книги / Физика колебаний

ри, и вложение энергии в данном случае пропорциональны квадрату амплитуды колебаний (пропорциональны колебательной энергии системы). Для вынужденных колебаний в линейных системах при силовом воздействии вложение энергии пропорционально первой степени амплитуды колебаний, а потери по-прежнему пропорциональны квадрату амплитуды, что приводит к образованию конечной амплитуды вынужденных колебаний.

Очевидно, что параметрическое возбуждение колебаний возможно лишь при изменении одного из реактивных параметров L или C. Изменение R может привести лишь к изменению закона диссипации, но система остается диссипативной.

Ранее уже отмечалось, что для нелинейных систем не представляется возможным провести четкое разграничение между силовым

ипараметрическим воздействиями. При силовом воздействии вынужденный колебательный процесс будет за счет нелинейных свойств системы приводить к периодическому изменению соответствующих параметров. Поэтому, в конечном счете, результирующий вынужденный процесс может иметь некоторое сходство с параметрически возбуждаемым колебательным процессом; может нарушаться монотонность изменения амплитуды при изменении соотношения частот

имогут наблюдаться интенсивные колебания при частотных соотношениях, типичных для параметрических систем.

Всвязи с этими особенностями поведения нелинейных систем представляется разумным собственно параметрическим воздействием считать воздействие, при котором принудительное изменение реактивных параметров системы не сопровождается введением в систему соответствующих периодических сил, способных вызвать обычным путем вынужденные колебания. Это, например, может быть реализовано при механическом изменении емкости или индуктивности. Возможно также осуществление балансных схем (рис. 4.3), в которых подбором соответствующих элементов можно добиться практически полной компенсации ЭДС, наводимых на частоте

накачки Ω = 2ω, и рассматривать последние как колебательные цепи с периодически изменяющимися параметрами. В первой схеме

131

где ω0 – частота собственных колебаний, ω0 =1/ LC0 .

Данное уравнение хорошо известно из теории линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и носит название уравнения Матье. К подобному виду нетрудно привести уравнение колебаний математического маятника, длина подвеса которого изменяется по закону l = l0 (1+µcos Ωt) . Теория этих уравне-

ний разработана с большой полнотой, известны и все существенные

где χ(t) – ограниченные функции с периодом, равным периоду из-

менения параметра или половине этого периода, а λ – комплексная величина, называемая характеристическим показателем. Вещест-

венная часть λ определяет, имеет ли решение возрастающий характер или нет.

При произвольных µ функции вида (4.5) выражаются через специальные функции – функции Матье, которые затабулированы и свойства которых хорошо известны. Мы же попытаемся решить задачу (4.4) в простых функциях, считая µ <<1. При µ = 0 решение

уравнения (4.4) известно:

x(t) = x0 (t) = Acos(ω0t +ϕ).

133

Поэтому есть надежда, что и при µ ≠ 0, но малом, решение бу-

дет мало отличаться от известного, а поправки можно будет вычислять рекуррентным способом, т.е. каждое последующее приближение будет определяться предыдущим. Итак, воспользуемся теорией возмущений, в основе которой лежит знание решения при µ = 0. Бу-

дем искать решение (4.4) в виде

Этот ряд не обязательно должен сходиться: нужно только, чтобы он сходился асимптотически. Ряд называется асимптотически сходящимся, если решение переходит в точное при стремлении к нулю малого параметра.

Решение в виде (4.6) имеет смысл только в том случае, когда поправки x(i) к нулевому приближению x0 не нарастают со временем. Подставим (4.6) в (4.4) и сгруппируем члены при одинаковых степенях µ. Это дает нам уравнение

Все скобки в (4.7) имеют разный порядок величины и скомпенсировать друг друга не могут, поэтому для выполнения тождества каждая из скобок должна равняться нулю. Таким образом, мы получаем рекуррентную систему уравнений для нахождения i-го приближения. Как видно из (4.7), каждое из уравнений представляет собой уравнение гармонического осциллятора, на который действует внешняя сила в виде набора гармоник. Например, для поправки пер-

вого приближения x(1) имеем

x(1) (t) +ω02x(1) (t) = ω02 Acos(ω0t +ϕ)cos Ωt

134

Отсюда видно, что вынуждающая сила в правой части содержит две гармонические составляющие – на частотах (ω0 −Ω) и (ω0 +Ω).

Чтобы поправка x(1) (t) не нарастала со временем, необходимо, чтобы эти гармоники были нерезонансны с колебаниями на частоте ω0 , т.е. необходимо, чтобы ω0 −Ω ≠ ω0 и Ω ≠ 2ω0. Но ведь нас как раз

и интересует случай параметрического резонанса, наступающего именно на этой частоте! При резонансе же наблюдается секулярный

рост во времени поправки x(1) (t) и поэтому решение вида x(t) = = x0 (t) +µx(1) (t) имеет смысл лишь на временах порядка нескольких

периодов. Как исправить решение, чтобы им можно было пользоваться и при резонансе? Единственный выход из положения – считать амплитуду и фазу главной части решения уже не постоянными величинами, а медленно меняющимися функциями времени, т.е. A = A(µt), ϕ = ϕ(µt). В подобном суммировании резонансных состав-

ляющих в разных порядках теории возмущений с главной частью решения и заключается основная идея большинства методов малого параметра, в том числе и для нелинейных систем.

Вернемся теперь к нашей задаче и рассмотрим резонансный случай Ω = 2ω0 +µδ, где µδ = δ′ – малая расстройка. Тогда уравнение (4.4) примет вид

135

раз из условия ненарастания добавки x(1) (t). Подставим (4.9) в уравнение (4.8) и приравняем коэффициенты при µ в первой степени. Тогда, считая A ~ µA и B ~ µB (в этом мы скоро убедимся), получаем для x(1) (t) уравнение

буем, чтобы в правой части (4.10) резонансные слагаемые (т.е. с частотой ω0) отсутствовали. Для этого определим A и B равенствами

(отсюда, кстати, видно, что наше предположение A ~ µA и B ~ µB

оправдывается). Это и есть искомые уравнения для медленно изменяющихся амплитуд. Решение такой линейной системы уравнений, как обычно, ищем в виде A, B ~ exp(λt ). Тогда из условия нетриви-

альности решения получаем характеристическое уравнение для определения λ:

амплитуды A и B будут нарастать и в системе реализуется параметрическая неустойчивость. Неравенство (4.11) определяет зону основного резонанса, границы которой определяются уравнением

136

При большой глубине модуляции µ правая часть уравнения x +ω02 x = µxω02 cos Ωt уже не является малой и асимптотический ме-

тод решения неприменим. В этом случае требуется численное интегрирование. Если не полагать глубину модуляции малой, то уравнение Матье для большей общности результатов удобно представить в виде

где а и q – некоторые постоянные (не обязательно положительные), τ = ω0t – безразмерное время. Результаты интегрирования уравнения

Матье (4.12) для двух различных комбинаций а и q изображены на рис. 4.5. Хотя в обоих случаях параметр q системы одинаков (q = 0,1),

137

тойчивости). Диаграмма Айнса–Стретта полностью освобождает от выполнения каких-либо операций по решению уравнения Матье. Достаточно составить это уравнение для конкретных значений параметров а и q, тогда диаграмма сразу дает ответ об устойчивости или неустойчивости системы.

4.3. Движение в быстро осциллирующем поле. Маятник Капицы

В предыдущем разделе, изучая поведение систем с изменяющимися параметрами, мы ограничивались специфическим случаем, когда частота изменения параметра системы была того же порядка, что и ее собственная частота ( Ω ≈ 2ω0 / n, n – малые числа). При этом,

как мы убедились, возможна экспоненциальная неустойчивость. А что будет, если параметр системы меняется очень быстро по сравнению с собственной частотой системы ω0?

Рассмотрим нелинейный осциллятор, на который действует зависящая от x периодическая сила:

Здесь ω>>1/T , где T = 2π/ ω0 – характерный период движения ав-

тономного осциллятора. Разумно искать решение (4.13) в виде суммы медленной и быстро осциллирующей составляющих:

кой вид решения физически оправдан, так как, благодаря инерционности, осциллятор должен слабо откликаться на быстрые внешние пульсации. Подставим (4.14) в (4.13):

139

Это уравнение содержит пульсационные (быстрые) и медленно изменяющиеся слагаемые. Для того чтобы их отделить одно от другого, проведем усреднение (4.16) по малому периоду τ = 2π/ ω:

Пользуясь тем, что при усреднении по быстрому времени функция X (t) изменяется медленно, получаем два связанных уравнения

для быстрой и медленной функций χ и X:

нию с µχ ~ µω2χ ~ ω0ωχ, то им можно пренебречь. Это позволяет уравнение (4.18) сразу проинтегрировать (при интегрировании по

140