книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

Полученная система содержит восемь уравнений и имеет определитель, равный нулю: сумма элементов в каждой строке и в каждом столбце матрицы коэффициентов равна нулю, что свидетельствует о линейной зависимости полученных уравнений.

Для получения корректного решения следует задать кинематические граничные условия: записать условия закрепления выделенного фрагмента рассматриваемой области. Из условия симмет-

заданного перемещения.

В результате неизвестными оказываются лишь узловые перемещения u2 и u3 . Изполученнойсистемы восьми уравнений выбираются

третье и четвертое уравнения, содержащие по две искомых величины и не содержащие неизвестныеусилия Fx1, Fy2 , Fy5 на границе:

−1, 4u1 + 0, 4v1 + 1,8u2 − 1v2 − 0, 4u3 + 0,6v3 + 0u4 + 0v4 = 0,0u1 − 1v1 − 0,4u2 + 0, 4v2 + 1,8u3 + 0v3 − 1, 4u4 + 0,6v4 = 0.

Подстановка заданных однородных кинематических граничных условий приводит к системе двух уравнений относительно двух неизвестных:

значения перемещений u2 = 3 7 , u3 = 3 7 , из оставшихся уравне-

ний полной системы можно определить усилия, действующие на границе области. Из первого уравнения следует

Fx1 = E (1,8u1 + 0v1 − 1, 4u2 + 0, 6v2 + 0u3 − 1v3 − 0, 4u4 + 0, 4v4 )1, 04 =

= E (−1, 4 3 7 + − 0, 4 )1, 04 = 0.

223

Второе уравнение дает

Fy5 = E (0u1 + 1,8v1 + 0,4u2 − 0,4v2 −1u3 + 0v3 + 0,6u4 −1,4v4 )1,04 =

= E (0, 4 3 7 − 3 7 + 1, 4 )1,04 = 8E 7, 28 ≈ 219 780 МПа.

Из шестого уравнения системы получается

Fy2 = E (−1u1 + 0v1 + 0,6u2 −1,4v2 + 0u3 + 1,8v3 + 0,4u4 − 0,4v4 )1,04 =

= E (0, 6 3 7 − 1,8 + 0, 4 )1, 04 = − 8E 7, 28 ≈ −219 780 МПа.

Знак «–» в последнем результате показывает, что усилие Fy2 дей-

ствует внаправлении, противоположномуказанному нарис. 13.7. Для оценки точности полученные значения сравниваются

с аналитическим решением той же задачи, приведенным в источнике [19]. Перемещение плиты связано с величиной развиваемого плитами давления P соотношением

= (1− ν2 )PE.

Перемещение U боковой стенки полосы определяется давлением P:

U = ν (1 + ν )PE .

Исключение P из этих выражений дает

Это означает, что численное решение рассмотренной задачи, полученное спомощью метода конечных элементов, оказалосьточным.

224

В силу симметрии формы поперечного сечения и распределенных нагрузок длинномерного тела78, представленного сечением на рис. 13.7, а, относительно горизонтальной и вертикальной осей

77Решение задачи получено аспирантом О.Н. Мехониным.

78В задаче используется гипотеза о плоско-деформированном состоянии упругого тела.

225

целесообразно рассматривать 1/4 часть сечения (см. рис. 13.7, б). Для рассматриваемой четверти сечения задаются кинематические граничные условия: точки упругого тела, принадлежащие границе S1, могут смещаться только вдоль вертикальной оси, смещения вдоль горизонтальной оси невозможны; точки упругого тела, принадлежащие границе S2, могут смещаться только вдоль горизонтальной оси, смещения вдоль вертикальной оси невозможны:

Силовые статические граничные условия определяют отсутствие сдвиговых усилий (отсутствие трения вследствие симметрии формы тела) на вертикальнойграницеS1 и нагоризонтальной границеS2:

Силовые статические граничные условия на границах S3 и S4 соответствуют заданным (см. рис. 13.7, б):

Условное изображение кинематических и силовых граничных условий представлено на рис. 13.8.

На рис. 13.9 показана аппроксимация расчетной области упругого тела наборами конечных элементов, содержащими 78 (см. рис. 13.9, а), 1000 (см. рис. 13.9, б) и 6102 (см. рис. 13.9, в) тре-

угольных элемента.

На рис. 13.10 представлены79 поля перемещений u и v при аппроксимации расчетной области с использованием 1000 конечных элементов.

79 На этом и последующих рисунках стрелками условно обозначены кинематические и силовые граничные условия на границах недеформированного тела (см. рис. 13.8), а также приведены цветовые шкалы для расшифровки представленных полей физических величин (компоненты вектора перемещения частиц материала, тензоров деформации и напряжения).

226

Рис. 13.8. Условная схема кинематических ( ) и силовых ( ) граничных условий

Рис. 13.9. Аппроксимация расчетной области с использованием 78 (а), 1000 (б) и 6102 (в) конечных элементов

Рис. 13.10, а показывает, что перемещение u изменяется практически линейно вдоль оси x от максимального значения u = –0,051 мм на внешней границе x = 0,15 м до значения u = 0,0 мм, соответствующего заданному выражением (13.4) граничному кинематическому условию при x = 0 на границе S1. Из рис. 13.10, б следует, что перемещение v также изменяется практически линейно вдоль оси y от

227

максимального значения u = –0,0506 мм на внешней границе y = 0,15 м до значения v = 0,0 мм, соответствующего заданному выражением (13.4) граничному кинематическому условию при y = 0 на границе S2. Согласно приведенным результатам обе компоненты вектора перемещения отрицательные, то есть вся рассматриваемая область находится в состоянии сжатия.

Распределение модуля вектора перемещения при аппроксимации расчетной области с использованием 1000 конечных элементов, изменяющегося от максимального значения 0,072 мм (наиболее удаленная точка от центра сечения) до минимального значения, равного 0,034 мм (ближайшие к центру сечения точки), показано на рис. 13.11, б. Согласно распределению цветовых зон перемещение частиц материала вследствие сжатия пропорционально расстоянию от центра рассматриваемой области.

Для сравнения на рис. 13.11, а и в изображены распределения модуля вектора перемещения при аппроксимации расчетной области с использованием 78 и 6102 конечных элементов.

При аппроксимации рассматриваемой области с использованием 78 конечных элементов наибольшее значение модуля перемещения равно 0,0718 мм и достигается в наиболее удаленной от центра сечения частице материала. Наименьшее значение модуля перемещения равно 0,0307 мм. Положение частицы с наименьшим перемещением показано с помощью белого прямоугольника с надписью «Мин: 0.030757» на рис. 13.11, а. Отсутствие симметрии в распределении модуля вектора перемещения (в отличие от распределения на рис. 13.11, б и в) обусловлено малым количеством конечных элементов при аппроксимации области, занятой рассматриваемым телом.

При аппроксимации сечения тела с использованием 6102 конечных элементов наибольшее и наименьшее значения модуля перемещения равны соответственно 0,072 и 0,034 мм. При использовании 1000 и 6102 конечных элементов результаты вычисления полей перемещения практически совпали. Это означает, что для получения достоверных результатов достаточно использовать аппроксимацию с меньшим количеством конечных элементов для сокращения вычислительных ресурсов без существенной потери точности.

228

На рис. 13.12 показаны распределения компонент тензора деформации εxx, εyy и εxy при аппроксимации расчетной области с использованием 1000 конечных элементов. Распределения цветовых зон по рассматриваемой области однородны (соответствующие зна-

чения εxx = –0,000 651, εyy = –0,000 651 и εxy = 0,0) для всех трех ком-

понент тензора деформации.

а

б

Рис. 13.10. Распределение перемещений u (а) и v (б). Для аппроксимации расчетной области использована 1000 конечных элементов80

80 Здесь и далее стрелками обозначены граничные условия на границах недеформированного тела.

229

в

Рис. 13.11. Распределение узловых перемещений в расчетной области при аппроксимации области 78 (а), 1000 (б) и 6102 (в) конечными элементами

Это подтверждает выдвинутую выше гипотезу о линейности распределения поля перемещения. При условии, что перемещения материальных частиц действительно линейно зависят от соответствующих координат:

u = ax + b, v = cy + d,

причем a, b, c и d – постоянные коэффициенты, компоненты тензора деформации принимают значения

230