книги / Физика колебаний

Данное уравнение называется уравнением Ван-дер-Поля и является основной математической моделью автоколебаний с одной степенью свободы.

Каким образом в системе, описываемой уравнением (5.7), устанавливаются автоколебания с некоторым предельным циклом? При малых x случайно возникшие колебания начинают нарастать по ам-

плитуде, так как произведение µ(1− x2 ) больше нуля, что соответст-

вует системе с отрицательным трением (происходит раскачка колебаний). Как только амплитуда колебаний превысит некоторое

предельное значение, произведение µ(1− x2 ) становится отрица-

тельным, что тут же приводит к уменьшению амплитуды. Возникает ситуация, при которой система сама управляет поступлением в нее энергии. Форма предельного цикла и сам характер колебаний существенно зависят от параметра µ. При µ = 0 система становится ли-

нейной консервативной. Естественно ожидать, что при малых µ ≠ 0

автоколебания будут мало отличаться от гармонических, а нелинейное трение лишь «выбирает» амплитуду устойчивого предельного цикла. При больших µ форма колебаний может существенно отли-

чаться от синусоидальной. Численное интегрирование уравнения Ван-дер-Поля для различных значений µ позволяет выявить не

только фазовый портрет системы, но и сам характер установления колебаний.

На рис. 5.9 представлены фазовые портреты, соответствующие уравнению (5.7) при различных значениях параметра нелинейности µ : а – квазигармонические колебания (µ = 0,1); б – сильно несину-

171

соидальные ( = 1); в – релаксационные ( = 10). Предельные циклы на рис. 5.9 содержат внутри особую точку, причем для = 0,1 и = 1 эта точка является неустойчивым фокусом, а для = 10 – неустой-

чивым узлом. Предельные циклы для лампового генератора можно реально наблюдать на экране электронного осциллографа, подавая одновременно на отклоняющие пластины напряжение с конденсато-

Рис. 5.9

Форма колебаний для различных представлена на рис. 5.10. При = 0,1 (рис. 5.10, а) установление колебаний происходит мед-

ленно, система добротна и представляет собой автоколебательную систему томсоновского типа. При = 10 (рис. 5.10, в) стационарные

колебания устанавливаются за долю периода, имеют четко выраженный разрывный характер и соответствуют автоколебательной системе

172

релаксационного типа, близкой к вырожденной (не содержащей полного набора реактивных элементов, так называемые RC- и LR-сис- темы). При = 1 (рис. 5.10, б) процесс установления колебаний про-

исходит за несколько периодов, форма этих колебаний существенно отличается от гармонической; такая система является промежуточной между системами томсоновского и релаксационного типов.

Рис. 5.10

В физической литературе величину иногда называют прочностью предельного цикла – при малом << 1 фазовые траектории слабо притягиваются к предельному циклу, при >> 1 такое притяжение очень сильное, т.е. цикл «прочный». В случаях << 1 и >> 1

удается достаточно просто решить задачу об автоколебаниях приближенными аналитическими методами.

5.3. Автоколебательные системы томсоновского типа

Ранее уже отмечалось, что для автоколебательных систем томсоновского типа характерны малое затухание и малое вложение энергии за период колебаний по сравнению с запасом колебательной

173

энергии системы. Колебания в таких системах почти гармонические, так как уравнение, описывающее автоколебательные системы томсоновского типа с одной степенью свободы, всегда можно привести к обобщенному уравнению вида x + x = µf (x, x) , где µ – малый па-

раметр. Поэтому для аналитического исследования таких систем часто используется метод медленно меняющихся амплитуд (ММА).

Рассмотрим, например, ламповый генератор Ван-дер-Поля (см. рис. 5.6). Для данного генератора уравнение колебаний напряжения на конденсаторе имеет вид

где дифференцирование проводится по безразмерному времени τ, а параметры α и β имеют вид

Такая форма представления уравнения Ван-дер-Поля позволит нам в дальнейшем с минимальными изменениями рассмотреть не только мягкое возбуждение автоколебаний, но и жесткое. Коэффициент β называется коэффициентом регенерации и показывает

174

соотношение между вложениями и потерями энергии в колебательной системе при различных значениях ее параметров. Если считать, что коэффициент регенерации β и коэффициент нелинейности α

малы, то к уравнению (5.9) можно применить метод ММА.

где z = u2 + v2. От двух укороченных уравнений для u и v можно перейти к одному уравнению для z:

z= β− 14 αz z .

Для данного уравнения существует два стационарных решения (z = 0). Одно из них является нулевым решением и соответствует состоянию покоя u0 = v0 = z0 = 0, другое – с отличной от нуля амплитудой имеет вид

z0 = A02 = 4αβ.

Исследуем устойчивость стационарных состояний системы. В случае состояния покоя системы полагаем z = 0 +η, и тогда урав-

нение для возмущений (малых вариаций) η в первом приближении имеет вид

η=βη.

175

Отсюда видно, что знак коэффициента регенерации β определяет устойчивость состояния покоя: при β > 0 состояние покоя неустойчиво, происходит самовозбуждение системы; при β < 0 состояние

покоя устойчиво. В случае ненулевой стационарной амплитуды ее значение при возмущении η запишется как z = 4β/ α+η и тогда

уравнение для возмущения примет вид

η= −βη.

При β > 0 ненулевая стационарная амплитуда устойчива, при β < 0 – неустойчива.

На рис. 5.11, а приведена зависимость квадрата стационарной ненулевой амплитуды A02 от коэффициента регенерации β, где тем-

ными кружочками обозначены устойчивые стационарные состояния системы, а светлыми – неустойчивые. Это мягкий режим возбуждения автоколебаний. Таким образом, каждому значению β соответст-

вует только одно отличное от нуля стационарное состояние системы, что на фазовой плоскости соответствует одному предельному циклу – замкнутой фазовой траектории (рис. 5.11, б). Вне предельного

x

A02

x

0 β

Рис. 5.11

176

цикла фазовые траектории соответствуют затухающим колебаниям (скручивающиеся спирали), внутри предельного цикла фазовые траектории (раскручивающиеся спирали) соответствуют нарастающим колебаниям; в начале координат находится особая точка типа неустойчивого фокуса.

Посмотрим теперь, что произойдет, если крутизна характеристики аппроксимируется зависимостью (5.6)

S(U ) = S1 +3S3U 2 −5S5U 4.

Эта зависимость существенно отличается от рассмотренной выше тем, что ее максимум приходится уже на напряжение не равное нулю. В этом случае уравнение колебаний (5.9) примет вид

x + x = (β+αx2 −γx4 )x,

где γ = 5S5MU04 / LC , а остальные обозначения прежние [см. (5.10)].

Укороченное уравнение для z = u2 + v2 = A2 в этом случае запишется как

Отсюда нетрудно определить стационарные состояния (z = 0) системы, одно из которых является состоянием покоя (z0 = 0) и воз-

можно при любых параметрах системы. Второе отличное от нуля стационарное состояние системы определяется из уравнения

177

При β = 0 возможны два решения z0 = z01 = A012 = 2α/ γ и z0 = 0. Однако оказывается, что и при некоторых отрицательных значениях коэффициента регенерации β можно получить отличную от нуля

амплитуду автоколебаний. Предельное отрицательное значение β0

рис. 5.12, а. По-прежнему состояние покоя системы устойчиво при β < 0 и неустойчиво при β > 0. Однако на участке от β0 = −α2 / 8γ до β = 0 состояние покоя лишь относительно устойчиво; если амплитуда возмущения η0 будет такой, что она достигнет нижней неус-

тойчивой ветви амплитудной кривой, то в системе возбудятся автоколебания с отличной от нуля устойчивой стационарной амплитудой. Это жесткий режим возбуждения автоколебаний. В области

−α2 / 8γ ≤β ≤ 0 система не может самовозбудиться.

x

A02 2

а б

Рис. 5.12

На фазовой плоскости (рис. 5.12, б) область жесткого возбуждения для фиксированного β < 0 представлена двумя предель-

ными циклами (окружностями), один из которых (1) устойчив

178

в области 0 < z0 < α/ γ. Начало координат на фазовой плоскости яв-

ляется особой точкой типа устойчивого фокуса. Все возмущения, меньшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцилляторно затухают. Возмущения, бóльшие амплитуды, соответствующей неустойчивому предельному циклу, осцилляторно увеличиваются и амплитуды этих колебаний стремятся к предельному устойчивому циклу изнутри. Если амплитуда колебаний по какойлибо причине выйдет за пределы устойчивого предельного цикла, то она будет постепенно уменьшаться, стремясь в пределе снаружи «навиться» на предельный цикл.

5.4.Релаксационные (разрывные) колебания

Вслучае сильной нелинейности (µ >>1) колебания становятся

релаксационными (разрывными), состоящими из участков «быстрых» и «медленных» движений. Для описания таких разрывных колебаний Мандельштам и Папалекси предложили использовать «гипотезу скачка», учитывающую, что при перескоках энергия меняется непрерывно. Суть сводится к следующему.

При больших значениях параметра µ в уравнении Ван-дер-Поля x −µ(1− x2 )x + x = 0, описывающем колебания в ламповом генерато-

ре, уже нельзя воспользоваться методом медленно меняющихся амплитуд. Поэтому перепишем данное уравнение так, чтобы в нем появился малый параметр. Для этого обратимся к уравнению Рэлея

которое после замены переменных x = y и однократного интегрирования сводится к уравнению Ван-дер-Поля. Введением нового вре-

179

мени τ = t / µ и переменной x = y / µ в уравнении Рэлея можно перевести параметр µ в коэффициент при старшей производной

µ−2 x −(1− x2 )x + x = 0 → εx −(1− x2 )x + x = 0.

Данное уравнение является эквивалентом уравнения Ван-дер- Поля, только теперь малый параметр ε =1/ µ2 <<1 стоит при старшей

производной. Для приведения этого уравнения к общепринятому виду переобозначим малый параметр ε как µ. Тогда имеем уравнение

Попытаемся найти асимптотическую форму решения уравнения (5.11) при µ → 0. Для этого запишем (5.11) в виде системы двух

уравнений первого порядка

180