1009

сти данного процесса представлены в работах*. В данной работе на основе конечно-разностного метода построены решения задачи о разложении газового гидрата в пористых пластах конечной длины.

Рассмотрим плоскоодномерную задачу об отборе газа (метана) из пласта, содержащего в исходном состоянии газ и гидрат. При теоретическом описании процессов тепломассопереноса примем следующие допущения: пористость постоянна, газ калорически совершенный, скелет пористой среды, гидрат и вода несжимаемы и неподвижны.

С учетом принятых допущений уравнения сохранения масс, импульсов, энергии и уравнение состояния для газа можно записать в виде:

∂∂t (ρg mSg )+ ∂∂x (ρg mSg υg )= −mGρh ∂∂Sth , ∂∂t (mρl Sl )= −m(1−G)ρh ∂∂Sth ,

Здесь и далее нижние индексы sk, h, l и g относятся к параметрам скелета, гидрата, воды и газа соответственно, m – пористость; G – массовая концентрация газа в гидрате; ρj и Sj (j = sk, h, l, g) – истинные плотности и насыщенности пор j-й фазы; υg, kg, cg и µg – соответственно скорость, проницаемость, удельная теплоемкость и динамическая вязкость газовой фазы;

* Шагапов В.Ш., Мусакаев Н.Г., Хасанов М.К. Нагнетание газа в пористый резервуар, насыщенный газом и водой // Теплофизика и аэро-

механика. – 2005. – Т. 12, № 4. – С. 645–656.

81

p – давление; T – температура; Lh – удельная теплота гидратообразования; ρc и λ – удельная объемная теплоемкость и коэффициент теплопроводности системы.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ГУБЧАТОЙ КОСТНОЙ ТКАНИ ПОД НАГРУЗКОЙ

А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь)

Кости опорно-двигательной системы человека являются живыми, активно функционирующими и непрерывно обновляющимися органами. Известно, что развитие и функционирование костной ткани проходят под действием непрерывно изменяющихся механических нагрузок, при этом губчатая костная ткань наиболее быстро реагирует на изменение нагрузки.

Губчатая (трабекулярная) костная ткань является неоднородным пористым анизотропным материалом; механические свойства губчатой костной ткани так же анизотропны и в значительной мере определяются ее внутренней архитектурой. При этом структурные особенности губчатой костной ткани могут быть описаны посредством тензора структуры H [1]. Тогда поведение губчатой кости под нагрузкой можно описать посредством соотношения, связывающего тензор напряжений с тензорами структуры и деформации, и кинетических уравнений, описывающих эволюцию тензора структуры и плотности костной ткани [1, 2].

На основе существующих подходов [1–3] показан вывод определяющего соотношения, позволяющего описать напря- женно-деформированное состояние губчатой костной ткани с учетом ее структуры. Приведены эволюционные соотношения, описывающие адаптационные процессы, происходящие в кости.

82

Осуществлена постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани [4], которая может быть использована для изучения истории формирования костных структур во времени при различных видах нагружения.

Разработан алгоритм решения, и на ряде примеров показана эволюция трабекулярной костной ткани при изменении на- пряженно-деформированного состояния [5]. Для определения коэффициентов, входящих в эволюционные уравнения, проведен вычислительный эксперимент, в котором учитывалось, что адаптация костной ткани должна происходить за 160 дней.

Рассмотрена локальная область губчатой костной ткани, находящаяся в состоянии гомеостаза в течение достаточно долгого промежутка времени, причем соответствующие напряжен- но-деформированное состояние структуры и ее архитектура известны. В начальный момент времени задается однократное изменение условий нагружения, приводящее к перестройке трабекулярной микроструктуры. Новое напряженное состояние в заданной области при этом также считается известным неизменным в течение достаточно долгого промежутка времени. При этом воспроизведен классический пример [1] и рассмотрены различные варианты нового напряженного состояния. Результаты показывают различный характер влияния изменения нагрузки на процесс формирования структуры, что не противоречит закону Ю. Вольфа [5].

Список литературы

1.Cowin S.C. Bone Mechanics Handbook. – Second edition. – New York: CRC Press, 2001. – 1136 p.

2.Экспериментальные методы в биомеханике / под ред. Ю.И. Няшина, Р.М. Подгайца. – Пермь: Изд-во Перм. гос. техн.

ун-та, 2008. – 400 с.

3.Спенсер Э. Теория инвариантов. – М.: Мир, 1974. –

160 с.

83

4.Постановка начально-краевой задачи о перестройке трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.А. Лохов // Российский журнал биомеханики. – 2012. – Т. 16, № 4. – С. 36–52.

5.О приложении теории перестройки трабекулярной костной ткани / А.А. Киченко, В.М. Тверье, Ю.И. Няшин, М.А. Осипенко, В.А. Лохов // Российский журнал биомеханики. – 2012. –

Т. 16, № 4. – С. 53–72.

ДВУХУРОВНЕВАЯ МОДЕЛЬ ДЛЯ ОПИСАНИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОГО НЕУПРУГОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ ДВУХФАЗНЫХ МАТЕРИАЛОВ

Н.С. Кондратьев, П.В. Трусов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь)

В работе предложен подход к описанию неизотермического упругопластического деформирования двухфазных поликристаллических материалов на основе многоуровневого подхода, в основу которого положено рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах. Лидирующим механизмом неупругого деформирования на уровне отдельного кристаллита является скольжение краевых дислокаций. Следует отметить, что при моделировании многофазных материалов важным является вопрос о взаимодействии дислокации с границами соседних кристаллитов, что отражается в законах упрочнения кристаллитов.

Граница между кристаллитами является мощным препятствием для скользящих дислокаций и обладает барьерным действием, поскольку она характеризует резкое изменение систем скольжения краевых дислокаций при переходе через нее. Дислокация не может перейти из текущего кристаллита в соседний с сохранением вектора Бюргерса, поскольку такой дефект вызвал бы сильное нарушение упаковки атомов. Принимается, что

84

решеточная дислокация рассматриваемого кристаллита переходит в энергетически более выгодную систему скольжения соседнего, оставляя в границе дислокацию ориентационного несоответствия. Следующая решеточная дислокация, скользящая по той же системе кристаллита, будет испытывать дополнительное сопротивление движению за счет поля упругих напряжений ранее образовавшейся дислокации ориентационного несоответствия.

В работе рассматривается статическая двухуровневая модель неупругого деформирования двухфазных поликристаллов. Предлагается соотношение для критических напряжений по системам скольжения решеточных дислокаций, обусловленных влиянием границы на них. Численно реализован алгоритм предлагаемой модели поликристаллического агрегата. Результаты численного моделирования свидетельствуют о существенном влиянии зернограничного упрочнения на напряженнодеформированное состояние материала.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №12-08-01052-а, №12-08-33082-мол_а_вед, №12-01-31094-мол_а, №13-01-96006-р_урал_a), ФЦП «Науч-

ные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009–2013 годы» (мероприятие 1.2.2, Соглашение

14.B37.21.0382).

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ОДНОЙ СТЕРЖНЕВОЙ СИСТЕМЫ С ВЫПУКЛО-ВОГНУТОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ФУНКЦИЕЙ

А.В. Коркин1, В.В. Стружанов2

(1Уральский федеральный университет имени первого Президента России Б.Н. Ельцина, Екатеринбург;

2Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург)

Рассматривается система из нескольких параллельных стержней. Свойства каждого стержня определяются выпукловогнутыми потенциалами, являющимися функциями от их уд-

85

линения. Производные от потенциалов представляют собой полные диаграммы деформирования с падающими до нуля ветвями. Эти диаграммы характеризуют свойства стержней как на стадии упрочнения (восходящие ветви диаграмм), так и на стадии неустойчивого деформирования (падающие ветви диаграмм). Системы параллельных стержней объединены таким образом, что каждый стержень при растяжении системы имеет одинаковое удлинение. Данная система присоединена к упругому стержню, через который передается нагрузка растяжения. К свободному концу упругого стержня может быть приложена растягивающая сила (мягкое нагружение), или свободному концу задано перемещение (жесткое нагружение).

Для построения уравнений равновесия выписывается потенциальная функция (лагранжиан) всей системы. Эта функция также является выпукло-вогнутой. Производная от нее по параметру состояния (перемещение концов параллельных стержней) определяет уравнения равновесия для случая жесткого нагружения [1]. В силу того, что лагранжиан системы является выпукловогнутой функцией, уравнения равновесия могут иметь несколько решений, в том числе и неустойчивых. Таким образом, не выполняются условия корректности по Адамару [2].

Нахождение всех решений уравнений равновесия (всех возможных положений равновесия системы при заданной нагрузке) требует построения некоторой нетрадиционной для механики деформируемого твердого тела методики. Предлагается использовать хорошо известный метод Ньютона–Канторовича, в котором основную роль играет выбор начального приближения [3]. Для определения начального приближения применяется следующая процедура. Сначала строится сепаратриса потенциальной функции, которая разделяет пространство управлений (под управлением понимается внешняя нагрузка) на области с одинаковым числом решений уравнений равновесия. Каждая из этих областей разбивается на конечное число элементов. В пространстве состояний каждой такой области соответствуют

86

свои непересекающиеся области. Данные области разбиваются на конечное число элементов. Находятся отображения узлов этих элементов в пространство управлений, и находится самое близкое отображение к заданной внешней нагрузке. Этот элемент из пространства состояний и принимается за начальное приближение. Таких начальных приближений будет ровно столько, сколько решений имеют уравнения равновесия. Затем для каждого приближения реализуется процедура метода Нью- тона–Канторовича и находятся параметры всех возможных положений равновесия для заданной величины внешней нагрузки.

Работа выполнена по проекту Президиума РАН (проект УрО РАН № 12-П-1-1027).

Список литературы

1.Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. – Екатеринбург: Изд-во УрО РАН, 1995. – 192 с.

2.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. – М.: Наука, 1986. – 288 с.

3.Приближенное решение операторных уравнений / М.А. Красносельский, Г.М. Вайникко, П.П. Забрейко [и др.]. –

М.: Наука, 1969. – 456 с.

ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТОВ МОДЕЛИ ОШИБОК ВОЛОКОННООПТИЧЕСКИХ ГИРОСКОПОВ ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ

К.В. Коффер

(ОАО «Пермская научно-производственная и приборостроительная компания», Пермь)

Исследуются погрешности волоконно-оптических гироскопов в составе бесплатформенной инерциальной навигационной системы в рабочем диапазоне температур с использованием модели ошибок гироскопов.

87

Предлагается методика определения зависимости калибровочных коэффициентов модели ошибок (масштабных коэффициентов, смещения нуля и перекосов осей чувствительности) при изменяющихся температурах.

В соответствии с рабочим температурным диапазоном выбираются необходимые температурные режимы испытаний бесплатформенной инерциальной навигационной системы. Проводится «стандартная» процедура калибровки в условиях выбранных температурных режимов. На основании экспериментальных данных определяются зависимости калибровочных коэффициентов от температурных параметров (температуры, перепадов температур и их производных). По полученным зависимостям уточняется модель ошибок гироскопов, которая в дальнейшем может быть использована для компенсации температурных погрешностей гироскопов в реальном режиме времени.

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ ПЛАТФОРМЕННОГО НАЗЕМНОГО ГИРОКОМПАСА В РЕЖИМЕ ВЫСТАВКИ БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

А.Л. Кузнецов

(Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь; ОАО «Пермская научно-производственная и приборостроительная компания», Пермь)

На настоящее время в бесплатформенных инерциальных навигационных системах чаще всего применяется простой метод гирокомпасирования, использующий только данные датчиков угловой скорости (гироскопов). Целью работы было разработать метод выставки (гирокомпасирования) бесплатформенных инерциальных навигационных систем, отличный от

88

классического метода. В докладе описывается возможность создания алгоритма выставки бесплатформенной инерциальной навигационной системы на основе моделирования работы платформенных систем. В качестве исходных примеров для построения модели были использованы наземный гирокомпас

икорректируемый гирокомпас [1].

Входе исследования был создан авторский алгоритм моделирования работы платформенного наземного гирокомпаса на основе решения уравнения Пуассона в параметрах Родрига– Гамильтона [2].

Было проведено моделирование работы алгоритма при различных начальных условиях (при различных широтах и положениях объекта путем моделирования показаний датчиков угловой скорости) и различных параметрах моделей ошибок датчиков системы (без ошибок, с постоянной составляющей ошибки, со случайными ошибками и совместно с постоянной

ислучайной составляющими).

Взаключении доклада представлены результаты моделирования работы алгоритма в различных условиях, а также анализ основных источников ошибок работы алгоритма.

Список литературы

1.Ройтенберг Я.Н. Гироскопы. – 2-е изд., доп. – М.: Нау-

ка, 1975. – 592 с.

2.Savage Paul G. Strapdown Analytics. – Strapdown Associates, Incorporated, 2000. – 1556 p.

89

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ РАСТВОРОВ ПОЛИМЕРОВ НА РЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЧЕНИЯХ

Ю.Л. Кузнецова, О.И. Скульский

(Институт механики сплошных сред УрО РАН, Пермь)

Растворы полимеров – высокомолекулярные соединения со сложной молекулярной структурой. Благодаря своему строению растворы полимеров обладают как свойствами вязкости, так и упругости, которые проявляются в различных реологических эффектах: аномалия вязкости, возникновение нормальных напряжений при сдвиговом течении, наличие максимума на кривой течения. В настоящее время для описания течений высокомолекулярных жидкостей используется большое количество реологических моделей, каждая из которых имеет свои преимущества и недостатки. Изменение параметров модели может приводить к качественному и количественному изменению предсказываемых ею результатов, давать физически нереализуемые решения.

В данной работе рассмотрены две структурно-феномено- логических модели. Первая – модифицированная модель Вино- градова–Покровского [1], которая получена при рассмотрении динамики невзаимодействующих гантелей, движущихся в нелинейной анизотропной среде. Вторая – дифференциальновекторная модель, предложенная Реммелгасом, Харрисоном и Лилом (RHL-модель) [2], в которой макромолекула моделируется вектором, соединяющим концы молекулярной цепочки, а процессы ориентации и удлинения клубка макромолекулы предполагаются происходящими на различных временных масштабах. Проведено исследование предсказаний данных моделей для установившегося сдвигового течения. Определены диапазоны значений параметров моделей, в которых рассматриваемые модели описывают поведение псевдопластической жидкости, а также значение параметров моделей, при которых предсказы-

90