книги / Физика колебаний

Глава 4 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

4.1. Параметрическое возбуждение

До сих пор мы рассматривали колебательные системы, в которых происходили либо свободные колебания, определяемые начальными условиями, либо чисто вынужденные, возникающие под действием внешней силы. Однако, как известно, существует еще один вид воздействия на колебательные системы, который заключается в том, что внешней силой производится изменение одного из параметров системы. Такое возбуждение колебаний называют параметрическим резонансом, а сами системы, параметры которых изменяются во времени и в пространстве, называют параметрическими.

Простейшая механическая параметрическая система – математический маятник с изменяющейся со временем длиной нити l = l(t)

или с перемещающейся точкой подвеса. Электрический аналог такой системы – колебательный контур с изменяющейся со временем емкостью C = C(t). Математический анализ таких систем приводит

к обыкновенным дифференциальным уравнениям, коэффициенты которых зависят от времени.

Будем различать два класса задач, соответствующих двум классам параметрических систем.

1. Резонансные параметрические системы. К ним относятся системы, для которых характерное время изменения параметров того же порядка, что и характерное время изменения переменных в системе. Например, если частота гармонического осциллятора, описы-

ваемого уравнением x +ω02 x = 0, зависит от времени и время изменения параметра порядка tхар ~ 2π/ ω0 , то такой осциллятор относится

кклассу резонансных параметрических систем.

2.Нерезонансные параметрические системы. Им соответствуют системы, параметры которых меняются очень быстро или очень медленно по сравнению с характерным временем изменения переменных.

125

A 0 a ,

= mv2

цб l

126

где v0 – максимальная скорость маятника. Таким образом, полная работа внешней силы за период колебаний маятника составит

Видно, что работа, производимая внешней силой над маятником, положительна и пропорциональна его энергии. Поэтому энергия маятника будет систематически возрастать, получая за каждый период небольшое приращение, пропорциональное самой этой энергии и величине µ = a / l. В этом и заключается механизм параметрическо-

го резонанса. Периодическое изменение параметров колебательной системы с частотой, удвоенной по сравнению с собственной частотой, может привести к систематическому возрастанию ее средней энергии W , причем скорость этого возрастания пропорциональна самой энергии

dWdt W.

Это соотношение того же вида, как и при затухающих колебаниях, с тем, однако, отличием, что производная dW / dt положительна, а не отрицательна. Это значит, что энергия (а с нею и амплитуда) колебаний экспоненциально возрастает со временем.

Точно такая же ситуация может наблюдаться и в электрическом колебательном контуре. Рассмотрим линейный колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных L, R и С. Пусть

емкость конденсатора меняется во времени с помощью какого-то

127

внешнего устройства по закону, изображенному на рис. 4.2, а. Предположим, кроме того, что заряд на конденсаторе меняется по закону, близкому к гармоническому.

а

б

Рис. 4.2

При каждом уменьшении емкости С0 на 2∆С энергия конденсатора увеличивается. Заряд же q при скачкообразном изменении емкости не меняется, так как является инерционной величиной. Пусть частотные и фазовые соотношения между q(t) и C(t) таковы, что ем-

кость конденсатора уменьшается в те моменты, когда заряд на емкости проходит через экстремум (рис. 4.2, б), а обратное увеличение емкости – при разряженном конденсаторе. Тогда вложение энергии в систему будет максимальным, так как при раздвижении обкладок конденсатора для уменьшения его емкости совершается максимальная работа против кулоновских сил. Частота изменения параметра (емкости) в этом случае в два раза выше частоты собственных колебаний в контуре.

128

Рассчитаем приращение энергии в контуре ∆W в момент скачка емкости:

где W0 – энергия, запасенная в конденсаторе до скачка емкости, W0 = q02 / 2C0. Если ввести глубину модуляции параметра

µ = ∆C ,

C0

то общее приращение энергии в контуре за один период колебаний при параметрической «накачке» составит

Заметим, что, как и в случае раскачки качелей, величина вложения энергии пропорциональна самой энергии.

Определим теперь потери энергии в контуре. Если считать ко-

Сравнивая (4.1) и (4.2), получаем условие, при выполнении которого вкладываемая энергия превосходит потери, и в системе происходит нарастание колебаний

129

= πR C0 / L. Если емкость меняется с той же периодичностью, но по

другому закону, то качественно получится тот же результат.

В рассмотренном примере параметр изменялся дважды за период возбуждаемых колебаний. Однако можно производить вложение энергии за счет изменения параметра один раз за период, два раза за три периода и вообще при выполнении условия

Ω = 2nω,

где Ω – частота изменения параметра; ω – частота возбуждаемых колебаний, n =1, 2, 3,... При этом, конечно, скорость вложения энер-

гии в систему будет тем меньше, чем больше n.

Аналогичные соотношения мы получим, если скачком меняется индуктивность L. При этом WL = 12 LI 2. Однако поскольку при изме-

нении индуктивности изменяется так же и ток I, то для расчета энергии удобнее пользоваться выражением энергии через магнитный поток Ф, который является инвариантом при скачкообразном

где µ = ∆L / L0.

Отметим, что в линейной колебательной системе при выполнении условия параметрического возбуждения колебаний (условия параметрического резонанса) происходит неограниченное нарастание амплитуды возбужденных колебаний. Связано это с тем, что и поте-

130