книги / Физика колебаний

лежащие в сверхвысокочастотном (СВЧ) диапазоне радиоволн. Если такая молекула или атом облучается СВЧ электромагнитными колебаниями, частота которых удовлетворяет условию =ω= E1 − E2 ( E1

и E2 – значения энергии на верхнем и нижнем уровнях), то может

произойти резонансное поглощение. Исследование резонансных частот, ширины и формы спектральных линий позволяет определять структуру молекул, структуру атомных ядер и строение электронных оболочек атомов; устанавливать характер взаимодействия между атомами и молекулами в веществе и многое другое.

Резонанс можно использовать и для глобальных измерений. С его помощью удалось, например, определить параметры осциллятора Земля – атмосфера. Внешней силой в этом случае служит Луна, которая, вращаясь вокруг Земли, вызывает два раза в сутки приливы атмосферы с периодом 12 ч 40 мин. Очевидно, что если атмосферу сместить, то благодаря возвращающей гравитационной силе возникнут колебания атмосферы относительно Земли. Для измерения параметров β и ω0 такого глобального осциллятора достаточно найти

амплитуду и сдвиг фазы колебаний при каком-нибудь одном значении ω. Измерили величину атмосферных приливов и время их задержки, что позволило по одной известной точке построить резонансную кривую.

3.2. Электрические колебания. Импеданс

Обратимся теперь к вынужденным колебаниям в контуре, со-

ного напряжения U =U0 cos ωt. Уравнение колебаний заряда q на

было получено в предыдущем разделе

102

сатора относительно внешнего переменного напряжения. Дифференцируя (3.12) по времени, получаем выражение для тока

В выражение для тока (3.14) входит сдвиг фазы колебаний заряда относительно внешнего напряжения U (t). Это не совсем удобно.

Логично значение тока выразить через его сдвиг фазы относительно U (t). Для этого перепишем (3.14)

I = I0 cos(ωt −ϕ),

ωL <1/ ωC.

103

В силу закона Ома напряжение от внешнего источника U0 cos ωt должно быть равно сумме напряжений на активном сопро-

Для этого в качестве направления, от которого будем отсчитывать фазы, выберем ось тока. Тогда получается диаграмма, изображенная на рис. 3.6. Заметим, что из нее легко получить форму-

лу (3.15).

Резонансное поведение электрического колебательного контура определяется его добротностью Q, определяемой на резонансной

частоте. Правда, здесь возникает вопрос, о резонансе какой величины идет речь? Из выражений (3.15) и (3.16) следует, что резонанс тока и напряжения на активном сопротивлении происходит точно на частоте собственных колебаний ω0. Из выражений же (3.17) и (3.18)

104

нетрудно убедиться, что резонанс напряжения на конденсаторе на-

нансных максимумов по частоте может быть весьма существенным при использовании таких систем в радиоизмерительных устройствах. И все три максимума совпадают только при малом затухании. Поэтому в дальнейшем будем относить добротность к частоте собственных колебаний ω0

Q = ω2β0 .

Найдем резонансные значения тока и напряжений

Из последних двух формул следует, что добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе (или индуктивности) в момент резонанса превышает приложенное внешнее напряжение. На рис. 3.7 и 3.8 приведены резонансные кривые для напряжения на конденсаторе и тока.

Полученные нами результаты для установившихся вынужденных колебаний в электрическом колебательном контуре можно применять для анализа цепей переменного тока, в которые включены в произвольном порядке емкости, индуктивности и активные сопротивления. Анализ такой цепи можно считать законченным, если нам известны токи и напряжения во всех ее ветвях. Эти величины для произвольного момента времени можно найти, составив и решив соответствующие дифференциальные уравнения. Если же нас интересует только установившийся режим, то существует более простой

105

иэлегантный метод. Он основан на двух идеях: переменные токи

инапряжения могут быть представлены комплексными числами;

ипри заданной частоте любая ветвь или элемент контура характеризуется отношением напряжения к току.

Ранее мы выяснили, что переменное синусоидальное напряжение, приложенное к какому-либо участку цепи, содержащей L, C

и R , рождает ток, изменяющийся также по синусоидальному закону, но со сдвигом по фазе (так обстоит дело только с линейными системами). С использованием комплексных чисел изменяющееся во времени напряжение можно записать в виде

где U – комплексное число, независящее от времени. При этом, конечно, подразумевается, что настоящее переменное во времени напряжение U (t) представляется действительной частью комплексной

функции в правой части уравнения (3.19). Подобным образом будем записывать и все другие величины, изменяющиеся со временем синусоидально с той же частотой ω, т.е. будем записывать:

106

и т.д. В дальнейшем можно снять символ «~» над I , õ и писать просто I, õ (вместо I , õ ), помня при этом, что они изменяются со

временем всегда так, как записано в (3.19).

Найдем теперь связь между переменным током и напряжением на индуктивности U = LdI / dt. Так как ток изменяется по закону

В этой формуле напряжение пропорционально силе тока с коэффициентом пропорциональности, который является комплексным числом. Этот коэффициент пропорциональности называется импедансом, и его часто обозначают как Z. Итак, импеданс индуктивности ZL = iωL. Установим соотношения, подобные (3.21), и для дру-

гих элементов. Для конденсатора имеем U = Cq = C1 ∫ Idt = iω1C I (мы

учли равенство (3.20)). Тогда импеданс конденсатора ZC = iω1C .

И совсем просто обстоит дело с активным сопротивлением. Для него U = IR, т.е. импеданс сопротивления ZR = R – число действительное. Соотношение (3.21) можно переписать в виде I =Y U , где Y – комплексное число, называемое полной проводимостью. Для индук-

тивности YL = iω1L , для конденсатора YC = iωC, для сопротивления

YR = R1 .

Из рассмотренных элементов можно построить любой контур. Для последовательного соединения, так как напряжения складываются, а токи на элементах одинаковы, полный импеданс равен сумме импедансов:

Zпосл = ∑ Zi .

107

ваются полные проводимости Y.

Все рассмотренное звучит так, как будто мы говорим о протекании постоянных токов! И действительно, мы свели задачу о цепи переменного тока к задаче о цепи постоянного тока с единственным различием: числа, с которыми мы имеем дело (токи, напряжения, импедансы, проводимости и др.), являются комплексными числами. Более того, остаются в силе и правила Кирхгофа, записанные через импедансы (нужно только помнить про временной экспоненциальный множитель exp(iωt ) и из полученного результата взять действи-

тельную часть).

В качестве примера рассмотрим контур из параллельно включенных элементов R, L, C (рис. 3.9). Полная проводимость трех па-

раллельных ветвей

Y= R1 +iωC + iω1L = R1 +i ωC − ω1L .

Переменное напряжение U0 cos ωt заменим на U0 exp(iωt ) и в дальнейших выкладках множитель exp(iωt ) будем опускать. То-

гда комплексный ток, потребляемый от источника переменного напряжения U0 , выражается равенством

Заметим, что не составит труда найти и токи, протекающие по любым другим участкам цепи (точно так же, как это делается для постоянных токов). Рассмотренный метод применим только к линейным элементам контуров, т.е. к элементам, в которых ток пропорционален напряжению. Для нелинейных элементов понятие импеданса неприменимо.

3.3. Амортизация колебаний. Антирезонанс

Обычно основное назначение амортизаторов сводится к уменьшению давления на фундамент или другую опору при действии некоторой периодической силы (например, вибрирующих машин,

109

mx +rx +kx = F0 sin ωt,

где F0 – амплитуда внешней силы, ω – ее частота. Данным уравне-

нием мы занимались неоднократно, поэтому сразу запишем выражение для амплитуды колебаний вибрирующего тела

Со стороны вибрирующего тела на опору в этом случае действует сила F1 = kx +rx, амплитудное значение которой

F1m = A k2 + r2ω2 .

Эффективность работы амортизатора можно характеризовать коэффициентом амортизации

который, естественно, должен быть меньше единицы. Данный коэффициент несложно выразить через добротность колебательного контура Q = k / (ω0r ) и отношение частоты внешней силы ω к частоте

Нетрудно видеть, что α меньше единицы при (1−γ2 )2 >1, т.е.

при γ > 2.

На рис. 3.11 приведена зависимость коэффициента амортизации от отношения частот γ = ω/ ω0 при нескольких значениях доб-

110