книги / Физика колебаний

Сложение колебаний одного направления близких частот

(биения). Особый интерес представляет случай, когда складываемые гармонические колебания одного направления мало отличаются по частоте, т.е. разность частот ∆ω= ω2 −ω1 много меньше, как ω1, так

и ω2 (величина ∆ω называется расстройкой). Значения начальных фаз складываемых колебаний можно для упрощения положить равными нулю. Итак, требуется сложить два колебания x1 = a1 cos ωt и x2 = a2 cos(ω+∆ω)t, полагая ∆ω<< ω.

Воспринимая величину ∆ωt как медленно изменяющуюся разность фаз ∆α, результирующее колебание можно представить в виде вектора, вращающегося с почти постоянной угловой скоростью ω, длина которого медленно пульсирует со временем, т.е.

x = x1 + x2 = A(t )cos(ωt) ,

где

A2 (t ) = a12 +a22 + 2a1a2 cos(∆ωt )

(см. формулу (1.32)). Такие колебания называются биениями. Их можно рассматривать как гармоническое колебание с частотой ω, амплитуда которого медленно изменяется со временем по некоторому периодическому закону (рис. 1.19). Максимальное значение ам-

Рис. 1.19

42

Рассмотрим частный случай сложения одинаковых амплитуд (a1 = a2 = a). Тогда

A2 (t ) = 2a2 (1+cos ∆ωt) = 4a2 cos2 ∆ω2 t .

В этом случае

Такое колебание отражено на рис. 1.20. Наличие знака модуля у медленно изменяющейся амплитуды приводит к тому, что частота изменения амплитуды (частота биений) в два раза больше частоты ∆ω/ 2, т.е. частота биений равна частоте расстройки системы.

Сложение колебаний одного направления с одинаковым по-

следовательным сдвигом фазы. С этим приходится встречаться, например, в задаче о формировании волновых пакетов. Но наиболее явно это проявляется при рассмотрении интерференционных и дифракционных явлений. Итак, требуется найти сумму большого числа N гармонических колебаний одного направления с одинаковой частотой ω и амплитудой a, каждое из которых сдвинуто по фазе относительно соседних на δ:

43

Заметим, что этот же результат можно получить, представив косинусы в виде комплексных экспонент и вычислив сумму ряда как сумму геометрической прогрессии

Выражения, стоящие в скобках в числителе и знаменателе, как нетрудно убедиться из формулы Эйлера, равны соответственно

−2sin N2δ и −2sin δ2 . Поэтому

Если теперь взять вещественную часть от x, то получаем прежний результат.

Исследуем теперь поведение амплитуды результирующего колебания (1.33) при большом числе колебаний N. В этом случае сдвиг фазы результирующего колебания α практически равен разности фаз первого и последнего колебаний:

(1.33) можно представить как функцию разности фаз первого и последнего колебаний:

45

A = aN sinαα .

Так как интенсивность колебаний пропорциональна квадрату амплитуды, то интенсивность суммарного колебания I можно записать как

где I0 – интенсивность результирующего колебания при сложении

колебаний одинаковой фазы. На рис. 1.22 представлена зависимость интенсивности I от разности фаз первого и последнего складываемых колебаний α. Первый (центральный) максимум интенсивности I0 наблюдается при α = 0 (очевидный результат!). При α = ±mπ (m =1, 2,3...) интенсивность обращается в нуль (колебания

взаимно гасят друг друга). При α = 32 π наблюдается второй макси-

мум с интенсивностью около 4 % от центрального, при α = 52 π – тре-

тий максимум, интенсивность около 1,5 % и т.д.

I

I0

46

где множители cos ϕi и sin ϕi принимают случайные значения от –1 до +1, причем все значения для достаточно больших N встречаются приблизительно одинаково часто (равновероятны). Так как интенсивность колебаний определяется квадратом амплитуды, то составим

входящие в общий член 2cos ϕi cos ϕj двойной суммы, принимают

случайные значения от –1 до +1, то при усреднении сумма всех таких произведений практически равна нулю. Среднее же значение суммы

47

N

∑cos2ϕi сводится к умножению числа членов ряда N на среднее

i=1

ковых гармонических колебаниях с амплитудой a и случайными фазами, равно всего лишь N a. Заметим, что при сфазированности всех колебаний амплитуда равнялась бы Na !

Предположим, что в проведенном выше анализе величина a не амплитуда гармонического колебания, а среднее расстояние, проходимое частицей между двумя случайными столкновениями (средняя длина свободного пробега). Тогда после N таких столкновений (с одинаковыми в среднем временными интервалами) частица отой-

дет от своего положения в среднем только на расстояние N a. Поэтому пройденный путь пропорционален квадратному корню из времени, прошедшему с начала движения, а не первой степени времени. Это свойственно всем случайным процессам, характеризующим диссипацию энергии.

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических коле-

баний. Пусть точка участвует в двух взаимно перпендикулярных колебаниях вдоль осей x и y. Выберем начало отсчета времени так,

чтобы уравнения отдельных колебаний выглядели следующим образом:

здесь α – разность фаз колебаний.

Уравнения (1.34) определяют в параметрической форме уравнение траектории y(x), по которой движется точка, участвующая

в обоих колебаниях. Найдем это уравнение, исключив из (1.34) параметр t. Для этого найдем из первого уравнения

48

Это уравнение эллипса, ориентированного произвольным образом относительно осей x и y. Таким образом, точка, участвующая

в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковой частотой, движется в общем случае по эллиптической траектории.

Частные случаи:

1. α = 0. Тогда из уравнения (1.35) следует y = ba x, т.е. точка

перемещается по прямой (рис. 1.24, а), причем расстояние ее от начала координат изменяется со временем по гармоническому закону

r = a2 +b2 cos ωt. В этом случае говорят, что колебания имеют линейную поляризацию.

2. α = ±π. Тогда из уравнения (1.35) следует, что точка совер-

шает гармонические колебания вдоль прямой y = − ba x (рис. 1.24, б). 3. α = ± π2 . Теперь точка совершает движение по эллипсу, при-

веденному к координатным осям (рис. 1.24, в): x2 + y2 =1. Нетрудно a2 b2

убедиться в том, что при α = + π2 движение совершается по часовой

49

стрелке, при α = − π2 – против часовой стрелки. При равенстве ам-

плитуд a и b эллипс вырождается в окружность.

Из сказанного следует довольно неожиданный и имеющий большое практическое значение вывод о том, что движение точки по эллипсу может быть представлено как суперпозиция двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. В этом случае говорят, что колебание имеет эллиптическую поляризацию. Понятие поляризации – одно из важнейших в оптике и оно основано на представлении о сложении двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний.

При небольшом различии частот двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний на величину ∆ω уравнение (1.34) можно представить как

x = a cos ωt,

т.е. их можно рассматривать как колебания одинаковой частоты, но с медленно изменяющейся по линейному закону разностью фаз. Результирующее движение в этом случае происходит по медленно изменяющейся кривой, последовательно принимающей форму прямой линии или эллипса, что соответствует всем значениям разности фаз от −π до +π.

50