книги / Физика колебаний

колебаний каждого тела, а значения ϕ1 и ϕ2 определяют сдвиг фазы

колебаний каждого тела относительно внешней силы. Если же оставить в стороне вопрос о фазах колебаний и попытаться получить информацию только об амплитудах колебаний, то в качестве частного решения можно взять

Подставляя (3.23) в (3.22), приходим к системе двух алгебраических уравнений относительно амплитуд колебаний

−A1m1ω2 + k1 A1 −k2 ( A2 − A1 ) = F0 ,

−A2m2ω2 + k2 ( A2 − A1 ) = 0.

Из данной системы нетрудно найти А1 и А2:

A = F0k2 .

2 (k1 +k2 −m1ω2 )(k2 −m2ω2 )−k22

Как и ожидалось, значения амплитуд сильно зависят от частоты вынуждающей силы. Так, в частности, при определенных значениях ω знаменатели в (3.24) обращаются в нуль, а величины A1 и A2

стремятся к бесконечности; это означает наступление резонанса в системе. Значения резонансных частот определяются из уравнения

112

Гораздо интереснее другой факт – обращение в нуль числителя в первой из формул (3.24). Если частота возбуждения удовлетворяет равенству

то для амплитуд A1 и A2 находим

A1 = 0, A2 = − F0 . k2

Не следует бояться того, что значение A2 оказалось отрица-

тельным. Это означает только то, что колебания второго тела противоположны по фазе внешней гармонической силе. Особенного внимания заслуживает равенство A1 = 0, т.е. первая масса остается все

время неподвижной, хотя именно к ней приложена вынуждающая сила! Это и есть тот удивительный эффект, который невозможен в статических задачах. Иногда такое состояние системы называют

Возможность антирезонанса практически используется при устройстве динамических гасителей колебаний. Пусть, например, име-

113

ется одномассовая система, к которой приложена гармоническая возмущающая сила. В такой системе колебания неизбежны при любых параметрах системы. Однако, если ввести в систему дополнительный груз на упругой связи, то получается изображенная на рис. 3.12 двухмассовая система, и, как мы только что видели, колебания основного (первого) груза полностью исчезнут, если параметры k2 и m2 дополнительной части системы подобраны согласно ус-

ловию (3.26). В этом случае второй груз выполняет роль динамического гасителя колебаний для основной системы.

При соответствующей настройке виброгасителя, когда исчезают колебания основной конструкции, дополнительный груз, как правило, вибрирует очень сильно. Амплитуда A2 колебаний гасителя равна отношению амплитуды внешней силы к жесткости дополнительной пружины; для легкого гасителя, когда значение m2 невелико, эта

жесткость также должна быть малой (этого требует условие настройки гасителя).

Идея динамического виброгасителя, бесспорно, увлекательна и может даже показаться, что в ней следует видеть панацею от всяких нежелательных вибраций. К сожалению, у динамического виброгасителя есть один серьезный недостаток: он способен гасить колебания лишь строго фиксированной частоты. Всякое изменение частоты возмущения вызовет нарушение условия (3.26) и дополнительная часть системы утратит свойства гасителя; возможно даже, что условия работы основной системы не улучшатся, а ухудшатся.

На рис. 3.13 видно, что вторая масса гасит колебания лишь

в систему гасителя вязкого сопротивления можно несколько расширить диапазон частот, внутри которого происходит интенсивное гашение колебаний. Поэтому, когда в колебательную систему вводится гаситель, он обычно снабжается демпфирующим элементом с заданным вязким сопротивлением.

114

3.4. Гармонический осциллятор под действием непериодической силы

До сих пор мы занимались задачами, в которые входила внешняя периодическая сила. А как поведет себя гармонический осциллятор под действием произвольной непериодической силы F(t), когда

движение описывается уравнением x +ω2 x = F(t)? Воспользуемся

для получения ответа методом, аналогичным до определенного момента методу Ван-дер-Поля (см. подразд. 2.5). Будем полагать

x(t) = A(t)cos ωt + B(t)sin ωt,

где A(t) и B(t) – неопределенные функции времени. Введем переменную

x(t) = −A(t)ωsin ωt + B(t)ωcosωt,

которая не является непосредственным результатом дифференцирования x по t. Это означает, что переменные A(t) и B(t) связаны ус-

ловием

Acos ωt + Bsin ωt = 0 .

Продифференцируем x по времени

x = −Aωsin ωt − Aω2 cos ωt + Bωcosωt − Bω2 sin ωt

и подставим в исходное уравнение x +ω2 x = F(t). Тогда получаем

−Aωsin ωt + Bωcos ωt = F(t).

Умножая это уравнение последовательно на sin ωt и cos ωt и складывая, получаем с учетом дополнительного условия, накладываемого на функции A(t) и B(t):

115

Эта система двух дифференциальных уравнений первого порядка точно соответствует исходному уравнению второго порядка

x +ω2 x = F(t), но в отличие от рассмотренного ранее метода Ван- дер-Поля в ее правые части уже не входят функции A(t) и B(t), что позволяет данную систему сразу проинтегрировать. Отсюда находим

и при t →∞ решение уходит в бесконечность – секулярный рост. Очевидно, если с ростом времени коэффициенты A(t) и B(t) остаются малыми, то резонанса не будет. Таким образом, условие отсут-

Математически последнее соотношение означает, что функция F(t) не должна содержать собственных функций нашей задачи. Если

∞

же F(t) = ∑ F0i cos ωit (т.е. внешняя сила может быть представлена

i=1

рядом Фурье) и одна из частот ωi совпадает с собственной частотой

осциллятора, то возникает резонанс. Все составляющие других частот в этом случае будут мало существенными.

3.5. Резонанс в нелинейных системах

Если осциллятор линейный, то при действии на него внешней периодической силы наблюдается, по существу, единственный основной эффект – линейный резонанс на частоте, близкой к собствен-

116

ной. Чем меньше потери в осцилляторе, тем острее и выше резонансная кривая. Что может быть качественно нового в нелинейном осцилляторе при резонансе? Одно из основных отличий связано с неизохронностью нелинейной колебательной системы. При приближении частоты внешней силы к частоте собственных колебаний бóльшим амплитудам колебаний уже соответствует другая частота. В результате система выходит из резонанса и, начиная с некоторой амплитуды, осциллятор перестает замечать внешнюю силу. Выход из резонанса происходит, таким образом, за счет нелинейного сдвига частоты ω= ω(A). Кроме того, для нелинейного осциллятора резо-

нанс существует и на гармониках внешней силы. В общем случае, даже при синусоидальном воздействии, в такой неавтономной системе возможны совершенно нетривиальные эффекты – динамика системы может оказаться чрезвычайно сложной, в том числе и стохастической (случайной). Эти эффекты обнаруживаются лишь при наличии нелинейностей.

Ограничимся пока рассмотрением системы, близкой к линейному автономному осциллятору, т.е. будем считать малыми не только нелинейность и диссипацию энергии, но и амплитуду внешней силы. Тогда становится очевидным и метод решения – это один из асимптотических методов, например, метод медленно меняющихся амплитуд. Возьмем в качестве исходной системы нелинейный электрический колебательный контур с сегнетоэлектриком (см. подразд. 1.3) при наличии линейного затухания. Уравнение его собственных колебаний имеет вид

x +2βx +ω02 (1+ γx2 )x = 0.

Подобное же уравнение можно записать и для маятника при достаточно малых амплитудах колебаний. Пусть внешняя сила изменяется по закону f = f0 cos ωt. Тогда уравнение вынужденных колебаний можно записать как

венных колебаний. Для возможности применения метода медленно меняющихся амплитуд потребуем, чтобы внешняя сила была мала по амплитуде и имела тот же порядок малости, что и малые силы, связанные с нелинейностью и диссипацией энергии. В этом случае внешнюю силу можно объединить с этими малыми силами и свести рассмотрение задачи к уравнению типа

x +ω02 x = µf1 ( x, x,t) (µ<<1),

которое отличается от рассмотренного ранее уравнения (2.13) тем, что функция f1 зависит не только от переменной x и ее производной x, но и явно от времени.

Так как мы хотим исследовать резонанс, будем искать решение на частоте внешней силы

x = A(t)cos[ωt +θ(t)] ,

где A(t) – амплитуда колебаний, θ(t) – сдвиг фазы колебаний отно-

сительно внешней гармонической силы. Введем в рассмотрение линейную расстройку частоты

ε= ω−ω0 ω0.

Вэтом случае при достаточно малых значениях расстройки уравнение (3.27) преобразуется к виду

x +ω2 x = f0 cos ωt −2βx −γω02 x3 +2εωx .

Тогда система укороченных уравнений (2.26), применяемая в методе ММА, будет выглядеть как

118

+ 2εAωcos(ωt +θ) cos(ωt +θ)dt.

После выполнения интегрирования приходим к системе уравнений

где

δ = 3γω2 0 . (3.30)

8ω

Из (3.29) нетрудно найти связь расстройки и амплитуды установившихся вынужденных колебаний (резонансную кривую)

На рис. 3.14, а приведено типичное семейство соответствующих резонансных кривых на плоскости (A02 ,ε) для различных значений

119

амплитуды вынуждающей силы f0. Отчетливо видно, что все эти кривые разбиваются на два типа. Когда f0 меньше некоторого предельного значения f0 резонансные кривые однозначны и напоми-

нают резонансные кривые линейного осциллятора с затуханием. Их максимум смещен в сторону больших частот, если собственная частота осциллятора с ростом амплитуды колебаний растет (так называемая жесткая упругая сила γ > 0 ). Если же с ростом амплитуды ко-

лебаний собственная частота убывает (мягкая упругая сила γ < 0 ), то максимум резонансных кривых смещается в сторону меньших частот. При f0 > f0 резонансные кривые уже неоднозначны. Связано это с тем, что для определения стационарных амплитуд необходимо решать уравнение третьей степени относительно A0.

Устойчивость найденных решений можно определить известным методом возмущений, подробно рассмотренным в подразд. 2.5. Такой анализ устойчивости различных ветвей резонансных кривых показывает, что средняя ветвь, отмеченная пунктиром от точки 1 до точки 2 на рис. 3.14, б, неустойчива. При изменении расстройки, двигаясь вдоль резонансной кривой слева направо, будем наблюдать следующее. При ε = 0 – точный резонанс по линейному приближению – амплитуда колебаний далеко не максимальна. Максимум амплитуды A0m наблюдается для некоторого значения расстройки

120