книги / Физика колебаний

соответствует область непрозрачности, в которой амплитуда колебаний, возбуждаемых на границе цепочки, экспоненциально спадает

сростом номера ячейки.

ωω

ω0

Предположим теперь, что характерный пространственный период волнового движения λ (длина волны) много меньше пространственного периода повторения ячеек b. Тогда дифференциальноразностное уравнение (7.15) сводится к дифференциальному уравнению в частных производных. Это можно сделать либо так, как мы делали в подразд. 6.4, либо используя разложение искомой функции в ряд Тейлора при малых b. Однако прежде чем это проделать, необходимо понять, во что перейдут величины LC и L C при устремле-

нии пространственного периода b к нулю. Для произведения LC можно записать где – индуктивность

и емкость единицы длины цепочки (при этом мы предполагаем, что индуктивность L и емкость C можно непрерывно распределить по длине цепочки). А вот произведение L C, как это ни странно, от величины b не зависит. Поясним это. Рассмотрим произвольную ячейку, содержащую параллельно соединенные индуктивность L и емкость C. Разобьем данную ячейку на m одинаковых микроячеек, каждая из которых должна содержать некоторую индуктивность и емкость (рис. 7.13). Так как и емкости, и индуктивности, попавшие в каждую микроячейку, оказываются соединенными параллельно

241

с остальными микроячейками, то емкость микроячейки уменьшается в m раз, а индуктивность микроячейки увеличивается в m раз (вспомним, что при параллельном соединении емкости складываются, а для индуктивностей складываются величины, обратные индуктивностям: Cпарал = ∑Ci , 1/ Lпарал = ∑1/ Li ). В итоге произведение

L C, а с ним и величина ω0 =1/ L C останутся неизменными.

Рис. 7.13

При устремлении параметра b к нулю величины qn (t), qn+1(t)

Тогда, переходя от дискретной координаты xn = nb к непрерыв-

ной, вместо уравнения (7.15) получаем уравнение в частных производных

242

где введено обозначение v2 =1/ (L0C0 ). Это линеаризованное урав-

нение Клейна–Гордона, впервые появившееся в теории поля. Его применяют во многих задачах, в том числе при распространении электромагнитных волн в плазме, при распространении волн в волноводах и др.

Обсудим теперь подробнее смысл допущений, сделанных при выводе уравнения Клейна–Гордона. Во-первых, функция qn (t) была определена в дискретных точках оси X , мы же заменили ее непрерывной. Во-вторых, мы разложили функцию q(x,t) в ряд и отброси-

ли старшие члены разложения (в этом неточность уравнения (7.19)). Кроме того, проделывая эти операции, мы не определили точно,

с характерным пространственным периодом волнового движения, то мы говорим о малости безразмерной величины kb и, следовательно, о малости b по сравнению с длиной волны λ, так как k = 2π/ λ. Таким образом, наши допущения справедливы для достаточно длинных волн, и цепочку осцилляторов можно рассматривать как непрерывную среду, описываемую уравнением Клейна–Гордона. Однако все приближения нарушаются, когда λ ~ b, т.е. длина волны в структуре соизмерима с ее пространственным периодом. Таким образом, условие kb <<1 означает переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной среде.

243

ных на расстоянии b << λ (дисперсионная кривая – сплошная кривая на рис. 7.14, б). Ранее уже говорилось, что при ω0 → 0 дисперсия ис-

чезает. Это происходит потому, что исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый из осцилляторов имеет собственный период T = 2π/ ω0 , «среда» из осцилляторов

не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все осцилляторы будут колебаться синфазно – волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (7.15) и (7.17), в которых соотношение между b и λ может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется даже при ω0 → 0. В этой среде дисперсия определяется собст-

венным пространственным масштабом – периодом «решетки». С этим же связана дисперсия в «решетке» из равноудаленных частиц разной массы (7.12). Что касается цепочки из связанных осцилляторов, когда ω0 ≠ 0 и b сравнимо с λ, то дисперсия определяется

и временным, и пространственным масштабами.

Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии

всреде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов. Дисперсия, связанная с наличием в среде временных масштабов, обычно называется временнóй, а с наличием пространственных масштабов – пространственной. Если в среде нет никаких пространственных или временных масштабов (как, например, при распространении звука

вводе или электромагнитных волн в вакууме), т.е. нет характерных частот или периодов, то распространяющаяся несинусоидальная волна искажаться не будет. В этом случае дисперсия отсутствует. При распространении волн в периодических структурах (кристаллах) волны низкой частоты распространяются без искажений, а для высоких частот уже имеет значение расстояние между ионами – дискретность среды.

245

7.4. Волны в линиях передачи

Обычно переменные электрические сигналы передают по двухпроводной линии. В области частот 50–60 Гц потери этой линии на излучение достаточно малы (они пропорциональны четвертой степени частоты). На частотах от нескольких килогерц до нескольких тысяч мегагерц потери на излучение становятся очень ощутимыми и поэтому электромагнитные сигналы передаются по коаксиальным линиям (провод внутри цилиндрического внешнего проводника – для защиты от излучения). Рассмотрим вначале задачу о распространении электрических сигналов в длинной двухпроводной линии, в которой с помощью генератора могут возбуждаться переменные токи высокой частоты (система Лехера). Связь проводов с генератором может быть либо емкостной, либо индуктивной. Примем, что по отношению к поперечным размерам системы условие квазистационарности выполнено (расстояние между проводами много меньше cT , где T – период колебаний, c – скорость света), а по отношению к продольным размерам – нет (для частот порядка сотни мегагерц длина линии составляет несколько метров). Поэтому электрические токи в проводах не квазистационарны, сила тока I, а также линейная плотность заряда q существенно изменяются вдоль проводов.

Пусть для конкретности данная двухпроводная линия является коаксиальным кабелем, не обладающим активным сопротивлением

(рис. 7.15, а).

246

Схематично данная линия отображена на рис. 7.15, б. При выполнении условия квазистационарности по отношению к поперечным размерам можно ввести емкость и индуктивность единицы длины – C0 и L0. Так как ток I изменяется со временем, то наличие ин-

дуктивности вызовет падение напряжения между проводами,

равен U (x +∆x) −U (x) (напомним, что сами провода не обладают ак-

В уравнениях (7.22) и (7.23) мы поставили знаки частных производных, подчеркивая, что значения тока и напряжения зависят от двух переменных x и t. Эти уравнения называются основными урав-

нениями двухпроводной линии передачи. Объединяя их, нетрудно по-

лучить уравнения, описывающие процессы распространения тока и напряжения вдоль проводов:

247

Уравнения (7.24) являются типично волновыми уравнениями, т.е. в однородной передающей линии напряжения и токи распространяются вдоль линии как волна со скоростью

Этот же результат был получен нами ранее в подразд. 6.4, правда, из других соображений. Приведенный же сейчас вывод позволит нам получить гораздо больше информации о распространении волн в линиях передачи. Найдем, прежде всего, скорость распространения волны тока и напряжения вдоль коаксиального кабеля. Опираясь на определения емкости и индуктивности, для их значений на единицу длины коаксиального кабеля нетрудно получить

т.е. вдоль коаксиального кабеля электрические колебания распространяются в виде волны со скоростью света. Нужно подчеркнуть, что этот результат основан на двух предположениях: 1) в промежутке между проводами нет ни диэлектриков, ни магнитных материалов; 2) все токи текут только по поверхности проводников. Любопытно,

что в этих двух предположениях произведение L0C0 равно 1/ c2 для

любой параллельной пары проводников независимо от формы их сечения (требуется только постоянство сечения).

248

До сих пор нами не вводилось никаких предположений о форме колебаний в системе Лехера. Допустим теперь, что колебания и волны являются гармоническими с частотой ω. Тогда решения системы уравнений (7.24) для волн, распространяющихся вдоль оси X , имеют вид

где I0 и U0 – максимальные значения тока и напряжения, k = 2π/ λ – волновое число (напомним, что v = ω/ k ). Из уравнения (7.22) следует

−kU+′ = −ωL0 I+′,

где штрихом обозначено дифференцирование по аргументу ωt −kx. Интегрируя это уравнение и опуская константу интегрирования, получаем

U+ = vL0 I+ .

Отношение

где постоянная для линии передачи величина Z0 = L0 / C0 называ-

ется волновым сопротивлением или характеристическим импедан-

сом. Отметим, что эта величина представляет собой чистое сопротивление. Точно так же для волны, бегущей против оси X , получаем

U− = −Z0.

I−

Напомним, что в общем случае импеданс может быть и комплексным числом. Он определяется как коэффициент пропорцио-

249

нальности (см. подразд. 3.2) между напряжением и током, изменяющимися по гармоническому закону и заданными в комплексном ви-

можно получить и из простых энергетических соображений. Так как линия бесконечна, то вдоль нее распространяется бегущая волна. В бегущей волне, как известно из механики, выполняется равенство плотностей кинетической и потенциальной энергий. Здесь же имеем

12 L0 I 2 = 12 C0U 2.

Откуда находим

Очень похоже на закон Ома, но аналогия чисто внешняя, так как U есть напряжение между проводами, тогда как в законе Ома речь идет о напряжении вдоль проводов.

Для коаксиальной линии волновое сопротивление

Множитель 1/ (ε0c) имеет размерность сопротивления и равен 120π Ом. Геометрический фактор ln (b / a) зависит от размеров толь-

ко логарифмически (т.е. слабо), так что коаксиальная линия (и большинство других линий), как правило, обладают волновым сопротивлением порядка нескольких сотен ом и меньше.

В неограниченной линии, возбуждаемой с одного конца, всегда возникала бы бегущая волна. Волны напряжения и тока находятся в фазе и переносят энергию, которая все время поступает в линию от генератора. Предположим теперь, что линия передачи с волновым сопротивлением Z0 имеет конечную длину, а на ее конце, про-

250