книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен
..pdf
Система уравнений имеет единственное решение, если определитель матрицы A отличен от нуля: det ( A) ≠ 0 .
11.1.1. Метод Гаусса
Прямыми называют методы решения систем линейных алгебраических уравнений, для которых результат получается за конечное, заранее определенное число арифметических операций. Наиболее известным среди них является метод Гаусса. Процедура решения системы линейных алгебраических уравнений этим методом рассматривается на простейшем примере.
Пример. Найти методом Гаусса решение системы линейных алгебраических уравнений
2x1 + 4x2 − 6x3 = −8,1x1 + 4x2 + 1x3 = 12,2x1 + 6x2 + 0x3 = 14.
Для этой системы уравнений
2 |
4 |
−6 |
|
|
|
4 |
1 |
|
, |
[A] = 1 |
|
|||
2 |
6 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
= |
x1 |
|
f = 
−8 12 14
x1 x2 x3 T = x2 .
x3
−8 T = 12 ,14
Точное решение этой системы уравнений известно: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3. Главныйопределитель рассматриваемой системыуравнений
det ( A) = |
|
2 |
4 |
−6 |
|
= 8, |
|
|
|||||
|
1 |
4 |
1 |
|
||
|
|
2 |
6 |
0 |
|
|
121
то есть отличен от нуля, что гарантирует существование и единственность решения.
1-й шаг. Первая строка системы уравнений делится на первый коэффициент a11 = 2 :
1x1 + 2x2 − 3x3 = −4,1x1 + 4x2 + 1x3 = 12,2x1 + 6x2 + 0x3 = 14.
2-й шаг. Из второго уравнения вычитается первая строка, умноженная на коэффициент a21 = 1 :
1x1 + 2x2 − 3x3 = −4,0x1 + 2x2 + 4x3 = 16,2x1 + 6x2 + 0x3 = 14.
3-й шаг. Из третьего уравнения вычитается первая строка, умноженная на коэффициент a31 = 2 :
1x1 + 2x2 − 3x3 = −4,0x1 + 2x2 + 4x3 = 16,0x1 + 2x2 + 6x3 = 22.
4-й шаг. Второе уравнение делится на коэффициент a22 = 2 :
1x1 + 2x2 − 3x3 = −4,0x1 + 1x2 + 2x3 = 8,0x1 + 2x2 + 6x3 = 22.
5-й шаг. Из третьего уравнения вычитается второе уравнение, умноженное на коэффициент a32 = 2 :
1x1 + 2x2 − 3x3 = −4,0x1 + 1x2 + 2x3 = 8,0x1 + 0x2 + 2x3 = 6.
122
6-й шаг. Последовательно определяются искомые величины:
1x + 2x − 3x = −4, |
|||
|
1 |
2 |
3 |
0x1 + 1x2 + 2x3 = 8, |
|||
|
|
x3 = 6 2 = 3; |
|
|
|
||
1x + 2x − 3x = −4, |
|||
|
1 |
2 |
3 |
x2 = 8 − 2x3 = 2, |
|||
|
|
x3 |
= 3; |
|
|
||
x1 = −4 − 2x2 + 3x3 = 1, |
|
|
x2 = 8 − 2x3 = 2, |
|
|
|
x3 = 3. |
|
|
Далее процедура получения решения методом Гаусса рассматривается в общем случае. Предполагается, что a11 ≠ 0 , тогда первое
уравнение системы (11.1) можно поделить на этот коэффициент:
1x1 + c1 2 x2 + c1 3 x3 + + c1 m xm = y1 = f1 
a11 .
С помощью этого |
уравнения система (11.1) |
преобразуется |
|||||||||
к виду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1x1 + c1 2 x2 + c1 3 x3 + + c1 m xm = y1 , |
|
|
|
||||||||
|
(1) |
(1) |
|
|
|
(1) |
|
|
− a2 1 y1 = |
(1) |
, |
0x1 |
+ a2 2 x2 |
+ a2 3 x3 |
+ + a2 m xm = f2 |
f2 |
|||||||
|
(1) |
(1) |
|
|
|
(1) |
|
|
− a31 y1 = |
(1) |
, |
0x1 |
+ a3 2 x2 |
+ a3 3 x3 |
+ + a3 m xm = f3 |
f3 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ am(1)2 x2 |
+ am(1)3 x3 |
+ + am(1)m xm = fm − am 1 y1 ,= fm(1) , |
||||||||
0x1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где обозначено a(1) |
= a |
− a |
c |
, i, j = |
|
. |
В полученной системе |
||||
2, m |
|||||||||||
|
i j |
i j |
|
i 1 |
1 j |
|
|
|
|
|
|
можно выделить подсистему m – 1 уравнения с m – 1 неизвестной величиной:
123
a2(1)2 x2 |
+ a2(1)3 x3 |
+ + a2(1)m xm = f2(1) |
, |
|
(1) |
(1) |
(1) |
(1) |
|
a3 2 x2 |
+ a3 3 x3 |
+ + a3 m xm = f3 |
, |
|
|
|
|
|
|
(1) |
(1) |
(1) |
(1) |
|
am 2 x2 |
+ am 3 x3 |
+ + am m xm = fm . |
||
Теперь, в предположении, что коэффициент уравнение этой подсистемы можно поделить на него:
1x2 + c2 3 x3 + + c2 m xm = f2(1) |
a2(1)2 |
= ( f2 − a21 y1 ) |
|||||
c |
|
= |
a(1) |
, …, c |
= |
a(1) |
|
2 3 |
23 |
2m . |
|||||
|
|
a(1) |
|
2 3 |
|
a(1) |
|
|
|
|
2 2 |
|
|
|
2 2 |
a2(1)2
a2(1)2
≠0 , первое
=y2 ,
Полученное выражение позволяет преобразовать остальные уравнения исходной системы к виду
1x1 + c1 2 x2 + c1 3 x3 + + c1 m xm = y1,
0x1 + 1x2 + c2 3 x3 + + c2 m xm = y2 ,
0x1 + 0x2 + a3(2)3 x3 + + a3(2)m xm = f3(2) = f3(1) − a32(1) y2 ,
0x1 + 0x2 + am(2)3 x3 + + am(2)m xm = fm(2) = fm(1) − am(12) y2 .
Здесь обозначено a(2) |
= a(1) |
− a(1)c |
2 |
j |
, i, j = |
3, m |
. В результате |
i j |
i j |
i 2 |
|
|
|
преобразований получена подсистема m – 2 уравнений с m – 2 неизвестными:
a3(2)3 x3 |
+ + a3(2)m xm = f3(2) , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
(2) |
(2) |
am 3 x3 |
+ + am m xm = fm . |
||
Если a3(2)3 ≠ 0 , первое уравнение этой новой подсистемы можно поделить на него:
124
1x3 + + c3 m xm = f3(2) 
a33(2) = ( f3 − a31 y1 − a32(1) y2 )
a33(2) = y3.
Далее выполняется очередной шаг по понижению порядка системы алгебраических уравнений, и так далее, до тех пор, пока вся система уравнений не будет преобразована к виду
1x |
+ c |
x |
+ c |
x |
|
|
1 |
12 |
2 |
13 |
3 |
|
|
1x2 + c23 x3 |
|||
|
|
|
|
1x3 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ + c1m xm + + c2m xm + + c3m xm
1xm
=y1,
=y2 ,
=y3 ,
= ym .
В результате выполнения всех операций матрица коэффициентов А системы алгебраических уравнений приводится к виду
1 c1 2 |
c1 3 |
c1 m |
|
|
|
c2 3 |
|
|
|
0 1 |
c2 m |
|
||
U = 0 0 |
1 |
c3 m |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
0 0 |
|
|
||
соответствующему верхней треугольной матрице55, у которой на главной диагонали расположены единицы и равны нулю все элементы под главной диагональю. Процедура получения такой матрицы носит название «прямого хода» метода Гаусса. Очевидно, что для успешного выполнения «прямого хода» необходимо условие
a(j jj−1) ≠ 0, j = 1, m.
«Обратный ход» метода Гаусса позволяет найти искомые величины:
55 Обозначение U принято по первой букве английского слова upper – верхняя.
125
xm = ym , |
|
|
|
|||
x |
|
= y |
m−1 |
− c |
x , |
|
m−1 |
|
|
m−1m m |
|||
xm−2 = ym−1 − cm−2m xm − cm−2m−1 xm−1, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y1 − |
m |
|
|
||
x1 |
c1 j xj . |
|||||
|
|
|
|
j= 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
«Прямой ход» метода Гаусса можно трактовать как преобра-
зование системы уравнений вида |
|
Ax = f |
в эквивалентную систему |
||||||||||||||
Ux = y , причем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y1 = f1 |
a11 , |
|
y2 |
= f2(1) |
|
a2(1)2 |
= ( f2 − a21 y1 ) |
a22(1) , . |
|||||||||
Эту систему соотношений с учетом вышеприведенных выкла- |
|||||||||||||||||
док можно представить в иной форме: |
|
|
|
|
|||||||||||||
f1 = a11 y1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
f |
2 |
= a |
21 |
y + a(1) |
y |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
= a y + a(1) |
y |
|
+ a(2) y , |
|
|
|
||||||||
f |
3 |
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
31 |
|
1 |
32 |
|
|
|
33 |
3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ a(m−1) y |
|
|
f |
m |
= a |
|
y |
+ a(1) y |
2 |
+ a(2) y |
m |
|||||||||
|
|
|
|
m1 1 |
m2 |
|
|
m3 3 |
mm |
||||||||
и записать в виде Ly = f , где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
a11 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|||
|
|
|
|
a |
a(1) |
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
21 |
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
L = |
|
|
|
(1) |
|
|
|
(2) |
|
0 |
|
|
|||
|
|
a31 |
a32 |
|
|
a33 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(1) |
|
|
a(2) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
a |
m1 |
|
|
a(m−1) |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
m2 |
|
|
|
m3 |
|
mm |
|
|
|||
126
– нижняя треугольная матрица56 с отличными от нуля коэффициентами a(j jj−1) ≠ 0, j = 1, m , на главной диагонали. Все вышесказанное
позволяет трактовать метод Гаусса как последовательное решение двух систем уравнений: Ly = f и Ux = y . Объединение этих соот-
ношений приводит к выражению
LUx = f .
Сравнивая последнее соотношение с исходным выражением Ax = y, можно сделать заключение, что процедура метода Гаусса эквивалентна разложению исходной матрицы коэффициентов А в произведение двух матриц – A = LU , где L – нижняя треугольная матрица с ненулевыми коэффициентами на главной диагонали, U – верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали.
11.1.2. Метод Якоби
Итерационными называются методы, в которых по некоторому начальному решению строится последовательность приближений искомого решения (в данном случае – решения системы линейных алгебраических уравнений), причем при вычислении очередного приближения используется значение, полученное на предыдущем шаге вычислительного процесса. Иными словами, решение задачи получается как предел некоторой сходящейся последовательности приближений.
Как и ранее, рассматривается система линейных алгебраических уравнений (11.1) с отличным от нуля определителем, det ( A) ≠ 0 , которая представляется в компонентной форме
m
ai j xj = fi , i = 1,m.
j =1
Эту систему уравнений можно преобразовать к виду
i−1
aij xj j =1
m
+ aii xi + aij xj = fi . j=i+1
56 Обозначение L принятопопервой буквеанглийскогословаlower – нижний.
127
|
1 |
|
i−1 |
m |
|
|
||
xi = |
|
fi − aij xj − aij xj , i = |
1,m |
. |
(11.2) |
|||
|
||||||||
|
aii |
j=1 |
j=i+1 |
|
|
|||
Выражение (11.2) записывается в виде итерационной схемы Якоби57:
|
|
i−1 |
m |
|
||
xi(s+1) |
= fi − ai j x(js) − ai j x(js) ai i , aii ≠ 0, i = |
1,m |
, |
|||
|
|
j=1 |
j=i+1 |
|
||
где s – номер итерации. Для получения решения используется следующий алгоритм: в качестве нулевого приближения выбираются
какие-либо (зачастую произвольные) значения x(0)j , j = 1, m , иско-
мых величин, которые подставляются в правую часть выражения схемы Якоби, что позволяет определить первое приближение значе-
ний искомых неизвестных x(1)j , j = 1, m . Затем полученный результат вновь подставляется в правую часть того же выражения и вычисляет-
ся второе приближение тех же неизвестных x(j |
2) , j = |
|
, и т.д. |
1, m |
|||
Вычислительный процесс заканчивается на итерации s + 1, |
|||
при выполнении условия |
|
|
|
max x(js+1) − x(js) < δ,
1≤ j≤m
где δ > 0 – заданная погрешностьопределенияискомых неизвестных.
Пример. Решить систему линейных алгебраическихуравнений
4x1 + 2x2 = 5,3x1 + 5x2 = 9
57Якоби Карл Густав Якоб (10.02.1804–18.02.1851) – немецкий математик.
С1830 г. являлся иностранным членом-корреспондентом (с 1833 г. – иностранным почетным членом) Петербургской академии наук; с 1836 г. – членом Берлинской академии наук; с 1846 г. – членом Парижской академии наук; с 1833 г. – членом Лондонского королевского общества. С 1829 по 1942 г. был профессором Кенигсбергского университета.
128
|
итерационным методом Якоби. Точное |
решение этой системы: |
|
||
|
x1 = 0,5, x2 = 1,5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 11.1 |
|
|
Результаты выполнения итераций метода Якоби |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
s |
x(s) |
|
x(s) |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
0 |
0,0 |
|
0,0 |
|
|
1 |
1,25 |
|
1,8 |
|
|
2 |
0,35 |
|
1,05 |
|
|
3 |
0,725 |
|
1,59 |
|
|
4 |
0,255 |
|
1,365 |
|
|
5 |
0,5675 |
|
1,527 |
|
|
6 |
0,4865 |
|
1,4595 |
|
|
7 |
0,5203 |
|
1,5081 |
|
|
8 |
0,4959 |
|
1,4879 |
|
|
9 |
0,5061 |
|
1,5024 |
|
|
10 |
0,4988 |
|
1,4964 |
|
|
11 |
0,5018 |
|
1,5007 |
|
|
12 |
0,4996 |
|
1,4989 |
|
|
13 |
0,5005 |
|
1,5002 |
|
Из первогоуравненияопределяется первая искомаянеизвестная: x1 = (5 − 2x2 )
4,
из второго уравнения – искомая величина x2: x2 = (9 − 3x1 )
5.
Полученные выражения записываются в виде итерационной схемы Якоби:
x1(s+1) = (5 −
x(s+1) = (9 −
2
В качестве начального
2x2(s) )
4,
3x1(s) )
5.
приближения принимаются
x1(0) = 0, x2(0) = 0 . Ход выполнения итерационного процесса Якоби
129
отображен на рис. 11.1, результаты расчетов приведены в табл. 11.1.
После выполнения тринадцати итераций |
|
x(13) − x(12) |
|
= 0,0009 , |
|
|
|
||||
|
|
1 |
1 |
|
|
x2(13) − x2(12) = 0,0013 . Используемая оценка показывает, что решение
получено с погрешностью не более 0,0015.
В действительности точное решение системы и решение, полученное методом Якоби после тринадцати итераций, различаются не более чем на 0,0005.
x2
2 4x1 + 2 x2 = 5
1 |
|
|
|
|
|
|
3x1 |
+ 5 x2 = 9 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 |
0 |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рис. 11.1. Схема выполнения итераций метода Якоби
Матрица коэффициентов А может быть представлена в виде
суммы A = A1 + D + A2 , |
где |
[A1 ]i j |
– |
нижняя треугольная матрица |
|||||||
с нулевой диагональю, |
[A1 |
] |
= ai |
j , |
i > j ; |
[A2 ] |
– |
верхняя тре- |
|||
|
|
i j |
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
угольная матрица с нулевой диагональю, [A2 |
] |
= ai j , |
i < j ; [D] |
i j |
– |
||||||
|
|
|
|
|
|
i j |
|
|
|
|
|
диагональная матрица, |
[D] |
= ai j , |
i = j . |
|
Систему уравнений |
||||||
i j
Ax = f можно представить в виде
Ax = (A1 + D + A2 )x = f ,
130