книги / Физика колебаний

Первое выражение можно рассматривать как меняющуюся со временем амплитуду колебаний с периодом 2π/ (ω2 −ω1 ). Максимальное значение амплитуды равно ϕ0 , а минимальное – ϕ0 (æ1 − æ2 )/ (æ1 + æ2 ). Колебания второго маятника представляют собой биения

случае минимальное значение амплитуды первого маятника приближенно равно ϕ0 (1−2 æ2 / æ1 ), т.е. амплитуда колебаний первого маятника изменяется мало. Максимальная амплитуда второго маятника приближенно равна 2ϕ0 æ2 , т.е. много меньше амплитуды первого

маятника. Таким образом, при слабой связанности обмен энергией между парциальными системами незначителен. На рис. 6.5 представ-

ϕ1 ϕ0

t

ϕ2

2ϕ0 æ 2

t

Рис. 6.5

211

лены соответствующие этому случаю колебания обоих маятников. С приближением æ1 к æ2 минимальное значение амплитуды перво-

го маятника уменьшается, т.е. растет перекачка энергии от первого маятника ко второму.

(для одинаковых маятников æ =1 ).

На рис. 6.6 представлены колебания маятников при равенстве парциальных частот ν1 = ν2 = ν. Оба маятника совершают биения,

огибающая которых сдвинута по времени на T / 4 (T = 4π/ (ω2 −ω1 )),

т.е. периодически происходит полная перекачка энергии от одного маятника к другому. В этом и заключается физический смысл поня-

т.е. обратно пропорционально коэффициенту связи α.

В любой реальной системе имеет место затухание с постоянной времени τ0. Наличие даже малого затухания может кардинально из-

менить картину колебаний в системе с малой связью, потому что колебания в первом маятнике успеют затухнуть быстрее, чем раскачается второй маятник. Таким образом, сильная связанность в системе проявляется только в том случае, если τ << τ0. При известном затуха-

212

ϕ1 T

ϕ0

t

æϕ0 ϕ2

t

Рис. 6.6

хании в системе это условие накладывает ограничение на величину минимальной связи, при которой происходит сильное взаимодействие двух систем.

6.3. Вынужденные колебания в связанных системах

Рассмотрим теперь вынужденные колебания в системе из двух индуктивно связанных контуров, в один из которых включена внешняя ЭДС õ(t) = õ0 cos Ωt (рис. 6.7). Уравнения колебаний токов I1

и I2 в этих контурах при отсутствии затухания следуют из закона Ома

213

Колебания в системе будут состоять из собственных колебаний с частотами ω1 и ω2 и вынужденных колебаний с частотой Ω. Для

определения спектра собственных частот положим õ0 = 0 в (6.13) и будем, как и ранее, искать решение в виде I1 = Asin (ωt +ψ), I2 = Bsin (ωt +ψ) . Тогда приходим к уравнениям

(ν12 −ω2 ) A +α1ω2 B = 0,

(ν22 −ω2 )B +α2ω2 A = 0.

Из условия нетривиальности решения данной системы относительно величин A и B получаем уравнение для определения собственных частот

Собственные колебания нами уже рассматривались, поэтому ограничимся только вынужденными колебаниями. Будем искать решение уравнения (6.13) в виде

214

I1 = I01 sin Ωt, I2 = I02 sin Ωt.

Подставляя данные выражения в (6.13), получаем уравнения для определения амплитуд токов I01, I02:

215

контура, в который включена внешняя ЭДС, обращается в нуль. Данная ситуация уже обсуждалась нами в подразд. 3.3. Во втором контуре колебания не обращаются в нуль ни при каком конечном значении Ω. В общем случае частота успокоения колебаний всегда равна парциальной частоте того контура, который получается при разрыве цепи в точке включения внешней ЭДС.

Физическая природа отсутствия колебаний в первом контуре связана с тем, что взаимная ЭДС õ1 = MdI2 / dt, наводимая в первом контуре колебаниями второго контура на частоте внешней силы Ω = ν2 в точности компенсирует внешнюю ЭДС. Нетрудно проверить, что

õ1 = M dIdt2 = M ΩI2 cos Ωt = −õ0 cos ν2t.

Поэтому вынужденные колебания в первом контуре на частоте ν2 и не совершаются.

Учет затухания в контурах при вынужденных колебаниях приводит к тому, что амплитуды колебаний при резонансе становятся конечными и при Ω = ν2 амплитуда колебаний в первом контуре не обращается в нуль (кроме тривиального значения Ω = 0 ). Таким об-

216

и ω2 потери могут превратить резонансную кривую в одногорбую, полностью сгладив провал между частотами.

6.4. Колебания в системе с произвольным числом степеней свободы

В качестве последнего примера системы, состоящей из большого числа связанных осцилляторов, рассмотрим электрическую линию передачи, состоящую из N одинаковых индуктивностей L и конденсаторов C, соединенных как показано на рис. 6.10. Будем полагать, что концы этой цепи закорочены, т.е. напряжения на них равны нулю U0 =UN +1 = 0.

Рис. 6.10

Запишем закон Ома для произвольно выделенного участка цепи с номером n, содержащего одну индуктивность и емкость и по кото-

рому протекает ток In:

L dIdtn =Un −Un+1 .

Здесь Un = qn / C – напряжение на конденсаторе с зарядом qn. Из закона сохранения заряда следует

dqdtn = In−1 − In.

217

Из этих уравнений нетрудно получить одно уравнение, связывающее вторую производную qn с величинами заряда в данной точке и двух соседних

Точно так же в силу пропорциональности заряда и напряжения будет выглядеть и уравнение для напряжения Un:

218

них точках. Систему уравнений (6.18) необходимо дополнить соотношениями Q0 = QN +1 = 0. Таким образом, мы пришли к системе N линейных уравнений, решив которую можно найти N разных значений ω2 , причем каждое такое значение ωS будет частотой S-й нор-

мальной моды. Обычно решение подобных систем основано на теории матриц, но мы поступим несколько иначе. Перепишем (6.18) в виде

может быть выполнено только для вполне определенного закона изменения Qn. Предположим, что амплитуда заряда Qn выглядит следующим образом:

т.е. наше предположение о выборе вида Qn полностью оправдалось (левая часть уравнения (6.19) при таком выборе Qn на самом деле не зависит от номера n ). Величину θS можно найти из граничных условий (заметим, что мы еще нигде ими не воспользовались). Условие Q0 = 0 выполняется автоматически в соответствии с (6.20). Из второго граничного условия QN +1 = 0 находим

219

Кроме того, из (6.21) видно, что существует максимальная частота собственных колебаний ωmax = 2ω0 , которая называется крити-

220