книги / Физика колебаний

Глава 3 ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

При изучении внешнего воздействия на колебательные системы необходимо различать силовое и параметрическое воздействия. При силовом воздействии параметры колебательной системы (например, частота ω0 , коэффициент затухания β) не изменяются. Параметри-

ческое же воздействие, напротив, изменяет только эти параметры. Очевидно, что чисто силовое воздействие на колебательные системы может быть только при их определенной идеализации, а именно при допущении линейности системы. Если же происходит параметрическое воздействие, то колебательная система должна иметь хотя бы один параметр, величина которого зависит от мгновенного значения действующей на систему внешней силы. В реальных системах, которые принципиально нелинейны, нельзя строго разделить силовое и параметрическое воздействия. Пусть, например, мы воздействуем на какую-либо колебательную систему внешней силой. Тогда при небольших амплитудах внешнего воздействия колебательная система остается линейной и, следовательно, имеет место силовое воздействие. По мере увеличения амплитуды внешней силы или увеличении амплитуды вынужденных колебаний в системе появляется нелинейная зависимость какого-либо параметра системы от мгновенного значения внешней силы. Такое воздействие следует считать смешанным, т.е. и силовым, и параметрическим.

В электрических системах осуществить внешнее периодическое воздействие можно достаточно просто за счет индуктивной или емкостной связи. В случае механических колебательных систем решение задачи о действии периодической внешней силы наталкивается на известные трудности, так как согласно законам механики источник такой силы будет испытывать обратное воздействие со стороны колебательной системы. Одним из наиболее простых способов механического внешнего воздействия на механическую колебательную систему является задание смещения ξ(t) некоторой определенной

91

Анализ вынужденных колебаний в линейных системах облегчается благодаря возможности применения принципа суперпозиции. Согласно этому принципу, если внешняя сила F1(t) вызывает выну-

жденное колебание x1(t), а сила F2 (t) – колебание x2 (t), то сила

F(t) = F1(t) + F2 (t) создает вынужденное колебание x(t) = x1(t) + x2 (t). Этот принцип, справедливый только для линейных систем, означает, что в них отсутствует нелинейное взаимодействие колебаний, вызванных различными одновременно действующими силами.

Кроме того, в колебательных системах наряду с вынужденными колебаниями под действием внешней силы, возникают также собственные колебания. Однако в диссипативных системах собственные колебания через время t >>1/ β затухают и переходной процесс, свя-

занный с включением или выключением внешней силы, можно считать закончившимся.

3.1. Вынужденные колебания в линейной системе при гармоническом воздействии

Основным уравнением вынужденных колебаний под действием внешней синусоидальной силы в линейной механической системе с трением является

92

В этих уравнениях: m – масса, r – коэффициент сопротивления, k – жесткость пружины, F0 – амплитуда внешней силы, L – индуктивность контура, R – активное сопротивление, C – емкость, õ0 – амплитуда внешней ЭДС, ω – частота внешнего возмущения.

в уравнении (3.3) β = 0. Его общее решение, как известно, складывается из двух частей

x(t) = a cos ω0t +bsin ω0t + Acos ωt.

Первые два слагаемых дают общее решение однородного уравнения ( f0 = 0), третье слагаемое дает частное решение неоднородного уравнения. Как нетрудно убедиться,

A = ω02 −f0 ω2 .

93

Если ω и ω0 близки между собой, то процесс, отображаемый формулой (3.4), может быть описан как биения с частотой ω−ω0 . При приближении к резонансу, т.е. когда ω→ ω0 , частота этих бие-

ний будет неограниченно уменьшаться, а их амплитуда – неограниченно увеличиваться: будут получаться все более редкие и глубокие биения. Проследим, как происходит нарастание амплитуды колебаний при резонансе. В этом случае

ω02 −ω2 = (ω0 −ω)(ω0 +ω) ≈ 2ω0 (ω0 −ω),

и после несложных тригонометрических преобразований получаем

При точном резонансе (ω0 = ω)

x(t) = 2ωf00 t sin ω0t,

т.е. при периодическом воздействии ампли-

xтуда колебаний ведет себя как непериодическая функция времени (рис. 3.2). Мно-

системы по отношению к внешним воздействиям. Такая неустойчивость есть следствие идеализации исходной модели. И для устранения данной неустойчивости в зависимости от ситуации модель должна учитывать либо нелинейные эффекты (система остается консервативной), либо линейную диссипацию (вязкость, трение, сопротивление и т.п.). В первом случае нелинейные эффекты приводят к сдвигу частоты собственных колебаний ω0 (неизохронность коле-

баний) и постепенному выходу системы из резонанса. Во втором случае неограниченный рост амплитуды сдерживается неизбежной диссипацией энергии.

Рассмотрим теперь влияние затухания на процесс установления вынужденных колебаний и обратимся к уравнению (3.3). Общее решение соответствующего однородного уравнения, как мы уже знаем, имеет вид

x = a0e−βt cos(ω′t +α) .

Если рассматривать достаточно большие времена, то данное решение экспоненциально затухает до нуля. Остается найти частное (не содержащее произвольных постоянных) решение уравнения (3.3).

Используем метод комплексных амплитуд, т.е. будем считать, что все переменные – величины комплексные, а в окончательном решении примем во внимание только их действительную часть. Тогда (3.3) запишется как

Здесь и в дальнейшем символ «~» над какой-либо величиной означает, что это величина комплексная, а x = Re x. Будем искать частное решение уравнения (3.5) в виде

где A – комплексная амплитуда. После дифференцирования по времени и подстановки в (3.5) приходим к алгебраическому уравнению

−ω2 A +2iβωA +ω02 A = f0

95

(мы сократили на общий множитель exp(iωt ) ). Отсюда находим

Тогда для комплексной амплитуды A получаем

A = ρf0 exp(−iϕ) .

В соответствии с этим выражение (3.6) запишется как

Таким образом, находим истинное решение уравнения (3.3)

x = Re x = ρf0 cos(ωt −ϕ)

или в полном виде

96

Здесь

является амплитудой вынужденных колебаний.

Отметим основные особенности полученного решения. Вопервых, установившиеся колебания происходят на частоте вынуждающей силы, т.е. осциллятор «забывает» о своей частоте, подчиняясь внешнему воздействию. Во-вторых, колебания не совпадают по фазе с изменением внешней силы, причем величина отставания ϕ

зависит от частоты вынуждающей силы. И самое главное – при фиксированных параметрах колебательной системы амплитуда колебаний A зависит от частоты вынуждающей силы. Заметим также, что и скорость колебаний v зависит от частоты внешней силы:

На рис. 3.3 представлена зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты колебаний при разных значениях коэффициен-

достигается не при точном совпадении собственной частоты осциллятора с частотой вынуждающей силы, а смещается влево по оси частот на величину, зависящую от β. Значение частоты резонанса

ωрез нетрудно определить из выражения (3.9), найдя минимум знаменателя. Таким образом, находим

ωрез = ω02 −2β2 .

Подставляя это выражение в (3.9), получаем значение амплитуды при резонансе:

97

x0 = F0 2 = F0 . Это значение равно смещению осциллятора под дей- mω0 k

ствием постоянной силы. При ω→ ∞ все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как система не успевает в силу своей инерционности реагировать на такое быстрое возмущение.

Сравнивая значение амплитуды при резонансе и смещение при малых частотах, нетрудно увидеть, что их отношение при малом затухании равно добротности колебательной системы Q:

Таким образом, добротность колебательной системы является некоторым коэффициентом усиления и показывает, во сколько раз амплитуда в момент резонанса превышает смещение осциллятора из положения равновесия под действием постоянной силы той же величины, что и амплитуда переменной силы.

98

Резонанс существует не только для смещения, но и для скорости. Правда, в отличие от смещения резонанс скорости наблюдается точно на частоте собственных колебаний. Это легко увидеть из выражения для амплитуды скорости vmax :

Обратимся теперь к мощности, потребляемой осциллятором от внешнего источника. Так как и внешняя сила F и скорость колебаний v периодически изменяются, т.е. смысл рассчитать среднюю за период колебаний мощность, поглощаемую осциллятором P = F(t) v(t) . С учетом выражения (3.10) находим

P = − F02ω cos ωt sin (ωt −ϕ) , mρ

где значение ρ определяется выражением (3.7). Раскроем sin (ωt −ϕ)

и учтем, что среднее по периоду T = 2π/ ω от произведения cos ωt sin ωt равно нулю, а среднее значение квадрата косинуса равно 1/ 2. Тогда

P= F02ωsin ϕ. 2mρ

Легко проверить, что точно такое же выражение (но со знаком минус) получается и для средней мощности сил трения

99

Pтр = − 2βx x , где x дается выражением (3.10). Это не удиви-

тельно, так как в стационарном режиме установившихся колебаний внешняя сила должна возмещать потери энергии из-за наличия сил сопротивления. На рис. 3.4 приведена зависимость средней передаваемой осциллятору мощности от частоты внешней силы (резонансная кривая поглощения). Максимум поглощения, как и резонанс скорости, наблюдается на частоте ω0. Его значение

Pmax = F02

4βm

сильно зависит от коэффициента затухания. Нетрудно показать, что вблизи резонанса (ω≈ ω0 ) значение поглощаемой мощности можно представить как

Разность значений частот внешней силы ∆ω= ω2 −ω1, при кото-

рых поглощаемая мощность равна половине максимальной мощности (рис. 3.4), часто называют ши-