Гидравлика и гидропривод

Рис. 4.5. Графическое опре­

деление потерь напора

вода) и рассеивается во внешнюю среду. Следовательно, напор

Тогда при р = const уравнения Бернулли для струйки жидко­ сти будут иметь вид:

Аналогичные коррективы введем и в правые части уравне­ ний Бернулли для струйки сжимаемого вязкого газа:

J^ - + T ^ T RTl+ g zi ^ ^ . + j ^ R T , + g z 2 + епот м ,

J ^ + l! L ] t t PL+ gz J ^ + ^ i n PL+ gh + eB0Vi_2.

ственно полный напор, полное давление и полный запас удель­ ной энергии элементарной струйки вязкой жидкости в сечении I—I относительно принятой плоскости сравнения.

4.5.2. Поправочный коэффициент к скоростному напору, определяемому по средней скорости

В отличие от элементарной струйки скорости частиц реальной жидкости в различных точках живого сечения потока неодина­ ковы, поэтому при определении кинетической энергии жидкости через ее среднюю скорость допускается неточность, которую необходимо учесть.

где dV — элементарный объем жидкости, проходящей через жи­ вое сечение струйки за время t, т. е. dV'=^«d(o.

Следовательно,

Отношение действительного скоростного напора к подсчитанно­

мерного движения вследствие искажения поля скоростей коэф­

рость v, введя поправку к скоростному напору //CK= ait>i2/2g, то получим уравнения Бернулли для потока вязкой жидкости:

Такие же коррективы вносят и в уравнения Для потока сжи­ маемого газа (4.24).

Рис. 4.6. Расчетные схемы:

а — к выводу гидравлического уравнения количества движения; б — к определению силы давления струи жидкости на преграду

4.6. Гидравлическое уравнение количества движения (уравнение импульсов)

Из механики известно, что проекция приращения количества движения перемещающегося тела на произвольно намеченную ось равна сумме проекций импульсов внешних сил на эту же ось, действующих на тело за соответствующий промежуток вре­ мени. Если внешние силы постоянны во времени, то

где ЪРХ— проекция действующих сил на ось х; v2x, v]x— проек­ ции конечной и начальной скоростей движения элементарной массы dm (проекции до импульса и после него) на ось х; dt — бесконечно малое время.

Мысленно выделим в потоке отсек жидкости АВОС (рис. 4.6,а), который, перемещаясь под действием внешних сил, за время dt займет положение A'B'D'C' Навыделенный отсек жидкости действуют силы: внутренние, попарно равные, дейст­ вующие противоположно, и следовательно, уравновешенные; внешние — сила тяжести, поверхностные силы гидродинамиче­ ского давления, действующие на торцовые поверхности (плос­ кости I—I и II—//), силы трения и реакции стенок.

Из уравнений (3.20) и (3.21) известно, что массовый расход при установившемся движении вдоль потока постоянен.

Масса жидкости,'втекающей в выделенный отсек и вытекаю­ щей из него под действием внешних сил за время dt, определя­

Уравнение (4.34)— это гидравлическое уравнение количест­ ва движения, или уравнение секундного количества движения, смысл которого заключается в следующем: при переходе от од­ ной выделенной в потоке контрольной поверхности I—/ к дру­ гой поверхности II—II сумма проекций на любую координатную

ту же ось средних скоростей жидкости, движущейся через конт­ рольные поверхности.

Рассмотрим струю жидкости, выходящую из цилиндрическо­ го насадка, расположенного нормально к преграде (рис. 4.6,6). Мысленно выделим отсек потока, ограниченный сечениями I—/

сила тяжести G, приложенная в центре тяжести отсека; сила реакции, равная силе давления струи на преграду с об­

ратным знаком, Rx= —Рх-

Силой трения в данном случае пренебрегаем.

Проектируя внешние силы и количество движения на ось ху получим: Gx= 0\ £>*2 = 0; vx\ = v\. Применяя гидравлическое урав­

где рд= pUi2/2 —динамическое давление.

4.7. Практическое применение уравнений Бернулли в гидравлике

Уравнения Бернулли широко применяются для решения многих практических задач, например, для расчета трубопроводов, ка­ налов, гидравлических машин, гидроприводов. Прежде чем при­ ступить к их решению, необходимо начертить схему потока, на­ метить на ней живые сечения (два или больше) и провести плос­ кость сравнения (горизонтальную плоскость, относительно ко­ торой сравнивают потенциальные энергии в сечениях).

Рис. 4.7. Схемы гидравлических систем [протяженного трубопровода (а) и су жающего устройства — трубы Вентури (б)

Сечения проводят нормально к направлению движения жид­ кости на участках равномерного движения и нумеруют по ходу движения жидкости, чтобы получить в правой части уравнения значения потерь напора в гидравлических сопротивлениях со знаком плюс. Сечения рекомендуется выбирать так, чтобы в од­ ном из них были известны значения всех слагаемых, входящих в уравнение Бернулли, а в другом было одно неизвестное (ис­ комое). Сечение может быть проведено и по свободной поверх­ ности жидкости, где ее скорость равна нулю. Кроме этого, же­ лательно принимать значения абсолютного давления, учитывая

горизонтально. В последнем случае энергия положения в одном или во всех сечениях равна нулю.

При нескольких неизвестных слагаемых уравнения Бернул­ ли для решения задач пользуются дополнительно уравнениями

проложенный по поверхности и имеющий переменные по высоте отметки.

Иногда говорят, что жидкость движется от сечения с большим давлени­ ем к сечению с меньшим давлением. Это неверно! Движение жидкости про­ исходит от сечения I большим напором к сечению с меньшим напором, что

(в трубе Вентури) движение жидкости происходит от большего сечения к

Рассмотренные выше уравнения позволяют установить общие качественные свойства движения и вычислить искомые функ­ циональные связи с помощью математических операций. Одна­ ко во многих случаях, особенно при движении вязких жидко­ стей, наблюдаемые физические процессы настолько сложны, что не поддаются описанию с помощью данных уравнений. В этих случаях главную роль играют экспериментальные методы иссле­ дования, результаты которых позволяют сформулировать зако­ ны, управляющие исследуемым процессом, записать их в виде математических соотношений и установить значения коэффи­ циентов (сопротивления, Кориолиса и др.).

Для того чтобы установить общие закономерности процессов по результатам экспериментальных исследований или использо­ вать эти результаты в тех случаях, когда сам эксперимент не­ посредственно не проводился, необходимо вникнуть в сущность изучаемых процессов и произвести общий качественный анализ их. Это можно осуществить с помощью теории размерностей и подобия, в которой важная роль принадлежит безразмерным параметрам.

Числовое значение размерных (именованных) величин зави­ сит от принятых масштабов, т.-е. от системы единиц. Безразмер­ ные (относительные) величины представляют собой отношение двух однородных физических величин, поэтому числовое значе­ ние их не зависит от выбора системы единиц (например, отно­ шение двух длин, отношение длины во второй степени к площа­ ди и т.д.).

А к с и о м ы т е о р и и р а з м е р н о с т е й :

числовое значение физической величины не зависит от вы­ бора единицы, т. е. при увеличении единицы измерения в i раз числовое значение данной физической величины уменьшается в i раз;

все члены уравнения, описывающего физический процесс, должны иметь одинаковые размерности.

Теория размерностей позволяет установить математическую зависимость исследуемой физической величины от основных (независимых) величин. В гидравлике в качестве основных ве­ личин целесообразно принимать скорость v0y характерный ли­ нейный размер /0, живое сечение <о0 и плотность жидкости р0, размерности которых соответственно: [и0] =LT“1; [/0]= L ;

[соб ] = L2; [po]=M L ~3.

Перечисленные величины являются независимыми, так как размерность любой из них нельзя получить, комбинируя размер­ ности двух других. В то же время, через их размерности мож­ но выразить размерность любой величины, входящей в функ­ циональную зависимость.

Например, известно, что сила давления потока жидкости

P = f(v0x, ©о", р0г).

В соответствии с аксиомой теории размерностей, все члены левой и правой частей уравнения должны иметь одинаковую размерность, т. е.

то и в правой части 2 = 1 . Аналогично, при значении показателя для Т, равном —2 , х = 2. Так как в левой части показатель сте­ пени для L равен 1, необходимо, чтобы и в правой части после умножения показатель при L был равен 1. Для этого определим показатель степени у из уравнения, составленного для показате­

Если имеется сложная функциональная зависимость, то для определения влияния каждой величины друг на друга пользу­ ются п-теоремой: всякое соотношение между л-размерными па­ раметрами, для измерения которых использовано k основных единиц v, а, р, можно представить в виде соотношения между (п—k) безразмерными комбинациями этих величин — ni, пг, я з .

Например, сила сопротивления при движении вязкой жид­ кости

<R=f(v, ю, р, р, g, р),

где v — скорость жидкости; со — живое сечение; р — плотность ‘жидкости; р — динамическая вязкость жидкости; g — ускорение свободного падения; р —давление жидкости.

= ML-3, [p]=M L 'T-', [g}= LT-2, [p ]= M L -4 -2; [v] = [p/p] =

= L2T“ 1 в уравнения (4.37) и (4.38). В результате решения этих уравнений получим:

И _ у . vlp vl

Следовательно, зависимость (4.39) можно представить в виде

Два явления подобны, если по известным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пере­ счетом, который аналогичен переходу от одной системы единиц к другой. Два процесса подобны, если они качественно одина­ ковы, а определяющие их критерии попарно равны.

Основными видами подобия являются: геометрическое, ки­ нематическое и динамическое.

Геометрическое подобие — равенство основных относитель­ ных линейных размеров и углов: ki = li/l2.

Кинематическое подобие — подобие полей скоростей и уско­ рений: Ui/o2= &ti= idem; /1//2 =

Динамическое подобие существует, если выполнены условия геометрического и кинематического подобий и если соотношения сходственных сил, действующих в потоке, одинаковые, выра­ жаемые критериями подобия.

Критерии подобия — это безразмерные степенные комп­ лексы, которые входят в математическое описание рассматри­

Иц

подобия при исследовании напорных потоков.