1009

Ученые записки Казанского университета. Физико-математи-

ческие науки. – 2010. – Т. 152, № 4. – С. 225–237.

2.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности // Физическая мезомеханика. – 2010. –

Т. 13, № 3. – С. 21–30.

3.Ашихмин В.Н., Трусов П.В., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Ч. 1: Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред. – 2008. – Т. 1. – № 3.– С. 15–24.

ИДЕНТИФИКАЦИЯ И ВЕРИФИКАЦИЯ ЗЕРЕННОЙ МОРФОЛОГИИ ПОЛИКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МАТЕРИАЛОВ

А.И. Швейкин, И.Ю. Сергеева

(Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь)

Модели, описывающие эволюцию мезо- и микроструктуры поликристаллических материалов, имеют большое значение в нелинейной механике деформируемого твердого тела, позволяя, в частности, описывать процессы получения субмикрокристаллических и нанокристаллических материалов. В настоящее время при построении подобных моделей для описания поведения поликристаллов все большее признание находит подход, основанный на явном введении в структуру определяющих соотношений параметров, отражающих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры, и на формулировке эволюционных уравнений для этих параметров, называемых внутренними переменными [1]. В работе рассматриваются аспекты, связанные с описанием морфологии зеренной структуры в рамках построенной с применением данного подхода двухуровневой конститутивной модели неупругого деформирования поликристаллических металлов.

171

Всоответствие реальной зеренной структуре материала ставится некоторая выборка зерен, и модель описывает эволюцию данной статистической выборки (функции распределения зерен); применение статистического описания позволяет значительно уменьшить вычислительные затраты. Форма зерна принимается эллипсоидальной, что позволяет его описать с помощью симметричного положительно определенного тензора второго ранга, имеющего 6 независимых компонент (для описания 6 независимых величин – трех полуосей для размеров и трех углов для ориентации в пространстве). Данное допущение позволяет наиболее компактно описать форму зерна и ее эволюцию в процессе деформирования.

Вработе было аналитически определено уравнение сече- ния-эллипса в результате среза зерна-эллипсоида, поставлена и решена стохастическая задача верификации: определение шлифа (совокупности срезов зерен) по известной функции распределения формы-размеров зерен эллипсоидальной формы, проведен анализ получаемых функций распределений. Решение данной задачи предоставляет возможность сравнения функции распределения срезов зерен, полученной в модели неупругого деформирования поликристаллов, с опытными данными о зеренной структуре, полученными при экспериментальной реализации соответствующего нагружения.

Важной является и задача идентификации зеренной структуры поликристалла – восстановление по известной функции распределения срезов-эллипсов функции распределения зеренэллипсоидов. Выполнена математическая постановка задачи, предложен подход к ее решению, получены решения для частных случаев.

Модуль верификации зеренной структуры на основе разработанной модели включен в комплекс программ, с помощью которого проведено моделирование процессов различных нагружений образцов из поликристаллических металлов, получено описание эволюции внутренней структуры

172

(в том числе зеренной структуры), результаты согласуются с опытными данными.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Пре-

зидента РФ №МК-3989.2012.1 и РФФИ (гранты №12-08-01052-а, №12-08-33082-мол_а_вед, №13-01-96005-р_Урал_а).

Список литературы

1.Моделирование эволюции структуры поликристаллических материалов при упругопластическом деформировании / П.В. Трусов, В.Н. Ашихмин, П.С. Волегов, А.И. Швейкин // Ученые записки Казанского университета. Физико-математичес-

кие науки. – 2010. – Т. 152, № 4. – С. 225–237.

2.Ашихмин В.Н., Трусов П.В., Швейкин А.И. Двухуровневая модель стационарных процессов упругопластического деформирования. Ч. 1: Алгоритм // Вычислительная механика сплошных сред.– 2008. – Т. 1. – № 3. – С. 15–24.

ПРИМЕНЕНИЕ ДВУХУРОВНЕВЫХ МОДЕЛЕЙ ПОЛИКРИСТАЛЛОВ ПРИ РЕШЕНИИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

А.И. Швейкин, П.В. Трусов

(Пермский государственный национальный исследовательский университет, Пермь)

В ряде технологических процессов за счет изменения внутренней структуры при достижении глубоких пластических деформаций получают материалы с уникальными свойствами: субмикрокристаллические, нанокристаллические, текстурированные, способные к сверхпластическим деформациям. В последние десятилетия весьма интенсивно развиваются так называемые физические теории пластичности (ФТП), явно описывающие структуру материала и механизмы неупругого деформирования на уровне кристаллитов, что позволяет естест-

173

венным образом описать эволюцию структуры и эффективные свойства при глубоких пластических деформациях.

Предложены двухуровневые статистические модели неупругого деформирования поликристаллических металлов. На макроуровне рассматривается представительный объем поликристаллического металла, состоящий из совокупности кристаллитов – элементов мезоуровня [1]. В качестве определяющего соотношения на макроуровне выступает закон Гука в скоростной форме, входящие в него внутренние переменные макроуровня (неупругая составляющая деформации скорости, эффективные анизотропные упругие свойства и тензор, описывающий движение подвижной системы координат) в каждый момент зависят от структуры на низших масштабных уровнях, определяются с помощью условия согласования определяющих соотношений на различных масштабных уровнях [2]. На мезоуровне для каждого кристаллита (число элементов мезоуровня должно быть достаточным для статистического описания представительного объема на макроуровне) применяется упруговязкопластическая [2] или упругопластическая [1, 3] модель с описанием ротаций кристаллической решетки с учетом несовместности скольжения дислокаций в соседних зернах.

Разработан алгоритм использования предложенных моделей для решения краевых задач с помощью метода конечных элементов в пакете Abaqus. Для этого разработан алгоритм реализации предложенных моделей в пользовательской процедуре UMAT, включающий интегрирование уравнений конститутивной модели для определения напряжений и внутренних переменных различных масштабных уровней на конец шага и определение матрицы текущих секущих.

Стоит отметить, что во многих существующих моделях [4, 5] в явном уровне не рассматриваются определяющие соотношения на макроуровне, однако при численной реализации в пакете Abaqus осуществляется введение макромасштабного уровня (точка интегрирования, соответствующая выборке кристалли-

174

тов), где автоматически используется производная Яуманна тензора напряжений Коши. Показано, что такой подход может приводить к физически некорректным результатам по причине нарушения согласованности в двухуровневойматематической модели.

С использованием разработанного программного комплекса проведено моделирование процессов различных нагружений образцов из поликристаллических металлов, получено описание эволюции внутренней структуры и эффективных макроскопических упругих и пластических свойств поликристаллических материалов, результаты согласуются сопытными данными.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Пре-

зидента РФ №МК-3989.2012.1 и РФФИ (гранты №12-08-01052-а, №12-08-33082-мол_а_вед, №13-01-96005-р_Урал_а).

Список литературы

1.Моделирование эволюции структуры поликристаллических материалов при упругопластическом деформировании / П.В. Трусов, В.Н. Ашихмин, П.С. Волегов, А.И. Швейкин // Ученые записки Казанского университета. Физико-математи-

ческие науки. – 2010. – Т. 152, № 4. – С. 225–237.

2.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1. – С. 33–56.

3.Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Анализ деформирования ГЦК-металлов с использованием физической теории упругопластичности // Физическая мезомеханика. – 2010. –

Т. 13, № 3. – С. 21–30.

4.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 5. – С. 5–30.

5.Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физическая мезомеханика. – 2011. – Т. 14, № 4. – С. 17–28.

175

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГАЗОДИНАМИКИ АТМОСФЕРНОЙ ЛЕТАЮЩЕЙ ТАРЕЛКИ

И.А. Шестаков, А.В. Вахрушев, А.А. Чернова

(Институт механики УрО РАН, Ижевск)

В настоящее время актуальной задачей является создание летательного аппарата с вертикальным взлетом и посадкой. Это решит проблему загруженности дорог, так как открывает массовое использование третьего измерения для безопасного перемещения пассажиров. Создание такого летательного аппарата также решит проблему освоения Дальнего Востока России, обеспечит удобство в перемещении на расстояния до 3000 км без использования аэродромов и взлетных полос, при наличии топливозаправочных станций и взлетных площадок.

Достоинства разработанной компоновки (рисунок): используется один центральный реактивный двигатель, что значительно упрощает конструкцию и техническое обслуживание; вся верхняя поверхность выполнена выпуклой по профилю самолетного крыла, что обеспечивает создание дополнительной подъемной силы при горизонтальном полете и значительное уменьшение сопротивления воздуха при движении вдоль вертикальной оси симметрии; простота конструкции и малый вес реактивной установки; прямое преобразование действия продуктов сгорания на поверхность в подъемную силу на основании закона аэродинамики; простота управления – достаточно трех гидроцилиндров, управляющих положением мотогондолы относительно корпуса летающей тарелки; устройство корпуса обеспечивает высокую жесткость конструкции и, как следствие, безопасность.

176

Рис. Атмосферная летающая тарелка (образование подъемной силы)

Проведено математическое моделирование: газодинамический расчет рабочих параметров двигателя летательного аппарата – давление, скорость. При расчете газодинамики используется метод контрольных объемов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРОЧНЕНИЯ В МОНОКРИСТАЛЛАХ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФИЗИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПЛАСТИЧНОСТИ

А.Ю. Шуваев, П.С. Волегов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь)

Проблема описания упрочнения монокристаллов, составляющих поликристаллический агрегат (ПКА), сопровождающего процессы глубокой пластической деформации, является на данный момент одной из основных задач построения

177

физически обоснованных теорий пластичности. Изменение физико-механических свойств образца в процессах обработки металлов является следствием существенной перестройки микро- и мезоструктуры материала. Описывать такие процессы невозможно без изучения и создания соответствующих моделей, в явном виде учитывающих физические первопричины эволюции микроструктуры материала при больших деформациях [1].

Упрочнение – это повышение сопротивляемости металлов и сплавов пластической деформации или разрушению [2, 3]. Этот процесс связан с увеличением предела текучести – напряжения, при котором начинается пластическая деформация. Существует множество различных процессов упрочнения: упрочнение Холла–Петча (зернограничное упрочнение), деформационное упрочнение, легирование, термическая обработка, мартенситное превращение и другие. В данной работе ограничимся рассмотрением лишь деформационного упрочнения. Как известно, основным механизмом пластического деформирования является движение дислокаций. При этом движущиеся дислокации взаимодействуют с другими дислокациями, примесными атомами, границами зерен и другими барьерами. В результате напряжение, необходимое для преодоления таких барьеров, возрастает, увеличивается предел текучести, т. е. материал упрочняется.

В настоящей работе рассмотрены вопросы, связанные с построением математической модели деформирования монокристалла с учетом упрочнения, на базе физических теорий пластичности. Рассмотрены теоретические основы деформационного упрочнения, осуществлена постановка задачи, приведен алгоритм реализации модели. Выполнено построение модели и идентифицированы параметры для монокристалла алюминия в опыте на одноосное деформирование. Проведена процедура идентификации и верификации параметров модели на основе экспериментальных данных по одноосному нагружению моно-

178

кристаллов алюминия со скоростью деформации 10−3 с−1 . Диаграммы «напряжение–деформация», полученные в результате численного моделирования одноосного деформирования монокристалла алюминия с указанными выше параметрами, и диаграмма, полученная из эксперимента, показывают удовлетворительное согласование, что свидетельствует об адекватности построенной модели.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

(гранты №12-08-01052-а, №12-08-33082-мол_а_вед, №12-01-31094-

мол_а, №13-01-96006-р_урал_a), гранта Президента РФ №МК390.2013.1.

Список литературы

1.Многоуровневые модели неупругого деформирования материалов и их применение для описания эволюции внутренней структуры / П.В. Трусов, А.И. Швейкин, Е.С. Нечаева, П.С. Волегов // Физическая мезомеханика. – 2012. – Т. 15, № 1.–

С. 33–56.

2.Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник Пермского государственного технического уни-

верситета. Механика. – 2011. – № 3. – С. 146–197.

3.Трусов П.В., Волегов П.С., Янц А.Ю. Описание внутризеренного и зернограничного упрочнения моно- и поликристаллов // Научно-технические ведомости Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. Физико-

математические науки. – 2010. – Т. 2, № 98. – С. 110–119.

179

ИНИЦИИРОВАНИЕ ХИМИЧЕСКОЙ РЕАКЦИИ В ЭНЕРГЕТИЧЕСКОМ МАТЕРИАЛЕ ПРИ ПОГЛОЩЕНИИ ЭНЕРГИИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ МАЛОЙ ДОЛЕЙ ПРОДУКТА

В.А. Щербакова, А.Г. Князева

(Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск)

Исследована задача об образовании устойчивого (растущего) зародыша продукта разложения азида серебра при поглощении энергии лазерного излучения. Задача сформулирована в рамках классической тепловой модели и включает уравнение теплопроводности с источниками тепла: тепловым эффектом вследствие суммарной химической реакции разложения и в результате поглощения энергии лазерного излучения малой долей продукта. Скорость реакции зависит от концентрации реагента и температуры (в соответствии с законом Аррениуса). Второе уравнение – уравнение кинетики для суммарной реакции. Уравнения записаны в сферической системе координат.

Инициирование химической реакции в энергетическом материале – сложный многостадийный процесс, включающий прогрев, образование первичных продуктов разложения, накопление продукта, образование устойчивого зародыша, распространение реакции из очага, сопровождаемое эволюцией поля температуры, ростом давление в образующейся газовой полости, появлением механических напряжений в окружающей матрице.

Цель работы состоит в изучении условий, при которых инициирование реакции за пределами начального зародыша приводит к образованию устойчивого зародыша, скорость роста которого определяется как тепловыми, так и механическими процессами.

Предложенная нами модель учитывает известные варианты задач об очаговом тепловом взрыве и развитии реакции в ок-

180