книги / Методы анализа линейных электрических цепей. Электрические цепи постоянного тока
.pdf
ОТВЕТЫ К ЗАДАЧАМ ГЛАВЫ 2
2.1(р). а) 5 Ом; б) 12 Ом.
2.2.1. а) 47 Ом; б) 50 Ом; 2. а) 0; б) 18,54 Ом;
2.3.RJ = 11 Ом; RE1 = 30 Ом; RE2 = 20 Ом.
2.4(р). Rab 2Ом; Rcd 163 Ом; Rbf 1348 Ом; Ref 85 Ом.
2.5(р). Eэкв = 40 В; Rэкв = 5 Ом. 2.6. I0 = 2 мА; I2 = 12 мА. 2.7(р). I2 = – 10 мА; a 65В.
2.8(р). I4 = 4 А; I5 = 2 А; I6 = 1 А; I7 = –1 А.
2.9.I0 = 0,062 мА; I = 0,938 мА; I1 = 0,313 мА; I2 = 0,625 мА; Eэкв = 500 В; Rэкв = 5∙105 Ом.
2.10.I0 2 А.
2.11(р). I5 0,5 ER , от узла b к a.
2.12. I1 = –0,1 А; I2 = 7,6 А; I3 = –1,5 А; I4 = 6 А. 2.13(м). IA = 110 А; IB = 0; IC = –110 А.
2.14. I1 = 0,75 А.
2.15(р). I0 = 1 А.
2.16.I3 = –5 мА.
2.17.UV = 240 В; IA = 20 А.
2.18(р). I2 = 2 А; I5 = –1 А.
2.19(р). I1 = 1,6 А; I2 = 3,4 А; I3 = 1,8 А; I4 = 0,76 А; I5 = 2,64 А;
I6 = –1,04 А; P = 256 Вт. |
|
|
|
|
R1 |
||||
2.20(м). I1 = 2 А; I2 = 1 А; I3 = 3А; I5 = 1 А; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UJ = 40 В; P = 170 Вт. Эквивалентная |
EЭ3 |
|
|
|
|
|
|
EЭ56 |
|
одноконтурная схема приведена на рис. 1, |
R23 |
|
|
|
|
|
|
|
R56 |
где EЭ3 = 20 В, R23 = 5 Ом, EЭ56 = 20 В, R56 = |
|
|
|
|
|
|
|
||
= 10 Ом. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 1 |
||||||
2.21. I1 = 5 А; I2 = 1 А; I3 = 1,5А; I4 = 12,5 А; |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I6 = 3 А; 1 30 В; UJ = –50 В; P = 1340 Вт. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
81
3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ОМА. ЗАКОНЫ КИРХГОФА.
БАЛАНС МОЩНОСТИ
Основные теоретические сведения
Обобщенный закон Ома или закон Ома для участка цепи, содержащей:
– источник ЭДС:
U12 1 2 IR E ,
I U12 E 1 2 E ,
R R
– источник тока:
U J 2 1 JR U21 JR U12 JR ,
где верхний знак соответствует ветви с содействующим источником, а нижний – с противодействующим.
1 |
Е |
R |
2 |
1 |
J |
R |
2 |
+ |
|
I |
– |
|
UJ |
|
|
|
|
|
|
б |
|
||
|
|
а |
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 3.1 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Для участка цепи (рис. 3.1, а) обобщенный закон Ома имеет вид:
I U12 E 1 2 E ,
R R
а для участка цепи (рис. 3.1, б):
U J 1 2 JR .
Первый закон Кирхгофа (для токов): алгебраическая сумма токов в узле равна нулю, или сумма притекающих и сумма истекающих токов одинаковы.
Ik 0 или Iпритек Iистек.
82
Условимся, при суммировании притекающие токи брать со знаком «+», а истекающие – со знаком «–».
Второй закон Кирхгофа (для напряжений): алгебраическая сумма ЭДС всех источников, подключенных в контуре, равна алгебраической сумме падений напряжения на всех потребителях в контуре. В алгебраической форме
Uпотр Eист, |
Rk Ik Ek . |
В сумму со знаком «+» входят ЭДС содействующих источников (т.е. тех источников, которые действуют в направлении, согласном с обходом контура) и со знаком «–» ЭДС противодействующих источников. При суммировании напряжений на потребителях со знаком «+» берутся напряжения на всех потребителях, токи в которых направлены согласно с обходом контура, и со знаком «–» берутся напряжения потребителей, токи которых направлены встречно с обходом контура. Направление обхода контура выбирается произвольно.
Для определения правильности расчетов необходимо проверять выполнение баланса мощности:
Pист Pпотр |
или EI UJ J I 2R. |
Влевой части суммируются мощности источников энергии, а
вправой – активные мощности тепловых потерь на потребителях. Мощности источников, отдающих энергию (работающих в режиме источников), записываются со знаком «+», а работающих в режиме потребителей – со знаком «–» (рис. 3.2).
E |
E |
J |
J |
I |
I |
UJ |
UJ |
PE = EI |
PE = – EI |
PJ = UJ J |
PJ = – UJ J |
|
Рис. 3.2 |
|
|
83
Методические указания
Алгоритм расчета методом уравнений Кирхгофа разветвленной цепи,несодержащейисточникитока,следующий:
1. |
Обозначить токи ветвей и напряжение на источниках |
|
тока, произвольно выбрать их положительное направление. |
||
2. |
Произвольно выбрать опорный |
узел и совокупность |
p = m – n + 1 независимых контуров (где |
n – количество узлов, |
|
m – количество ветвей, p – количество независимых контуров).
3.Для всех узлов, кроме опорного, составить уравнения по первому закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть n – 1.
4.Для каждого выбранного контура составить уравнения по второму закону Кирхгофа. Таких уравнений должно быть p.
5.Систему m уравнений Кирхгофа с m неизвестными
токами и напряжениями на источниках тока UJ решить совместно и определить численные значения токов и напряжений UJ.
6.Если необходимо, рассчитать с помощью обобщенного закона Ома напряжения ветвей или разность потенциалов узлов.
7.Проверить выполнение баланса мощности.
Примечание. Если в цепи есть q источников тока, то при правильном выборе совокупности независимых контуров количество совместно решаемых уравнений в системе можно сократить на q. Для этого следует контуры выбирать таким образом, чтобы каждый источник тока вошел только в один контур, тогда соответствующее UJ войдет только в одно уравнение по второму закону Кирхгофа. Поскольку неизвестными являются только токи в m – q ветвях, количество уравнений по второму закону Кирхгофа можно уменьшить до m – n + 1 – q. В результате, вместе с n – 1 уравнением первого закона Кирхгофа получится система из m – q уравнений относительно неизвестных токов, после совместного решения которых оставшиеся q уравнений используются для определения напряжений UJ по второму закону Кирхгофа.
84
Упражнения и задачи
3.1(р). Дано: источник электрической энергии с ЭДС Е = 2 В и внутренним сопротивлением R0 = 0,02 Ом подключен на участке цепи, ток в котором равен 20 А (рис. 1 к задаче 3.1(р)).
E |
|
|
а |
|
E |
|
|
а |
|
E |
|
|
а |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
U |
ab |
|
|
U |
ab |
|
|
U |
ab |
||||||
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
||||||
|
|
|
|
|
R0 |
|
|
I |
|
|
R0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
b |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рис. 1 к задаче 3.1(р) |
Рис. 2 к задаче 3.1(р) |
Рис. 3 к задаче 3.1(р) |
|||||||||||||||
Определить напряжение на выводах источника Uab для случаев, когда направление действия ЭДС:
1)совпадает с направлением тока;
2)противоположно направлению тока. Решение:
1)рассмотрим вариант при токе, направленном по
направлению ЭДС (рис. 2 к задаче 3.1(р)): по обобщенному закону Ома запишем:
Uab E IR0 2 20 0,02 1,6В;
2) рассмотрим вариант при токе, направленном против направления ЭДС (рис. 3 к задаче 3.1(р)): по обобщенному закону Ома
Uab E IR0 2 20 0,02 2,4В.
Проанализировав это решение, можно сделать следующее заключение: если на участке цепи, содержащем ЭДС и резистор, ток и ЭДС совпадают по направлению, то напряжение на выводах этого участка (Uab) меньше величины ЭДС на величину напряжения на сопротивлении, в противном случае – больше на величину напряжения на сопротивлении.
85
|
3.2(м). Дано: часть электрической цепи (рис. 4 к задаче |
||||||
3.2(м)), |
в |
которой |
Е1 = 30 В, Е2 = 100 В, Е3 = 70 В, |
I1 = 10 А, |
|||
а R1 |
E1 |
|
|
R1 = 8 Ом, R2 = 2 Ом, R3 = 6 Ом, напря- |
|||
с |
|
жение Udc = 108 В. |
|
||||
Uab |
I1 |
|
R2 |
Udc |
Определить напряжение Uab. |
||
|
Методические |
указа- |
|||||
|
|
||||||
|
E3 |
|
E2 |
ния. По обобщенному закону Ома |
|||
b |
R3 |
необходимо определить ток на участке |
|||||
|
|
|
|||||
|
|
d |
|
d–c, который равен току |
на участке |
||
|
|
|
|
||||
Рис. 4 к задаче 3.2(м) |
b–d. Далее по обобщенному закону |
||||||
|
|
|
|
|
Ома или второму закону |
Кирхгофа |
|
определить напряжение Uab. |
E1 |
|
I2E3 |
|
3.3. Дано: часть электри- |
R1 |
R3 |
||
ческой цепи (рис. 5 к задаче 3.3), в |
|
|
|
|
которой Е1 = 10 В, Е3 = 5 В, R1 = 2 Ом, |
|
I1 |
|
|
R3 = 2 Ом, I1 = 1 А, I2 = 2 А. |
|
+ V − |
|
|
Определить показание вольт- |
Рис. 5 к задаче 3.3 |
|||
метра. |
|
|
|
|
I0
E |
I1 |
R1 |
R2 |
R3 |
|
I2 |
I3 |
|
|
|
|
|
||
|
Рис. 6 к задаче 3.4(р) |
|
||
резистором R1:
3.4(р). Дано: R1 = 4 Ом,
R2 = R3 = 8 Ом; мощность, расходуемая в резисторе R1, P1 = 400 Вт (рис. 6 к задаче 3.4(р)).
Определить мощность, потребляемую всей цепью.
Решение. Ток в ветви с
I1 |
P1 |
|
400 |
10A . |
|
4 |
|||
|
R1 |
|
||
ЭДС источника определим по закону Ома:
E I1R1 10 4 40В.
86
Поскольку R2 = R3, токи также будут равны I2 = I3 и определяются по закону Ома:
I2 I3 E 40 5A .
R2 8
Ток в ветви с источником ЭДС определим по первому закону Кирхгофа:
I0 I1 I2 I3 10 5 5 20A.
Мощность, потребляемая данной цепью, равна мощности источника:
P EI0 40 20 800Вт .
Можно определить мощность, потребляемую цепью, как суммарную мощность резисторов:
PI12R1 I22R2 I32R3 102 4 52 8 52 8 800Вт.
3.5.Дано: Е1 = 10,5 В, Е3 = 19,5 В, R1 = 2 Ом, R2 = 3 Ом,
R3 = 5 Ом (рис. 7 к задаче 3.5).
а E2 с R2 b
R1 |
E3 |
E1 |
R3 |
а |
с R2/2 |
R2/2 b |
|
|
d |
R1 |
|
E3 |
E1 |
|
R3 |
Рис. 7 к задаче 3.5 |
Рис. 8 к задаче 3.5 |
Определить величину Е2, при которой: 1) потенциал точки а равен по величине и противоположен по знаку потенциалу точки b, точки с; 2) потенциал точки d равен нулю.
3.6. Дано: при замкнутом ключе К1 показание вольтметра равно 2 В, при замкнутых ключах К1 и К2 показание вольтметра равно 1,8 В; R1 = R2 = 4 Ом (рис. 9 к задаче 3.6).
Определить параметры источника ЭДС.
87
К1
К2 
R0
V R1 R2
E
Рис. 9 к задаче 3.6 |
R E I1
J |
Рис. 10 к задаче 3.7
3.7. Дано: Е = 3 В, J = 1 А, I1 = 0,3 А, R = 10 Ом (рис. 10 к
задаче 3.7).
Определить в каком режиме работают источники; мощность источников.
3.8(р). Дано: R1 = 9,5 Ом, R2 = = 2 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 1 Ом, φa = 0, φb = = 120 В, φc = 95 В, φd = 100 В; внутренние сопротивления
источников ЭДС R01 = 1 Ом, R02 = 2 Ом (рис. 11 к задаче 3.8(р)). Определить: 1) ЭДС источников E1 и E2; 2) отдаваемую или
потребляемую мощности источников.
E1 |
b |
|
|
|
|
R1 |
R2 |
R3 |
|
c |
|
а |
|
|
E2 |
|
R4 |
|
d |
|
Рис. 11 к задаче 3.8(р) |
|
|
|
E1 |
R01 |
b |
I3 |
|
|
|
|
|
||||
I01 |
|
R1 |
R2 |
I1 |
R3 |
|
а |
|
|
c |
|||
|
|
I2 |
|
|||
I02 |
E2 |
R02 |
I4 |
R4 |
||
|
||||||
|
|
|
d
Рис. 12 к задаче 3.8(р)
Решение. В соответствии со значениями потенциалов узлов было выбрано положительное направление токов I1, I2, I3, I4 и произвольно направление токов в ветвях с источниками ЭДС I01 и I02
(рис. 12 к задаче 3.8(р)).
По закону Ома определим токи:
88
I1 c a 95 0 10A;
R1 9,5
I2 b d 120 100 10A;
R2 2
I3 b R3 c 1205 95 5A;
I4 d R4 c 1001 95 5A.
По первому закону Кирхгофа получим токи:
I01 I2 I3 10 5 15А;
I02 I2 I4 10 5 5А.
Поскольку токи получились положительные, было выбрано правильно положительное направление этих токов.
Величину ЭДС источников определим по обобщенному закону Ома:
E1 b a I01R01 120 0 15 1 135В;
E2 d a I02R02 100 0 5 2 90В.
Источник ЭДС E1 работает в режиме источника, отдаваемая им мощность определяется следующим образом:
PE1 E1I01 I 2 R01 135 15 152 1 1800Вт
01
или
PE1 ( b a ) I01 (120 0) 15 1800Вт .
Источник ЭДС E2 работает в режиме потребителя, потребляемая им мощность определяется следующим образом:
P |
E |
2 |
I |
02 |
I 2 R |
02 |
90 5 52 |
2 500Вт |
E 2 |
|
|
02 |
|
|
89
или
PE 2 ( a d ) I02 (0 100) 5 500Вт .
3.9. Дано: R1 = R6 = 4 Ом, R2 = R3 = R4 = 3 Ом, R5 = 1 Ом, I0 = 5 А, I5 = 1 А, I4 = 2 А (рис. 13 к задаче 3.9).
Определить входное напряжение U, ЭДС E, сопротивление R, пользуясь законами Ома и Кирхгофа.
|
R1 |
|
R2 |
|
U |
R0 |
|
R6 |
R3 |
I0 |
E |
R5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I5 |
|
|
|
|
R4 |
I4 |
|
Рис. 13 к задаче 3.9 |
|||
3.10(р). Дано: в электрическую цепь включены измерительные приборы (рис. 14 к задаче 3.10(р)).
А1 |
c |
R3 |
|
a |
|
|
|
|
|||
R2 |
I2 |
V1 |
V2 |
|
R5 |
U |
|
R4 |
|||
R1 |
А2 |
А3 |
|
|
|
|
d |
I3 |
b |
|
|
I1 Рис.14кзадаче3.10(р) |
|
||||
Определить, как изменятся показания измерительных приборов IA1 , IA2 , IA3 , UV1 , UV2 после замыкания ключа.
Решение. После замыкания ключа резистор R5 подключается параллельно резистору R4. В результате сопротивление между точками a и b уменьшится, так как
90