книги / Физика колебаний

Границы области возбуждения можно найти из выражения для стационарной амплитуды (4.27), приравнивая его нулю

Исследование устойчивости найденных стационарных решений системы уравнений (4.26) можно провести методом малых вариаций, подробно описанным в подразд. 2.5. После выполнения простых, но достаточно громоздких выкладок для значений λ, входящих в детерминант (2.21) и характеризующих экспоненциальную неустойчивость состояний покоя системы (u0 = v0 = A0 = 0), получаем

Для определения области неустойчивости найденных решений необходимо потребовать, чтобы Reλ было больше нуля. Это сразу дает нам соотношение параметров, при котором состояние покоя является неустойчивым

Последнее выражение в точности соответствует условию существования ненулевой стационарной амплитуды А0. Таким образом,

для которых существует стационарная отличная от нуля амплитуда А0, состояние покоя неустойчиво. Следовательно, оно неустойчиво внутри области параметрического резонанса (от ξ1 до ξ2 ). Состояние покоя устойчиво вне области параметрического резонанса, когда Reλ < 0, и для соотношения параметров системы получается неравенство вида ξ2 > µ2 / 4 −4β2.

151

Аналогичным образом проводится и анализ устойчивости состояний с ненулевой стационарной амплитудой ( A0 ≠ 0). В результа-

те находим, что эта амплитуда устойчива (Reλ < 0) во всей области расстроек, где она существует (−ξ2 ≤ ξ ≤ ξ1 ). Области устойчивых

стационарных решений системы (4.26) на рис. 4.10 отмечены темными кружочками, а области неустойчивости стационарных состояний – светлыми кружочками.

q, т.е. C = C(t)ϕ(q). Пусть емкость по-прежнему меняется со временем по закону

а напряжение на емкости UC составит

UC (q,t) = Cq(t) (1+ γq2 ) ,

( γ > 0 – коэффициент нелинейности), т.е. в отсутствие модуляции

параметра напряжение на емкости изменяется по закону кубической параболы (конденсатор с сегнетоэлектриком, в котором с увеличением заряда емкость уменьшается (см. подразд. 1.3)).

Для такой схемы закон Ома имеет вид

Lq + Rq +UC (q,t) = 0 .

152

Как и в предыдущей задаче, введем обозначения q = x, τ = ωt,

γ, ξ, β и µ малыми. В этом случае приходим к нелинейному диффе-

ренциальному уравнению движения, допускающему применение метода ММА

в котором отсутствуют члены второго порядка малости ( γξ и µξ). Решение (4.30), как и прежде, ищем в виде

где A2 = u2 + v2 – квадрат амплитуды параметрически возбуждаемых колебаний в системе.

По-прежнему будем искать только стационарные решения этих уравнений. При u = v = 0 могут реализовываться два режима: состояние покоя системы u0 = v0 = A0 = 0 и состояние с отличной от

нуля амплитудой колебаний u0 ≠ 0, v0 ≠ 0, A0 ≠ 0. Нулевые стационарные решения u0 = v0 = A0 = 0 возможны в системе при любых величинах параметров µ, β, γ и ξ (разумеется, в пределах малости этих

153

величин). Стационарное, отличное от нуля решение системы (4.31) определяется из системы уравнений

Откуда находим выражение для квадрата стационарной амплитуды

из которого следует, что чем меньше коэффициент нелинейности γ,

т.е. чем ближе нелинейная система к линейной, тем больше возможная в системе амплитуда параметрических колебаний.

Определим теперь условия существования действительных значений отличной от нуля стационарной амплитуды. Так как γ > 0, то

чтобы не исключать из рассмотрения область отрицательных расстроек ξ, необходимо потребовать выполнение условия µ2 / 4 > 4β2. Тогда для выполнения условия A02 > 0 необходимо

ξ2 < µ2 −4β2 , 4

что определяет минимальный порог глубины модуляции

µ2 > 4ξ2 +16β2.

На рис. 4.12 приведены кривые параметрического резонанса для одноконтурного параметрического генератора с ограничением амплитуды за счет нелинейной емкости (прямая 2 соответствует знаку плюс в выражении (4.32), а прямая 1 – знаку минус). Эти кривые отличаются от аналогичных кривых для случая нелинейной диссипации (см. рис. 4.9, 4.10) тем, что область возбуждения уже не ограни-

154

чена замкнутой кривой. Граничные значения расстроек ξ1 и ξ2 находятся из условия A02 = 0 и соответственно будут

Рис. 4.12

Устойчивость найденных стационарных решений системы (4.31) можно провести методом малых возмущений. Тогда для случая ненулевой стационарной амплитуды определитель (2.21) принимает вид

(функции ϕ и ψ определяются из (4.31)). Откуда находим

155

в пределах области существования ненулевой амплитуды параметрических колебаний. Вне данной области, т.е. при ξ2 > µ2 / 4 −4β2 , су-

ществует устойчивое стационарное состояние покоя, так как при этом условии Re λ < 0.

Более подробный анализ устойчивости стационарных ненулевых решений показывает (см. рис. 4.12), что устойчивы состояния с темными кружками и неустойчивы – со светлыми кружками. При движении из области отрицательных расстроек амплитуда, оставаясь

покоя неустойчиво и малейшие флуктуации в системе нарастают до A02 ≠ 0. При движении в обратном направлении (из области положительных расстроек) параметрические колебания можно возбудить

может быть только жестким. Если системе, находящейся правее точки ξ1, сообщить толчок ∆A2 , больший амплитуды колебаний в нижнем (неустойчивом) стационарном состоянии, то колебания в системе раскачаются до значения A02 ≠ 0, соответствующего устойчивой стационарной амплитуде для данной расстройки. При сообщении толчка, меньшего ∆A2 , в системе не возникает устойчивой параметрической генерации, такое возмущение со временем затухнет и снова наступит состояние покоя.

Экспериментальное исследование работы одноконтурных параметрических генераторов показывает, что кривые параметрического резонанса для них в действительности имеют вид, представленный на рис. 4.13. Здесь, как и ранее, темными кружочками отмечены устойчивые состояния, светлыми – неустойчивые. Это связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, в использованном нами ма-

156

учитывать также их нелинейную проводимость, например, сопротивление

запертого полупроводникового диода или конденсатора с сегнетоэлектриком. Это сопротивление увеличивается с ростом амплитуды параметрических колебаний, в результате чего для областей параметрического возбуждения таких систем характерно сочетание специфических черт, присущих как системам с нелинейной реактивностью (наклон области возбуждения), так и системам с нелинейной диссипацией (замкнутость кривой, ограничивающей область возбуждения).

При изучении одноконтурных параметрических генераторов мы, задавая закон изменения реактивного параметра во времени, например C(t) = C0 /(1+µcos 2ωt), не рассматривали конкретный ме-

ханизм его изменения. Такие генераторы принято называть пара-

метрическими генераторами первого рода, в отличие от параметрических генераторов второго рода (параметрических преобразовате-

лей), в которых изменение нелинейного реактивного параметра происходит в результате действия некоторой периодической силы, включенной в колебательную систему. В подобных системах параметрический механизм возбуждения колебаний реализуется за счет управления нелинейным параметром с помощью напряжения накачки, что можно осуществить включением генератора напряжения в последовательный колебательный контур, содержащий нелинейный реактивный элемент.

Процесс параметрического возбуждения колебаний в таком генераторе можно представить следующим образом. Колебательный

157

контур одноконтурного параметрического генератора представляет собой высокодобротную колебательную систему. В ней еще до включения генератора накачки вследствие тепловых флуктуаций существуют колебания с широким спектром частот, причем колебание с одной из частот ω, на которую примерно настроен контур параметрического генератора, значительно превышает все остальные по среднеквадратичной амплитуде. Тогда включение генератора накачки с частотой 2 ω приведет к возрастанию амплитуды шумовой компоненты с частотой, равной половине частоты накачки (для первой области параметрической неустойчивости).

Таким образом, в системе при определенных условиях, накладываемых на параметры и характеристики нелинейного элемента, можно возбудить параметрические колебания, частота которых точно в два раза ниже частоты генератора накачки, а амплитуда напряжения накачки через нелинейный реактивный элемент влияет на амплитуду параметрических колебаний и ширину области возбуждения. Поэтому такой генератор и называют параметрическим преобразователем, т.е. устройством, преобразующим один периодический процесс в другой периодический процесс, причем оба процесса являются когерентными.

158

Глава 5 АВТОКОЛЕБАНИЯ

5.1. Основные определения и классификация автоколебательных систем

Большинство нелинейных динамических систем в общем случае неконсервативны. Практически в любой системе присутствуют потери (трение, излучение, нагрев и т.д.), и обычно система не является энергетически изолированной – на нее действуют различные внешние силы и поля, как статические, так и переменные. Какие принципиально новые (по сравнению с консервативными системами) явления возникают в диссипативных системах, в которых энергия может не только диссипировать из-за потерь, но и восполняться за счет неустойчивостей, связанных с неравновесностью системы? Самое важное и замечательное среди таких явлений – генерация незатухающих колебаний, свойства которых не зависят от того, когда и из какого начального состояния была запущена система. Эти колебания устойчивы как по отношению к внешним возмущениям, так и к изменению начальных условий. Системы, обладающие свойством генерировать такие колебания, были названы автоколебательными. Колебания в таких системах связаны с предельными циклами – асимптотически замкнутыми фазовыми траекториями.

Колебания скрипичной струны при равномерном движении смычка, раскачка крыльев самолета в набегающем потоке воздуха при определенных условиях (флаттер), колебания шасси самолета при посадке на посадочную полосу (шимми), колебания воздуха в органной трубе, маятника в «ходиках», колебания тока в радиотехническом генераторе и др. – хорошо известные примеры автоколебаний. Автоколебания отличаются от собственных колебаний (их частота определяется параметрами системы, а амплитуда и фаза – начальными условиями) и вынужденных колебаний (их амплитуда, частота и фаза определяются внешней силой) тем, что их амплитуда и частота определяются только параметрами системы и не зависят от

159

начальных условий (по крайней мере, в конечных пределах), а фаза несущественна (характеристики источника, естественно, влияют на параметры системы).

Для поддержания устойчивых вынужденных колебаний требуется внешнее периодическое воздействие. При параметрическом возбуждении колебаний происходит периодическое изменение параметров системы также за счет периодического внешнего воздействия. Автоколебательные системы принципиально нелинейны и неконсервативны, а сами автоколебания принципиально отличаются от других колебательных процессов в диссипативных системах тем, что для их поддержания, вообще говоря, не требуется периодических воздействий извне.

энергии W = const. В случае диссипативных систем dW / dt = −N(t), где N(t) > 0 – функция диссипации, характеризующая мощность по-

терь в системе. Но для автоколебательных систем возможны интервалы времени при определенных амплитудах и скоростях, при которых N(t) < 0. Очевидно, это присуще только активным системам.

Для таких систем должно быть выполнено равенство

160