книги / Физика колебаний

ческой. Наличие такой предельной верхней частоты характерно для всех колебательных систем, образованных из одинаковых элементов, периодически повторяющихся во всей структуре системы. В свою очередь, если линия передачи длинная (но конечная), то существует и не равная нулю самая низкая частота ωmin . Так как π/ (N +1) <<1, то, разлагая косинус в ряд, находим

ωmin ≈ ω0 Nπ+1 .

Взаключение данной главы покажем, как связанные колебания

впериодической структуре линии передачи переходят в волны, распространяющиеся в непрерывной среде. Пусть линия передачи представляет собой двухпроводную линию, обладающую емкостью и индуктивностью. Обозначим емкость и индуктивность единицы длины

221

Таким образом, (6.22) принимает вид

∂2q = v2 ∂2q . ∂t2 ∂x2

Последнее соотношение является типичным волновым уравнением, где v = 1/ L0C0 – фазовая скорость волны.

222

Глава 7

КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ПРОЦЕССЫ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ

7.1. Фазовая и групповая скорость волн

Эта глава будет посвящена задачам, связанным с процессом распространения колебаний в различных средах, т.е. волновым процессам. Основным уравнением, описывающим распространение колебаний, является волновое уравнение, которое для одномерных задач выглядит как

Здесь ξ = ξ(x,t) – некоторая изменяющаяся во времени и простран-

стве величина, например, для упругих волн это может быть смещением частиц от положения равновесия, для электромагнитных волн это может быть проекцией напряженности электрического (или магнитного) поля; v – так называемая фазовая скорость волны (скорость перемещения в пространстве постоянного значения фазы волны). Значение фазовой скорости v не следует путать со скоростью изменения величины ξ. Как правило, v >> ∂ξ/ ∂t. Очень наглядным

примером, поясняющим отличие v и ∂ξ/ ∂t, является трогание

с места состава из большого числа вагонов. Каждый из вагонов, начиная с первого, трогается с места с небольшой скоростью (аналог ∂ξ/ ∂t ), а вдоль состава с гораздо большей скоростью бежит звук

трогающихся вагонов (аналог v ).

Общее решение уравнения (7.1), как легко убедиться, можно за-

источник волны совершает гармонические колебания с частотой ω,

223

то выражение (7.2) приобретает вид так называемой бегущей монохроматической волны

Здесь k = 2π/ λ – волновое число, λ – длина волны. Знак «–» перед kx относится к волне, распространяющейся вдоль оси X , знак «+» – против оси X .

где знак Re означает вещественную часть комплексной экспоненты и его обычно опускают. При подстановке выражения (7.3) в уравнение (7.1) между параметрами ω, k и v обнаруживается связь

Выражение (7.4) называется дисперсионным соотношением или

законом дисперсии и его можно воспринимать как определение фазовой скорости волны. Если величины ω и k пропорциональны друг другу, то фазовая скорость от них не зависит и определяется только свойствами среды. Волны, удовлетворяющие простому дисперсионному соотношению ω/ k = const, называются недиспергирующими волнами и подчиняются волновому уравнению (7.1). В общем случае закон дисперсии (7.4) может быть более сложным, т.е. частота ω является нелинейной функцией волнового числа k. Нелинейная зависимость частоты волны от волнового числа (дисперсия) имеет большое значение при распространении негармонических волн. Связано это с тем, что гармоническое колебание определенной частоты и амплитуды не может нести никакой информации о передаваемом сигнале, так как каждый последующий цикл колебаний является точной копией предыдущего. Чтобы передать определенную информацию с такой волной, ее нужно промодулировать, т.е. изменить какой-либо параметр волны в соответствии с изменением смыслового сигнала. В бегущей волне такими изменяющимися параметрами могут быть

224

амплитуда, частота и фаза. Соответственно различают амплитудную, частотную и фазовую модуляцию. Во всех этих случаях волны распространяются в виде так называемых волновых пакетов, образованных из гармоник с близкими частотами, каждая из которых распространяется со своей фазовой скоростью. В связи с этим возникает естественный вопрос, а с какой же скоростью распространяется волновой пакет? Для того чтобы это понять, рассмотрим простейший случай распространения в одном направлении двух бегущих монохроматических волн с близкими значениями частоты ω, волнового числа k и одинаковой амплитуды a:

При достаточно малых δω и δk последнее выражение можно интерпретировать как бегущую волну cos(ωt −kx) с переменной амплитудой

Если для монохроматической волны амплитуда постоянна, то теперь она изменяется как во времени, так и в пространстве, т.е. максимум амплитуды перемещается в пространстве с некоторой скоростью. Разумно принять за скорость движения волнового пакета скорость перемещения максимальной амплитуды, т.е. скорость перемещения постоянного значения фазы амплитуды. Это и есть так называемая групповая скоростьu. Для ее определения зафиксируем

225

Отсюда получаем

dxdt = u = δωδk

или в пределе ( δω→ 0, δk → 0 )

u = dωdk(k) .

Введенное таким образом значение групповой скорости определяет не только скорость распространения информации, но и скорость распространения энергии в немонохроматической волне с произвольным законом дисперсии. Групповая скорость u связана с фазовой скоростью v соотношением Рэлея

Значения u и v совпадают только в том случае, если фазовая скорость не зависит от длины волны (или волнового числа). Это имеет место, например, при распространении света в вакууме. Для электромагнитных волн в вакууме (пустом пространстве) всегда выпол-

няется соотношение ω= ck, где c = 3 108 м/с – скорость света в вакууме. Тогда v = u = c независимо от длины волны. Заметим, что подобное соотношение выполняется только для электромагнитных волн в вакууме, для волноводов это уже не выполняется!

7.2. Волны в одномерной цепочке атомов

Перейдем к задаче о нахождении структуры и закона дисперсии упругих волн на модели кристаллической решетки. Конечно, задача о волнах в кристаллической решетке, состоящей из микроскопиче-

226

ских объектов – атомов или ионов, требует, строго говоря, квантовомеханического рассмотрения. Однако, как мы убедимся, классическая теория (но с учетом дискретности решетки) дает результаты, отражающие существенные особенности упругих колебаний и волн в твердых телах.

Рассмотрим сначала простейшую одномерную модель – прямолинейную цепочку одинаковых атомов массы m, находящихся на одинаковых расстояниях b друг от друга. Такая модель, конечно, не даст точных количественных результатов, пригодных для трехмерного тела, но позволит сильно упростить анализ и сохранить самые существенные результаты. Будем полагать, что все атомы связаны друг с другом пружинками жесткостью χ (упругая постоянная). Пусть по такой цепочке атомов вдоль оси X с некоторой скоростью v бежит продольная синусоидальная волна частоты ω (рис. 7.1, продольные смещения атомов отложены по вертикали в увеличенном масштабе).

Рис. 7.1

Учтем только силы, действующие на каждый атом цепочки, со стороны двух соседних атомов (приближение ближайших соседей). Пронумеруем положение каждого атома в цепочке:

...xn−2 , xn−1, xn , xn+1, xn+2...

Смещение n -го атома от положения равновесия обозначим как ξn. Относительные смещения соседних атомов (ξn −ξn−1 ) будем

считать малыми по сравнению с постоянной решетки b. За счет упругой связи между соседними атомами их колебания не будут неза-

227

висимыми. Эта связь заключается во втором законе Ньютона. Запишем этот закон для атома с номером n с учетом закона Гука:

(сила упругости определяется не отклонением от положения равновесия каждого атома, а разностью этих отклонений; если бы все ξn

были одинаковыми, то вся цепочка атомов была бы однородно смещена, и никаких колебаний не было).

Нахождение общего решения уравнения (7.5) для очень большого числа атомов N – трудная задача. Поэтому рассмотрим, прежде всего, случай, когда N → ∞, т.е. цепочка атомов бесконечно простирается в обе стороны. Такая цепочка обладает трансляционной симметрией, т.е. совмещается сама с собой при сдвиге на любое целое число периодов b. Логично ожидать, что существует частное решение уравнения (7.5), соответствующее этому типу симметрии: все атомы совершают одинаковые гармонические колебания, но фазы этих колебаний сдвинуты на одну и ту же величину при переходе от каждого атома к соседнему. Такое решение представляет бегущую монохроматическую волну с частотой ω и постоянной амплитудой A:

ξn (x,t) = Acos(ωt −kxn +α) (где xn = nb), или в комплексном виде

(значение начальной фазы в нашей задаче можно опустить).

228

Если волновое число k заменить на k = (2π/ b) p, где p – лю-

бое целое число, то колебания всех атомов цепочки не изменятся. Поэтому, не нарушая общности, можно рассматривать значения k только в пределах

− πb ≤ k ≤ πb .

При таких значениях k длина волны λ может изменяться в интервале

∞ > λ ≥ 2b.

Из-за дискретности структуры не имеет смысла говорить о распространении волн с длиной λ < 2b. Например, если положить λ = b, то в этом случае смещения всех атомов в каждый момент времени были бы одинаковыми, т.е. цепочка атомов перемещалась бы как единое целое.

Подставляя выражение (7.6) в уравнение (7.5) нетрудно получить

ω2 = mχ (2 −eikb −e−ikb ) = 2 mχ (1−cos kb).

Ограничиваясь положительными значениями k, отсюда находим

229

из которого следует, что скорость волны зависит от волнового числа и, следовательно, имеет место дисперсия.

В низкочастотном пределе (ω<< ωmax ) фазовая скорость волны уже не зависит от частоты и определяется по формуле

Нетрудно видеть, что это значение в точности совпадает со скоростью упругих волн в твердом теле. Для этого выделим в твердом теле в направлении распространения волны маленький цилиндр с площадью сечения S и высотой b. Запишем для него закон Гука:

FS = E ∆bb = χ∆Sb ,

где ∆b – деформация цилиндра под действием силы F.

Из этого соотношения следует, что параметр χ, указанный в по-

становке задаче (упругая постоянная решетки), можно выразить через модуль Юнга E:

χ = ESb .

Тогда скорость волны в низкочастотном пределе

где ρ – плотность среды.

Точно такое же выражение получается для скорости упругих волн в модели сплошной среды.

230