Гидравлика и гидропривод

(Ответ: 4,46 м.) 9. Определите расход жидкости в трубе при скоростном напоре 0,2 м

и диаметре труб 0,2 м.

(Ответ: 0,06 м3/с.)

5. ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

5.1. Потери напора по длине и в местных сопротивлениях

При движении потока реальной жидкости происходят потери напора, так как часть его затрачивается на преодоление гид­ равлических сопротивлений (см. гл. 4). Количественное опреде­ ление потерь напора — важная задача гидродинамики, без ре­ шения которой невозможно использование уравнения Бернулли для конкретных инженерных расчетов.

В соответствии с (4.31) общие потери напора в потоке

Нпот == t>cV2/ (2 g ),

т.е. зависят от скоростного напора HCK= v2/ (2g) и коэффициента сопротивления (коэффициента потерь) системы £с, определяю­ щего число скоростных напоров (или долей скоростного напо­ ра), которым соответствуют потери напора.

Обычно гидравлические сопротивления (и соответствующие им потери напора) подразделяются следующим образом:

сопротивления по длине, возникающие при движении жид­ кости по всей длине равномерного потока и зависящие от его длины;

местные сопротивления, возникающие при неравномерном движении жидкости в отдельных местах потока (на различных фасонных участках трубопровода или русла — в коленах, трой­ никах, задвижках, при внезапных сужениях или расширениях

потока и т. д.) и не зависящие от его длины.

По аналогии с Япот и в соответствии с (4.31), потери напора

где £дл — коэффициент сопротивления по длине равномерного потока.

Потери напора в зонах местных сопротивлений могут быть найдены по формуле Вейсбаха:

где Е;м — коэффициент местного сопротивления,

б

Наконец, в 1883 г. английский физик О. Рейнольдс теоретичес­ ки обосновал и на очень простых опытах наглядно показал существование двух принципиально различных режимов движе­ ния жидкости.

Экспериментальная установка Рейнольдса (рис. 5.1, а) сос­ тояла из резервуара / с испытываемой жидкостью, к которому была присоединена прозрачная труба 6 с краном 7 для регули­ рования скорости движения жидкости, а также из небольшого бачка 3 с жидкой краской, имевшей ту же плотность, что и ис­

рывного поступления жидкости в резервуар / и слива ее в верх­ ней части резервуара уровень жидкости все время поддержи­

а средняя скорость жидкости в трубе 6 вычислялась по ее рас­ ходу, измеряемому мерным баком 8.

При небольшом открытии кранов (сначала 7, а затем 4) можно было наблюдать, как попавшая в поток испытываемой жидкости краска двигалась на протяжении всего потока в виде тонкой прямолинейной струйки (рис. 5.1,6). Это свидетельство­ вало о том, что и частицы испытываемой жидкости должны двигаться также струйчато (слоисто). В противном случае, т.е. при поперечном перемещении частиц в потоке, струйка краски

была бы разрушена. Такой режим движения был назван лами­ нарным (от лат. laminare — слоистый).

При дальнейшем открытии крана 7, т. е. при увеличении ско­ рости потока, струйка приобретала вначале волнистые очерта­ ния, а затем почти мгновенно исчезала, разбиваясь сразу при входе в трубу 6 на отдельные части, которые, имея пространст­ венную форму, двигались по случайным, неопределенно искрив­ ленным траекториям, и продолжали делиться на все более мел­ кие части, так что в конце трубы уже трудно было различить отдельные частицы краски — они полностью перемешались с ис­ пытываемой жидкостью (рис. 5.1,в). Это явление доказывало существование в потоке не только движения вдоль оси, но так­ же и поперечного перемещения частиц, т. е. беспорядочного дви­ жения частиц испытываемой жидкости. Такой режим движения был назван турбулентным (от лат. turbulentus — бурный, беспо­ рядочный).

Рейнольдс провел на данной установке многочисленные опы­ ты, меняя род жидкости, ее скорость и температуру, а также диаметр и длину трубы. В результате этих опытов он устано­ вил, что критерием режима движения жидкости является без­

где R — гидравлический радиус потока (см. (3.5)].

Значения скорости и числа Рейнольдса, соответствующие пе* реходу ламинарного режима движения в турбулентный и нао­ борот, называются критическими (окР и ReKP). Критическое чис­ ло Рейнольдса является мерой количественной характеристики объекта, при достижении которой изменяется его качество.

По данным Рейнольдса для труб круглого сечения ReKP= =2320. При более поздних исследованиях на специальных уста­ новках, исключающих даже небольшие сотрясения, ученым уда­

время как переход из турбулентного режима в ламинарный про­

исходит обычно при Re^2320. Поэтому для практических рас­ четов обычно принимают ReKp = 2320.

В тех случаях, когда живое сечение потока является не круглым, а также когда в трубопроводе имеется большое число близко расположенных зон местных сопротивлений, значение критического числа Рейнольдса может отличаться от его значе­ ния, приведенного выше. Например, для гибких шлангов в 'си­ стеме гидропривода обычно принимают ReKp=1600.

Режим движения жидкости оказывает существенное влияние на гидравлические сопротивления и потерн напора, поэтому при

5.3.Ламинарный режим движения жидкости

иего закономерности

Ламинарный режим характеризуется параллельно-струйным упорядоченным движением частиц жидкости. Все основные за­ кономерности этого режима движения могут быть выведены

аналитически.

Рис. 5.2. Распределение скоростей потока по сечению при ламинарном режиме

течения:

а— расчетная схема; б — эпюра скоростей; в — эпюра касательных напряжений

5.3.1.Распределение скоростей и касательных напряжений по сечению

Распределения скоростей потока по сечению при ламинарном режиме можно рассмотреть на примере потока жидкости в го­ ризонтальной трубе круглого сечения радиусом г (рис. 5.2,а). Движение потока — установившееся равномерное. Мысленно вы­ делим вокруг оси потока объем жидкости в виде цилиндра, ра­ диус которого — у, а длина— /, и спроектируем все действую­ щие на него силы на ось потока. При установившемся равно­ мерном движении сумма проекций этих сил будет равна нулю:

вую поверхность цилиндра и направленной в сторону, противо­

Но с другой стороны, равнодействующая сила давления

АР = Л — Рч = (Pi — Pi) яУ2,

где р\ и /?2 — давления в сечениях I и II. Заменив (pi—р2) его значением pgli [см. уравнение (4.30)], получим

AP=pgliny2.

В соответствии с уравнением (1.9)

Т —— \iFdufdy,

где ц — динамическая вязкость жидкости p=vp [см. формулу (1.11)]; F—2nyl — площадь боковой поверхности цилиндра. Знак минус в уравнении указывает на то, что с увеличением

расстояния у от оси потока скорость частиц жидкости и умень­ шается. Следовательно,

Т = — vp2nyldu/dy.

Подставив полученные значения ДР и Т в равенство АР=Т. получим

Определим постоянную интегрирования С, задавшись гра­ ничными условиями у= г и у = 0. При у = г, т. е. у стенок трубы, скорость потока и = 0 вследствие прилипания частиц жидкости. Тогда уравнение (5.9) примет вид

0 = —— г2 + С, откуда С = — г2.

Подставив значение С в уравнение (5.8), можно найти ана­ литическое выражение закона распределения скоростей по се­ чению круглой трубы при ламинарном режиме движения, кото­ рое было установлено английским физиком Дж. Стоксом в XIX в.:

При у=0, т. е. на оси трубы, скорость потока максимальна:

движения эпюра скоростей по сечению будет иметь форму па­

т. е. изменение касательных напряжений т вдоль радиуса про­ исходит по линейному закону (рис. 5.2,в), причем Tmax= ptgr/2 при у = г (у стенки трубы), а тшц| = 0 при у = 0 (на оси трубы).

5.3.2. Расход и средняя скорость потока. Коэффициент Кориолиса

Зная распределение скоростей по сечению, можно аналитически, непосредственно по уравнениям (3.8), (3.11) и (4.27), вычис­ лить расход, среднюю скорость потока, а также коэффициент Кориолиса.

Мысленно выделим в поперечном сечении потока элемен­ тарное живое сечение кольцевой формы радиусом у и шириной dу (см. рис. 5.2,а). В соответствии с формулой (3.7), элемен­ тарный расход жидкости через такое сечение dQ —ud<D. Под­ ставим сюда вместо и его значение из уравнения (5Л0), а вме­ сто dco — его значение, равное 2nydy. Тогда

Заменим i в уравнении (5.13) его значением из выражения (4.30), т. е. t= (pi—P2)/(pgl), а вместо г подставим d/2. Тогда

Эта зависимость была впервые установлена в 1840 г. фран­ цузским физиологом Ж- Пуазейлем, исследовавшим движение воды в капиллярных трубках применительно к движению крови в кровеносной системе. Точнее, он получил зависимость Q=

— k(pi—p2)dAllt а связь коэффициента k с динамической вяз­ костью, т. е. k = л/ (128ц), была установлена позднее Дж. Сток­ сом.

Средняя скорость потока при ламинарном режиме движения может быть найдена из уравнения (3.11): v=QIсо. Если в него вместо Q подставить его значение из уравнения (5.13), а вме­ сто о — его значение, равное яг2, то

Из уравнений (5.15) и (5.11) видно, что при ламинарном режиме движения v/umах=0,5.

Аналогично расчету Q аналитически вычисляют коэффици­

равные Аа — 2пуйу и <о = яг2. После интегрирования получен­ ного выражения имеем а = 2 , что полностью согласуется с экс­ периментальными данными (см. 4.5.2).

Из полученного выражения видно, что при ламинарном ре­ жиме движения потери напора по длине прямо пропорциональ­ ны скорости в первой степени, а также зависят от вязкости жид­ кости и не зависят от шероховатости стенок труб.

Впервые зависимости расхода и потерь напора от вязкости жидкости были использованы выдающимся русским ученым и инженером В. Г Шуховым при расчете и строительстве мазутопровода. Для снижения вязкости перекачиваемого мазута, а следовательно, и потерь напора в этом трубопроводе, предва­ рительно подогревали мазут отработавшим паром паровых ма­ шин, которые в конце прошлого века были основным видом при­ вода насосов.

Умножим числитель и знаменатель уравнения (5.16) на 2v:

Сравнивая полученное выражение с (5.3), видим что коэф­ фициент Дарси для круглой трубы

64 _ 64

(5.17)

vd/v Re

Экспериментальные исследования показывают, что фактичекое значение X может отличаться от теоретического, определяе­ мого по формуле (5.17). В общем случае

где А — величина, зависящая от формы поперечного сечения и состояния трубопровода (вмятин, наплывов и т. д.), а также от вида, числа и расположения зон местных сопротивлений и др. Для маслопроводов гидроприводов обычно принимают Л ^ 7 5 .

Следует отметить, что выведенные выше закономерности и формулы (5.10)— (5.18) справедливы только для участков тру. бопровода с установившимся на определенном расстоянии от входа в трубу ламинарным движением. При входе же в трубу частицы жидкости имеют примерно бдинаковые скорости по се­ чению, и только в непосредственной близости от стенок (в тон­ ком пристенном слое), вследствие прилипания к ним частиц