1009

Без ограничения общности предположим, что отсчеты независимой переменной x равномерно расположены на отрезке

минированный характер, т.е. не содержит ошибочных наблюдений и случайных составляющих.

Приближенное представление функциональной зависимости будем искать в виде полинома определенной степени. Выбор степени полинома зависит как от эмпирической информации о функциональной зависимости (непрерывность, гладкость и т.д.), так и от надежности исходных данных. Предлагается один из способов решения поставленной задачи, основанный на конструкции специальной последовательности полиномов вида

Отметим, что эти полиномы по конструкции весьма близки к полиному Бернштейна*.

Ответ на вопрос о сходимости последовательности (1) содержится в следующем утверждении.

Утверждение. Если f C [0,1], то последовательность

построен по формуле (1).

* Коровкин П.П. Линейные операторы и теория приближений. –

М., 1959. – 212 с.

61

норме пространства C1 .

РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ СТРУКТУРЫ ТРАБЕКУЛЯРНОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ

А.А. Заборских, В.М. Тверье, А.А. Киченко

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь)

Скелет человека образован костями, различными по форме и конструкции. Однако строение костной ткани единообразно: все кости состоят из трабекул, образующих компактную (на поверхности кости) и трабекулярную (внутри кости) костную ткань. При нагружении согласно закону Ю. Вольфа [1] происходит перестройка структуры костной ткани и кость приспосабливается к силовому воздействию. Одним из наиболее удачных способов описания локальной структуры губчатой кости является симметричный положительно определенный тензор второго ранга – тензор структуры H [1, 2].

Построение тензора структуры осуществляется методами количественной стереологии, для чего необходимо определить ряд вспомогательных стереометрических величин. Все измерения проводятся на плоском шлифе губчатой кости или его изображении [2].

Реализован интерактивный алгоритм построения тензора структуры на образцах костной ткани. Исследовано поведение тензора H на различных модельных примерах и образцах костной ткани. Показано, что тензор структуры отражает закономерности формирования трабекулярной костной ткани различных отделов скелета человека [2, 3].

62

Проведен эксперимент, позволивший построить тензор структуры для трехмерного образца мыщелка бедренной кости крупного рогатого скота, а именно производилось иссечение костного материала из дистального мыщелка бедренной кости. Для выявления структуры костной ткани образец подвергался прокаливанию в муфельной печи; температура и время прокаливания подбирались. После этого осуществлялась съемка трех взаимно ортогональных плоскостей образца [4].

На классическом примере растяжения одноосного ортотропного бруса было показано влияние различной ориентации структуры материала на напряженно-деформированное состояние. Продемонстрирован эффект «наведения» анизотропных свойств при изменении ориентации главных осей тензора структуры. На основе данного примера планируется рассмотреть на- чально-краевую задачу о перестройке трабекулярной костной ткани [5], решение которой позволит проследить изменение на- пряженно-деформированного состояния при формировании трабекулярной структуры.

Список литературы

1.Cowin S.C. Bone Mechanics Handbook. – Second edition. – New York: CRC Press, 2001. – 1136 p.

2.Экспериментальные методы в биомеханике / под ред. Ю.И Няшина, Р.М. Подгайца. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн.

ун-та, 2008. – 400 с.

3.Становление и развитие классической теории описания структуры костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, Е.Ю. Симановская, А.Н. Еловикова // Российский журнал биомеханики. – 2008. – Т. 12, № 1. – С. 68–88.

4.Экспериментальное определение тензора структуры трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, А.А. Заборских // Российский журнал биомехани-

ки. – 2011. – Т. 15, № 4. – С. 78–93.

63

5. Постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.А. Лохов // Российский журнал биомеханики. – 2012. – Т. 16, № 4. – С. 36–52.

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВОЗДУХА ВОКРУГ ЛОПАТКИ ГТД, СОВЕРШАЮЩЕЙ КОЛЕБАНИЯ

Р.А. Загитов, П.В. Трусов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь)

Современные газотурбинные двигатели характеризуются небольшим числом ступеней с увеличенной аэродинамической нагрузкой. Одновременно обеспечивая преимущества в эффективности и стоимости двигателя, это может приводить к нежелательным аэроупругим явлениям и, возможно, к разрушению лопаток. В работе рассматривается задача определения коэффициента аэродинамического демпфирования в компрессоре газотурбинного двигателя.

Для определения коэффициента аэродинамического демпфирования моделируется течение воздуха вокруг лопатки компрессора, совершающей колебания. При моделировании воздух считается идеальным газом, течение которого описывается системой уравнений Эйлера. Частота и форма колебаний лопатки фиксированы. Для численного моделирования использованы два метода: нелинейный гармонический метод и метод крупных частиц.

При интегрировании уравнений Эйлера методом крупных частиц расчетная область покрывается единой равномерной прямолинейной ортогональной расчетной сеткой. На каждом шаге интегрирования по времени лопатка перемещается по расчетной сетке. Для постановки граничных условий используются

64

фиктивные ячейки вдоль границ расчетной области. Для постановки граничных условий на криволинейных твердых границах (на стенках лопатки) используется аппарат дробных ячеек.

При решении системы уравнений Эйлера нелинейным гармоническим методом полевые величины раскладываются в ряд Фурье по времени. При этом исходная система уравнений распадается на N систем уравнений относительно коэффициентов разложения, где N – количество гармоник. Для дискретизации по пространству используется метод контрольных объемов на криволинейной структурированной сетке. Для учета колебаний лопаток система уравнений движения переписана для подвижного контрольного объема.

Наблюдается хорошее соответствие результатов расчетов экспериментальным данным при использовании обоих численных подходов. При этом нелинейный гармонический метод требует гораздо меньше вычислительных ресурсов.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ИЗНОСА КОЛЕЦ ИЗ НАНОСТРУКТУРИРОВАННОГО ТЕРМОРАСШИРЕННОГО ГРАФИТА ПРИ ЭКСПЛУАТАЦИИ КРАНОВ С УПЛОТНЕНИЕМ ПО ШТОКУ

А.В. Зайцев, Д.М. Караваев, Д.С. Рогов, А.М. Ханов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь)

Терморасширенный графит (ТРГ) – уникальный наноструктурированный материал, который вне зависимости от условий эксплуатации (повышенные температуры, термоциклирование, время контакта с агрессивными средами) обладает высокой термохимической стойкостью, низким коэффициентом трения, высокими упругими свойствами. Уплотнительные кольца (УК) из ТРГ надежны, не требуют дополнительной герметизации при эксплуатации, работают при температурах до 560 °С и давлениях до 40,0 МПа в кранах с уплотнениями по штоку.

65

Разработана модель начального режима работы изготавливаемых крупносерийными партиями УК из ТРГ, которые используются в кранах с уплотнениями по штоку [1]. Эта модель учитывает цилиндрическую анизотропию и экспериментально определенные [2] трибологические, прочностные и треплофизические характеристики ТРГ. Исследовались режимы работы («приработка», квазистационарный с и без износа) изготавливаемых крупносерийными партиями УК из ТРГ, которые используются в кранах с уплотнениями по штоку. Предполагалось, что УК (толстостенный, ограниченный по высоте линейно упругий однородный трансверсально-изотропный цилиндр) зафиксировано в сальниковой камере нажимной втулкой так, что во всех точках наружной поверхности исключены радиальные, осевые и окружные перемещения. На одной из торцевых поверхностей было задано давление герметизации со стороны нажимной втулки, а на другой – рабочее давление. На внутренней боковой поверхности были заданы перемещения в осевом направлении, что моделировало возвратно-поступательное движение штока в условиях «приработки» в направлении нажимной втулки и в противоположную сторону. Квазистационарный режим работы уплотнения предполагал отсутствие или наличие износа ТРГ, который моделировался заданием на поверхности контакта со штоком законов трения в виде условия пропорциональности радиальных и касательных напряжений или линейного закона изменения внутреннего радиуса цилиндра в зависимости от контактного давления и скорости движения штока. Для описанных выше условий на внутренней боковой поверхности толстостенного цилиндра были получены аналитические решения краевых задач [3] и определены напряжения, деформации и перемещения в поперечных сечениях УК. Проведена оценка начальной прочности УК по совокупности критериев с учетом реальных механизмов разрушения (частичные потери несущей способности от растяжения и сжатия в радиальном, окружном и

66

осевом направлениях, от продольного и поперечного сдвига). Полученные данные о местах расположения областей, в которых начинается разрушение ТРГ по различным механизмам, согласуются с результатами, наблюдаемыми при эксплуатации УК. Полученное аналитическое решение задачи об износе УК при возвратно-поступательном движении штока, в котором были использованы экспериментально определенные трибологические характеристики ТРГ, позволило подтвердить сохранение всех эксплуатационных свойств УК до 10 000 циклов работы запорной арматуры.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ–Урал № 11–01–00910).

Список литературы

1.Моделирование условий эксплуатации и уточненный прочностной анализ уплотнительных элементов из терморасширенного графита / А.В. Зайцев, Н.Г. Злобин, О.Ю. Исаев, Д.В. Смирнов // Вестник ПНИПУ. Механика. – 2012. – № 4. – С. 5–19.

2.Механические свойства композиционного материала на основе терморасширенного графита / Д.М. Караваев, А.М. Ханов, А.И. Дегтярев, Л.Е. Макарова, Д.В. Смирнов, О.Ю. Исаев // Известия Самарского НЦ РАН. – 2012. – Т. 14, № 1. – С. 562–564.

3.Зайцев А.В., Рогов Д.С. Моделирование начального режима работы кольца из терморасширенного графита в кранах

суплотнением по штоку // Известия Самарского НЦ РАН. – 2012. – Т. 14, № 5. – С. 1235–1238.

67

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ МНОГОМАСШТАБНОЙ СТРУКТУРЫ, СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИЙ В ВЫСОКОПОРИСТЫХ МЕТАЛЛИЧЕСКИХ ПЕНАХ И БИОКОМПОЗИТАХ

А.В. Зайцев, В.С. Кокшаров, Ю.В. Соколкин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь)

Стохастическая многомасштабная структура высокопористых материалов и биокомпозитов (пены, металлические губки, трабекулярная костная ткань) проявляется в случайности характерных размеров, формы и взаимного расположения пор. Прогнозирование эффективных деформационных свойств и определение статистических характеристик случайных полей напряжений и деформаций в компонентах этих материалов связаны с необходимостью решения стохастически нелинейных краевых задач, для построения приближенных решений которых требуются формулировка различных гипотез о характере парного и многочастичного взаимодействия в ансамбле пор и аппроксимации двух- и трехточечных моментных функций структуры второго, третьего, четвертого и пятого порядков.

На основе доказанных теорем о геометрическом смысле условных вероятностей [1] предложен новый метод аналитического построения многоточечных моментных функций случайной структуры композитов с круглыми в поперечном сечении туннельными и сферическими порами (2D и 3D пористые материалы), который позволяет записать выражения в виде рядов с конечным числом членов и разработать высокопроизводительные параллельные алгоритмы. Программная реализация этих алгоритмов, а также разработанных на основе комплексного применения аппарата кластерного и вейвлет-анализа процедур идентификации и классификации фаз позволила вычислить значения моментных функций, определить стохастические закономерности модельных и реальных случайных структур, а также

68

сформулировать новый критерий определения характерных размеров представительных объемов 2D и 3D пористых материалов. Детальный анализ сходимости рядов позволил исследовать такие закономерности, как наличие или отсутствие локальности, а также параметров порядка – квазидетерминированных (эффект самоорганизации) и периодических составляющих в случайных полях структуры. Получены аналитические выражения и проанализировано влияние законов распределения, описывающих разброс характерных размеров пор на производные моментных функций случайной структуры композитов в точках, соответствующих нулевым (по модулю) значениям аргументов. Из этих выражений для производных безусловных второго и условных двухточечных моментных функций третьего и четвертого порядка в частном случае, когда туннельные и сферические поры имеют одинаковый размер, при любых объемных наполнениях и малых значениях аргумента следуют равенства, впервые полученные П. Дебаем [2].

Если внутри фрагмента неоднородного материала можно выделить области, в пределах которых структурные напряжения и деформации постоянны, то после обобщения разработанный метод может быть применен для построения моментных функций случайных полей напряжений и деформаций. В рамках полидисперсных моделей для 2D и 3D высокопористых композитов из решения вспомогательных задач получены соотношения для условных и безусловных моментных функций второго и третьего порядка искомых полей, определены закономерности взаимодействия в ансамбле пор, сформулированы и доказаны теоремы об общих свойствах, о знаке производных, независимости от направления, в котором строятся эти функции, и координационного числа (количества ближайших пор, окружающих рассматриваемую) случайной структуры [3]. Следствиями из этой теоремы являются выводы о том, что если распределенные внутри представительных объемов поры имеют одинаковый радиус, то искомые производные обратно пропорциональны этому

69

радиусу; о существенном влиянии на значения производных типа закона распределения характерных размеров пустот; о локальной изотропии случайных полей напряжений и деформаций в приближении «малых расстояний». Кроме того, эти производные могут рассматриваться в качестве одного из возможных условий для верификации и отбраковки существующих и разрабатываемых моделей, используемых при построении приближенных решений стохастических краевых задач механики.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант РФФИ № 11– 01–00910).

Список литературы

1.Зайцев А.В., Кислицын А.В., Кокшаров В.C. Общие закономерности структуры, случайных полей напряжений и деформаций в волокнистых и дисперсно-упрочненных композитах // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. – 2011. – № 4, ч. 4. – С. 1485–1487.

2.Debye P., Anderson H.R., Brumberger H. Scattering by an inhomogeneous sold. II. The correlation function and its application // J. Appl. Phys. – 1957. – Vol. 28, № 6. – P. 679–683.

3.Зайцев А.В., Кокшаров В.C., Соколкин Ю.В. Производные моментных функций второго порядка случайных полей на-

цессы в сплошных средах (НПСС–2009): матер. всерос. конф. молодых ученых. – Пермь: Изд-во Перм. гос. ун-та, 2009. –

С. 103–106.

70