книги / Физика колебаний

рии, приводящие из любого места фазовой плоскости (при любом начальном состоянии) к устойчивой особой точке – состоянию покоя. Наличие нелинейного консервативного параметра в колебательной системе в первую очередь сказывается на форме фазовых траекторий, которые в этом случае не являются логарифмическими спиралями на всей фазовой плоскости, а переходят в них в окрестностях особой точки типа фокус. На рис. 2.5 приведен для иллюстрации фазовый портрет математического маятника при учете линейного трения. Описывающее его дифференциальное уравнение имеет вид

x +2βx +ω02 sin x = 0.

Рис. 2.5

В отличие от фазового портрета маятника без учета трения (см. рис. 1.7) здесь не появляются убегающие траектории, нет замкнутых траекторий и нет замкнутых разделительных линий – сепаратрис. Все траектории из любой точки фазовой плоскости стягиваются

кодной из точек устойчивого положения равновесия – устойчивым фокусам. Это означает, что при наличии потерь система в общем случае после конечного числа оборотов колебательным путем придет

кустойчивому состоянию равновесия – покою, соответствующему нижнему положению маятника относительно точки подвеса.

61

Наличие затухания, обусловленного линейным трением, не вносит в фазовые портреты новых особых точек, а лишь меняет характер уже существующих и исключает возможность появления особых точек типа центр.

Приступим теперь к детальному решению уравнения (2.2). Известно, что такое уравнение решается с помощью подстановки x(t) = exp(λt), где λ – некоторая постоянная величина. После диф-

ференцирования и сокращения на экспоненту приходим к так называемому характеристическому уравнению

Если корни этого уравнения не совпадают (λ1 ≠ λ2 ), то общее решение уравнения (2.2) можно записать в виде

x = C1eλ1t +C2eλ2t ,

где C1 и C2 – произвольные постоянные. Если же λ1 = λ2 = λ, то решение уравнения (2.2) выглядит следующим образом:

x = (C1 +C2t )eλt .

Найдем корни характеристического уравнения (2.5):

Отсюда видно, что в зависимости от соотношения величин β2 и ω02 существует три разных вида решения уравнения (2.2), каждый из которых описывает различные законы движения. Рассмотрим их.

1. β2 < ω02 (слабое затухание). В этом случае корни характеристического уравнения удобно представить в виде λ1 = −β+iω,

λ2 = −β−iω, где

62

Данная величина, как мы сейчас докажем, с точностью до множителя 2π равна отношению энергии, запасенной в колебательной системе в данный момент, к убыли этой энергии за один период колебаний. Известно, что полная энергия колебательной системы W пропорциональна квадрату амплитуды колебаний. В соответствии с этим полная энергия при затухающих колебаниях убывает со временем по закону W =W0 exp(−2βt ) . Откуда находим, что скорость

убывания энергии

− dWdt = 2βW.

Так как при малом затухании энергия за период колебаний T изменяется незначительно, то ее убыль можно найти как

−∆W = 2βT W.

Откуда

−∆WW = 2β1T = 21λ = 2Qπ .

Величина добротности, как мы увидим позднее, существенно определяет и поведение системы при внешнем гармоническом воздействии.

2. β2 > ω02 (сильное затухание). Теперь корни характеристиче-

ского уравнения являются вещественными. В этом случае решение уравнения (2.2) запишется в виде

ние (2.8) описывает апериодический процесс – выведенная из поло-

то система будет возвращаться к равновесию по кривой 2 при наличии только одного экстремума.

3. β2 = ω02 (критическое затухание). В этом случае движение подчиняется закону

x = (C1 +C2t )e−βt ,

т.е. также представляет апериодический процесс.

Критическое затухание («успокоение») имеет важное значение в измерительных приборах, таких, как баллистические гальванометры, которые испытывают резкие импульсные воздействия и должны возвращаться в положение равновесия за минимальное время. Пусть,

сигнал. В результате этого световой зайчик начинает двигаться со скоростью v0 по линейной шкале. Тогда в качестве начальных усло-

вий имеем x(0) = 0, x(0) = v0. Отсюда находим x = v0te−βt . Эта зави-

65

нейной характеристики ломаной линией с бóльшим или меньшим числом прямолинейных участков, то подобный путь обычно называется кусочно-линейным методом. В этом случае на каждом этапе система описывается линейным дифференциальным уравнением.

Начнем с простейшей механической системы – пружинного маятника (см. рис. 1.1), в которой трение описывается идеализированным законом сухого трения. Уравнение, описывающее движение в такой колебательной системе, имеет вид

x +ω02 x = f ,

где ω02 = k / m, f – сила сухого трения, отнесенная к единичной массе. Значение этой силы можно записать как

Понятно, что законы движения будут иметь разный вид в зависимости от того, в каком направлении движется тело (т.е. каков

Фазовые траектории, соответствующие этому уравнению, представляют собой эллипсы, но с центрами, находящимися в разных местах в зависимости от знака x. Если x > 0, то центр эллипса нахо-

дится в точке x1 = 0, т.е. x = − f0 / ω02 , если же x < 0, то центр эллипса находится в точке x2 = 0, т.е. x = + f0 / ω02. При построении полного фазового портрета необходимо выполнить соответствующее построение для x1 (x > 0) и для x2 (x < 0), сомкнув при x = 0 фазовые

траектории верхней и нижней полуплоскости. Так как центры эллипсов в верхней и нижней полуплоскости смещены друг относительно

67

ка P ) отображено более жирной фазовой траекторией. Здесь также проявляется одно характерное свойство колебательных систем с сухим трением, а именно наличие зоны застоя, т.е. прекращение дви-

коя в точке x = 0, x = 0. Причем, чем больше трение, тем больше зона

застоя.

Займемся теперь решением уравнения (2.9). Очевидно, его решение можно представить в виде

x1,2 = a cos ω0t +bsin ω0t .

Если задать начальные условия x(0) = x0 , x(0) = 0, то для перво-

(это нетрудно проверить, учитывая заданные начальные условия).

вращающая сила окажется меньше силы сухого трения, то система не будет продолжать движение и остается в зоне застоя. За каждый пе-

риод колебания амплитуда уменьшается на величину 4 f0 (это легко

ω02

понять с учетом закона сохранения энергии). Таким образом, через N целых периодов отклонение

x = x0 −4N ωf02

0

и в итоге система совершит только конечное число колебаний, определяемое из условия

69

Разберем еще один пример колебаний в электрическом контуре с индуктивностью, содержащей ферромагнитный сердечник, обладающий гистерезисом. Напомним, что явление гистерезиса проявляется в том, что при действии на ферромагнетик переменного магнитного поля напряженности H индукция магнитного поля B изменяется по так называемой петле гистерезиса (рис. 2.11, а). Так как величина B связана с магнитным потоком Φ, а величина H – с током катушки I = q, то подобную петлю можно отобразить в коорди-

натах (Φ, I ). Для упрощения анализа заменим реальную петлю гистерезиса на идеализированную (рис. 2.11, б).

аб

Уравнение колебаний в контуре (рис. 2.12), исходя из закона Ома, можно записать в виде

ddtΦ + RI + Cq = 0,

или

70