книги / Физика колебаний

Глава 2 СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ

ВДИССИПАТИВНЫХ СИСТЕМАХ

2.1.Особенности колебаний в диссипативных системах

иметоды их рассмотрения

Как уже отмечалось ранее, в реальных колебательных системах всегда происходит диссипация (рассеяние) энергии и, как следствие, уменьшение общего запаса энергии. Существует множество характеристик колебательных процессов, которые обусловлены наличием

всистеме потерь энергии и которые являются существенными как для линейных, так и нелинейных систем. Сюда можно отнести оценку резонансной амплитуды в линейной системе или в системе с малой нелинейностью, вид установившегося движения при наличии вынуждающей силы, закон изменения со временем амплитуды свободных колебаний, устойчивость различных состояний и др.

На перечисленные выше вопросы и ряд других теория консервативных колебательных систем принципиально не может дать ответа. Естественно, что учет диссипации неизбежно усложняет анализ и если можно получить ответы на интересующие нас вопросы в рамках консервативной трактовки, то целесообразно этим воспользоваться. Что же касается ряда общих свойств системы, обладающей затуханием, то выводы, сделанные из анализа идеализированных консервативных систем, могут оказаться принципиально неверными. И если на достаточно малом временном интервале эти различия могут проявляться весьма незначительно, то по истечении достаточно большого промежутка времени движение в реальной диссипативной системе будет уже и количественно, и качественно отличаться от движения

видеализированной консервативной системе.

При математическом описании автономных (т.е. без внешнего воздействия) консервативных систем всегда существует интеграл типа Φ(x, x) = const, который является математическим выражением

постоянства запаса энергии движения системы с одной степенью

52

свободы. В неконсервативной системе Φ(x, x) = w(t), где величина w(t) характеризует мгновенное значение запаса колебательной энергии системы. В подобных системах dw/ dt < 0, что физически соответствует наличию потерь, приводящих к непрерывному уменьшению запаса энергии, а сама эта производная выражает величину мощности потерь, рассеиваемой на диссипативных элементах колебательной системы.

Для простейшей системы, в которой движение описывается энергетическим уравнением типа (1.7)

x2 +u(x) = w(t) , 2

нетрудно получить уравнение для действующих в ней сил. Для этого продифференцируем по времени это соотношение

ных системах характеризуется той или иной зависимостью от состояния движения системы. Оно должно обращаться в нуль при x = 0, т.е. в отсутствие движения. Это следует из физических соображений, а именно из того, что сила трения и потери энергии могут быть только при наличии движения. Отсюда следует, что в функции dw/ dt переменная x должна входить в степени, большей первой.

относительно скорости движения в системе или тока в электрическом колебательном контуре.

Для многих диссипативных систем сила трения зависит только от скорости (или силы тока) и не зависит от координаты (заряда), однако характер этой зависимости может быть различным и зависящим от свойств системы и условий, в которых совершается движение.

Сила трения, не зависящая от величины скорости и связанная лишь с ее знаком, называется силой сухого трения и подчиняется закону Кулона–Амонтона F = −µN. Здесь F – проекция силы трения

массе). Здесь характерно наличие разрыва в точке x = 0, что не позволяет аналитически описать данную зависимость каким-либо простым выражением. Поэтому, естественно, удобно рассматривать отдельные этапы движения

всистеме, на которых выполняются разные законы диссипации.

Снеобходимостью раздельного рассмотрения этапов движения приходится сталкиваться также и в тех случаях, когда сила трения (сопротивления) выражается степенной функцией скорости с четным показателем степени, например, в случае так называемого «квадратичного» трения, пропорционального квадрату скорости. В этом слу-

при x < 0. Заметим, что величина силы трения не испытывает скачка при x = 0.

При наличии скачкообразного изменения силы трения в точке x = 0 удобно разбить задачу о собственных колебаниях в диссипативной системе на два этапа: первый из них соответствует одному знаку трения, второй – другому. Эти этапы при свободных колебаниях поочередно сменяют друг друга, и изучение всего движения в целом требует раздельного анализа обоих этапов при соответствующем «сшивании» полученных решений.

Линейная зависимость силы трения от скорости наиболее распространена в механических системах и описывает вязкое трение при небольших скоростях. В этом случае сила трения имеет вид

чающийся в механике больших скоростей, справедлив также для электрических систем с нелинейным диссипативным элементом, причем часто встречается комбинация линейного и кубического трения.

Для исследования движений в нелинейных диссипативных системах, как и в консервативных системах, можно применять различные качественные и количественные методы. Однако не все эти методы можно без дополнительных оговорок или модификаций использовать для анализа диссипативных систем. При рассмотрении собственных колебаний метод фазовой плоскости остается полностью пригодным, приводя лишь к большему разнообразию типов особых точек и фазовых траекторий. Так, например, в фазовых портретах уже не встречаются особые точки типа центр, но зато могут появиться особые точки типа фокус или узел, в которые стягиваются все фазовые траектории, расположенные в определенной области вокруг этих особых точек. В фазовых портретах диссипативных колебательных систем будут встречаться также сходящиеся траектории

55

вместо совокупности замкнутых траекторий, окружающих особые точки, соответствующие устойчивым положениям равновесия.

Отмеченные выше существенные особенности диссипативных систем связаны с тем, что любые собственные колебания неизбежно затухают. Это приводят к тому, что нельзя без существенных оговорок использовать метод последовательных приближений, в котором за нулевое приближение принимается гармоническое движение. Данный метод может применяться лишь для ограниченных временных интервалов в случае достаточно малого затухания. Это заставляет в случаях, когда не удается найти прямое и точное решение дифференциального уравнения, искать другие пути приближенного ре-

шения. К ним можно отнести метод поэтапного рассмотрения, а также метод медленно меняющихся амплитуд. Метод поэтапного рассмотрения принципиально прост и дает хорошие результаты, но достаточно громоздок, так как требует последовательного сшивания решения для каждого этапа с последующим. Его безусловное преимущество состоит в том, что он пригоден для любых систем с любыми характеристиками трения и вида нелинейности. Метод медленно меняющихся амплитуд является весьма мощным средством анализа движений в исследуемых системах, обладает большой общностью и может дать непрерывное решение для любых временных интервалов. Данный метод в полной мере применим лишь к ограниченному (правда широкому и весьма важному) классу колебательных систем с малой диссипацией и малой нелинейностью, в которых колебания мало отличаются от гармонических.

2.2. Гармонический осциллятор с затуханием

где m – масса, k – жесткость пружины, r – коэффициент сопротивления. Если ввести обозначения

56

ний осциллятора при отсутствии затухания. Уравнение (2.2) описывает также затухающие колебания в электрическом контуре с посто-

Прежде чем приступить к решению уравнения (2.2), рассмотрим вначале фазовый портрет такой системы. В переменных (x, x) уравнение интегральных кривых фазовых траекторий запишется как

В «старых» переменных x и x уравнение (2.4) будет выглядеть как

57

Это уравнение и отражает фазовый портрет гармонического осциллятора с затуханием. Скорость отображающей точки при ее движении по фазовой траектории

не обращается в нуль нигде кроме начала координат. Чтобы лучше

повороту системы координат(x, x) ). Переменные u и v можно считать прямоугольными координатами. Тогда, очевидно,

x2 +2βxx +ω02 x2 = u2 + v2 ,

и

Соответственно в полярных координатах ( u = ρcosϕ, v =ρsin ϕ) имеем

Таким образом, фазовые траектории на плоскости (u, v) представляют собой логарифмические спирали, скручивающиеся к точке равновесия (u = 0, v = 0), которая называется устойчивым фокусом (рис. 2.2). При малых β/ ω витки спирали близки к окружностям

спирали близки на одном обороте к эллипсам. Из вида фазового портрета можно сделать вывод о том, что при любых начальных условиях (кроме определяющих состояние равновесия) движение гармонического осциллятора представляет собой затухающий колебательный процесс. Все спирали на фазовой плоскости асимптотически приближаются к началу координат, а радиус-вектор изображающей точки уменьшается с каждым оборотом спирали.

Рис. 2.2

Если ω02 <β2 (большое затухание), то процесс становится затухающим апериодическим. В этом случае фазовые траектории на плоскости (x, x) будут описываться уравнением [1]

где q = β2 −ω02 . Состояние равновесия становится устойчивым узлом (x = 0, x = 0). Соответствующий фазовый портрет представлен на рис. 2.3. Изменение знака β (отрицательное трение, сопротивле-

ние и т.д.) приводит к тому, что состояние равновесия становится неустойчивым (рис. 2.4).

Отметим, что рассмотренные нами уравнения фазовых траекторий для линейной системы остаются справедливыми для нелинейных

59

систем в ближней окрестности особых точек. Для таких систем в окрестности особой точки первого порядка можно записать разложение нелинейной функции в ряд по степеням малых отклонений от особой

Пренебрегая высшими степенями ξ и η и учитывая, что F (xi ,0) = 0, получим уравнение фазовой траектории в окрестности особой точки

dη = α1ξ+α2η, dξ η

что совпадает с уравнением (2.3).

В системе, нелинейной за счет одного из консервативных параметров, наличие линейного трения также приводит к качественному изменению фазового портрета системы по сравнению с фазовым портретом подобной же системы в пренебрежении затуханием (трением). При этом исчезают существовавшие в случае консервативных систем особые точки типа центр и на их месте появляются особые точки – устойчивый фокус или устойчивый узел. Вместо континуума замкнутых фазовых траекторий возникают свертывающиеся траекто-

60