность, или замыкаются в кольца, или опираются на границы жидкости (например, на твердые тела).

Циркуляция скорости (если пренебречь рассеиванием энер­ гии) при удалении от вихря остается неизменной (T=const), следовательно, скорость по замкнутому контуру радиусом R (см. рис. 3.3, в), обусловленная вихрем, ищ= щгЩ.

3.2А. Равномерное и неравномерное движение

В зависимости от характера изменения скорости частиц жидко­ сти по длине пространства, заполненного ею, установившееся движение жидкости может быть: равномерным, при котором ее скорость постоянна (рис. 3.4,а); неравномерным, при котором ее скорость по длине пространства изменяется по величине и (или) направлению (рис. 3 .4, 6 , в); плавноизменяющимся, при котором ее скорость плавно изменяется по длине пространства (рис. 3.4, г, д). В последнем случае на практике можно с доста­ точной точностью применять законы равномерного движения.

Изменение массы жидкости в объеме AV за время At может быть только за счет изменения ее плотности, следовательно,

ограниченный поверхностью abdc (рис. 3.7,6). При такой длине живые сечения входа ас и выхода bd можно считать одинаковы­ ми и равными ш.

Так как направление средней скорости v параллельно оси х, проекциями ее на эту ось будут vx= v, vy = 0, vz= 0. Подставив эти значения в уравнение (3.18), получим d(pv)/dx=0. Следова­ тельно, ру = 0, а поскольку живое сечение (о = const, произведение этих величин также постоянно:

ство массового расхода.

В соответствии с формулой (3.19) для несжимаемой жидко­

Следовательно, средняя скорость жидкости обратно пропорцио­ нальна площади живого сечения.

Если при этом по длине потока изменяется и плотность жид­ кости, то

Выражение (3.23) справедливо для газов, если их скорость меньше скорости звука, и для капельных жидкостей при усло­ вии отсутствия кавитации.

П р и м е р 1. Определим среднюю скорость движения воды во втором сечении площадью 0,4 м2 при условии, что в первом сечении площадью 0,1 м2 ее скорость была равна 4 м/с.

Воспользовавшись зависимостью (3.22), получим

стоянного внутреннего диаметра со скоростью 10 м/с. Вследствие изменения

4.Какое движение считается установившимся, а какое — неустановившимся?

5.Какие виды потоков Вам известны?

жидкости под действием внешних сил и механическое взаимо­ действие между жидкостью и соприкасающимися с ней телами при их относительном движении.

4.1. Дифференциальные уравнения движения и баланса энергии идеальной жидкости

Вывод основных законов движения реальной жидкости чрезвы­ чайно сложен, поэтому в гидродинамике пользуются ее мо­ делью — идеальной жидкостью, которой в природе не существу­