книги / Физика колебаний

Групповая скорость волны

на этой частоте центр инерции любой пары соседних атомов никуда не двигается, а фазы колебаний соседних атомов отличаются на π

(рис. 7.3).

Рис. 7.3

Если центр инерции любой пары соседних атомов неподвижен, то каждый атом совершает колебания около центра инерции и на атом действуют с двух сторон пружинки жесткостью 2χ (увеличение

жесткости связано с уменьшением длины пружинки в два раза). Таким образом, эффективная жесткость становится равной 4χ и часто-

та колебаний каждого атома составит

Очевидно, при этом не должно происходить никакого переноса энергии вдоль всей цепочки атомов, а так как скорость переноса

231

энергии определяется именно групповой скоростью, то ее значение обращается в нуль именно при ω= ωmax .

Зависимость частоты колебаний от волнового числа представлена на рис. 7.4. Из него, во-первых, хорошо видно, почему достаточно рассматривать значения волнового числа только в пределах −π/ b ≤ k ≤ π/ b. Во-вторых, для малых k (длинные волны) можно пользоваться непрерывной моделью твердого тела, в которой реализуется линейный закон дисперсии ω= k c, где c – скорость звука (при малых k нет существенной разницы между фазовой и групповой скоростями).

ω

2 mχ

Рис. 7.4

Посмотрим теперь, каким образом должна отразиться ограниченность длины цепочки на спектре колебаний атомов твердого тела. Пусть число атомов в ней равно N, а ее длина равна L. Для цепочки из N атомов Борном и Карманом были предложены так называемые периодические условия ξ(n) = ξ(n + N ), которые можно интерпрети-

Частными решениями уравнения (7.5) в такой ограниченной цепочке атомов являются волны с одинаковой частотой, распространяющиеся за счет отражения от концов цепочки в разных направлениях:

232

ξ(x,t) = Aexp i(ωt ± kx) .

Условие периодичности (7.8) будет выполнено только в том случае, если волновое число k принимает следующие значения:

k = 2Lπ n,

где n – целое число.

При наложении отраженных волн внутри цепочки устанавливается стоячая волна, причем на длине цепочки в соответствии с условием (7.8) должно укладываться целое число длин волн. Каждой такой стоячей волне соответствует собственное, или нормальное, колебание цепочки атомов. Таким образом, ограниченность длины цепочки атомов приводит к тому, что спектр нормальных колебаний становится дискретным, эквидистантным по k с интервалом 2π/ L между разрешенными значениями волнового числа. К этому же выводу можно прийти и в общем случае, рассматривая собственные колебания в трехмерной кристаллической решетке, состоящей из одинаковых частиц. Только в таком твердом теле, если пренебречь анизотропией, к продольным колебаниям добавляются еще две ветви (моды) поперечных колебаний. При этом число нормальных колебаний утраивается.

Обобщим проведенный выше анализ на случай колебаний решетки в кристаллах с более чем одним атомом на примитивную ячейку. Для качественного решения воспользуемся опять одномерной цепочкой, состоящей из двух разных по массе атомов, чередую-

мем во внимание силы взаимодействия только соседних атомов. Тогда по аналогии с уравнением (7.5) и в соответствии с рис. 7.5 получаем

233

не рассматривать первое решение (косинус).

235

Рис. 7.8

236

В трехмерной кристаллической решетке, элементарная ячейка которых содержит s атомов, существует 3s ветвей нормальных колебаний. Из них три ветви акустические: одной соответствуют продольные колебания, двум другим – поперечные. Остальные (3s −3)

ветвей – оптические, при которых происходят сильные смещения атомов элементарной ячейки друг относительно друга.

7.3. Уравнение Клейна–Гордона. Природа дисперсии

Обычное волновое уравнение

и его дисперсионное соотношение ω= kv предполагают отсутствие дисперсии, т.е. фазовая скорость волны v = ω/ k не зависит от волнового числа k. А как может выглядеть уравнение, подобное (7.13), но описывающее распространение одномерных волн в среде с дисперсией? Для ответа на этот вопрос рассмотрим бесконечную одномерную цепочку не из частиц (атомов), а из тождественных связанных осцилляторов. Это может быть, например, цепочка математических

маятников массы m, имеющих собственную частоту ω0 = g / l. Связь маятников осуществляется пружинами жесткости χ (рис. 7.9, а). Или это может быть цепочка одинаковых пружинных маятников с собственной частотой ω0 , связанных между собой пружиной

(рис. 7.9, б).

237

Принципиальное отличие таких колебательных систем от рассмотренной нами ранее одномерной цепочки атомов заключается в том, что, если убрать связывающие пружины жесткости χ, то ко-

лебания в системе остаются. Если же убрать упругую связь между атомами в одномерной цепочке,

дисперсионную зависимость, поэтому такие цепочки могут служить моделями при исследовании распространения волн в различных средах. Например, рассмотренная нам ранее в подразд. 6.4 цепочка, отображенная на рис. 6.10, вообще не обладает дисперсией, так как при предельном переходе уравнения колебаний в ней сводятся к обычному волновому уравнению (7.13).

Вернемся к нашей цепочке (см. рис. 7.10) и запишем закон Ома для произвольно выделенного участка с номером n, содержащего

индуктивность L с током In

L dIdtn =Un −Un−1 .

здесь Un = qn / C.

Из закона сохранения заряда следует

dqdtn = In−1 − In +in ,

где in – ток, протекающий через индуктивность L . Его значение при выбранном нами направлении подчиняется уравнению

238

L didtn = − qCn .

Из этих уравнений можно получить одно уравнение, связываю-

то (7.14) можно переписать в виде дифференциально-разностного уравнения с разностью второго порядка

Легко проверить, что совершенно аналогично будут выглядеть и уравнения, описывающие колебания в бесконечных цепочках осцилляторов, представленных на рис. 7.9. Для рис. 7.9, а:

равновесия.

Решение системы (7.15) будем, как и в предыдущем разделе, искать в виде одночастотных колебаний (аналогично (7.6))

239

qn = Aexp[iωt −inkb], qn−1 = Aexp[iωt −i(n −1)kb], (7.16) qn+1 = Aexp[iωt −i(n +1)kb],

где b – пространственный период повторения отдельных ячеек в бесконечной цепочке осцилляторов. Подставляя (7.16) в (7.15), по-

( sh x, ch x – гиперболические синус и косинус). Задавая в уравнении (7.17) частоту ω (т.е. оказывая на цепочку внешнее воздействие), можно найти значение волнового числа k. Если k получится действительным, то вдоль цепочки будет распространяться бегущая волна с частотой ω, если k – мнимое, то волна будет экспоненциально затухающей. Действительно, при k = −iε для qn имеем

qn = Aexp(iωt −inkb) = Aexp(iωt −nεb), т.е. с ростом номера ячейки n значение qn → 0.

Дисперсионное уравнение (7.17) определяет диапазон частот от

ствующими волновыми числами определяет область «прозрачности», в которой волны распространяются без затухания. Из (7.17) следует,

что условие ω< ω0 возможно только, если sin2 (kb / 2) < 0, т.е. при

мнимых k, соответствующая дисперсионная кривая представлена на рис. 7.12. Данным значениям 0 < ω< ω0 и 0 < ε < ε1 =

= (2 / b)Arsh ( LC / 2ω0 ) ( Arsh x – обратный гиперболический синус)

240