книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

0,24uA + 0,32vA − 0,24uB − 0,32vB + 0uC + 0vC = 10−9 RxA ;

0,32uA + 0,426 667vA − 0,32uB − 0,426 667vB + 0uC + 0vC = 10−9 RyA ;−0,24uA − 0,32vA + 0,56uB + 0,08vB − 0,32uC + 0,24vC = 10−9 Qx ;

−0,32uA − 0,426 667vA + 0,08uB + 0,606 667vB + 0,24uC − 0,18vC = 10−9 Qy ;

0uA + 0vA − 0,32uB + 0,24vB + 0,32uC − 0,24vC = 10−9 RxC ;

0uA + 0vA + 0,24uB − 0,18vB − 0,24uC + 0,18vC = 10−9 RyC .

5. Решение сформированной системыалгебраическихуравнений.

Подстановка условий (12.13) приводит эту систему уравнений к более простому виду:

мы начинается с третьего и четвертого уравнений, содержащих по две искомые величины uB и vB:

0,56uB + 0,08vB = 10−9 Qx ;0,08uB + 0,606 667vB = 10−9 Qy .

Учитывая, что Qx = Qy =104 cos45° = 0,707107 104 Н, эту систему можно преобразовать к виду

0,56uB + 0,08vB = 0,707107 10−5 ;−0,56uB − 4,246 667vB = −4,949 75 10−5.

202

Отсюда следует, что

−4,166 67vB = −4,242 64 10−5 , vB = 1,018 23 10−5 м.

Вторая неизвестная величина uB определяется, например, из уравнения

0,56uB + 0,08vB = 10−9 Qx

и равна

uB = 10−9 Qx − 0,08vB = 0,56

= 0,707107 10−5 − 0,08 1,018 23 10−5 = 1,117 23 10−5 м. 0,56

Полученные результаты означают, что под действием силы Q шарнирный узел В сместится вверх на 0,010 182 3 мм и вправо на

0,011 172 3 мм.

Таким образом, корректное задание граничных кинематических и силовых условий позволило получить решение сформулированной задачи.

6. Определение реакций связей, деформации и напряжения в стержнях.

Оставшиеся уравнения системы (12.14) позволяют определить реакции связей:

RxA = −109 (0, 24uB + 0,32vB ) =

= −109 (0, 24 1,117 23 + 0,32 1, 018 23) 10−5 = −0,593 969 104 Н;

RyA = −109 (0,32uB + 0,426 667vB ) =

= −109 (0,32 1,117 23 + 0, 426 667 1,018 23) 10−5 = −0,791959 104 Н; RxC = −109 (0,32uB − 0, 24vB ) =

203

= −109 (0,32 1,117 23 − 0, 24 1, 018 23) 10−5 = −0,113138 104 Н;

RyC = 109 (0,24uB − 0,18vB ) =

позволяют отыскать реакции связей P'xB и P'yB шарнира В:

=23 109 (−0,36 0 − 0,48 0 + 0,36 1,117 23 10−5 +

+0,48 1,018 23 10−5 ) = 0,593 969 104 Н;

определяются реакции связей PxB и PyB шарнира В:

PxB = 109 (0,32uB − 0, 24vB − 0,32uC + 0, 24vC ) =

204

=109 (0,32 1,117 23 10−5 − 0,24 1,018 23 10−5 −

−0,32 0 + 0,48 0) = 0,113138 104 Н;

PyB = 109 (−0,24uB + 0,18vB + 0,24uC − 0,18vC ) =

=109 (−0,24 1,117 23 10−5 + 0,18 1,018 23 10−5 +

+0,24 0 − 0,18 0) = −0,084 854 104 Н.

Найденные перемещения uB и vB узла В позволяют вычислить удлинения стержней АВ и ВС с помощью выражения (12.3):

δAB = cos αAB (uB − uA ) + sin αAB (vB − vA ) =

=0,6(1,117 26 10−5 − 0)+ 0,8(1,018 23 10−5 − 0) = 1,484 94 10−5 м;

δBC = cos αAB (uC − uB ) + sin αAB (vC − vB ) =

= 0,8(0 −1,117 26 10−5 )− 0,6(0 −1,018 23 10−5 ) = −0,282 87 10−5 м.

Положительное значение δAB и отрицательное значение δAB означают, что стержень АВ конструкции находится в растянутом состоянии, а стержень ВС – в сжатом состоянии. Соотношение (12.1) позволяет определить деформации стержней:

Всоответствии с законом Гука (6.2) определяются напряжения

встержнях:

σ AB = Eε AB = 2 1011 0,494 98 10−5 = 0,989 96 106 Па; σBС = EεBС = −2 1011 0,070 718 10−5 = 0,141436 106 Па.

205

Fx = RyC + PyB = 0;

mB = RxC 4sin αBC − RyC 4cosαBC = 0;

P + P′ = Qsin 45°.

yB yB

Решением этой системы уравнений являются значения реакций связей:

RxC = −0,113137 104 Н, RyC = 0,084 853 104 Н.

Относительные погрешности определения реакций связей методом стержневых элементов и методами раздела «Статика» курса теоретической механики не превышают 0,0012 %.

Для проверки правильности определения напряжения σАВ в стержне АВ рассматривается схема нагружения этого стержня, представленная на рис. 12.6, а. Растягивающие напряжения σАВ в стержне должны уравновешиваться реакциями связей RxA и RyA. Сумма проекций на ось стержня АВ этих реакций и продольного усилия, обусловленного напряжением σАВ,

−R xA cosαAB − R yA sin αAB + FσAB =

=−0,593 976 104 0,6 − 0,791968 104 0,8 +

+0,01 0,989 986 106 = −0, 26 Н.

Проверка правильности определения напряжения σВC в стержне ВC выполняется аналогично. Сумма проекций на ось стержня ВС усилий RxС и RyС и продольного усилия, обусловленного напряжени-

207

ем σВС (рис. 12.6, б),

R xC sin αAB + R yC cosαAB − FσBC =

=0,113137 104 0,8 + 0,084 853 104 0,6 −

−0,01 0,141 436 106 = −0,146 Н.

σAВ

y

σВC RyC

RxA

Рис. 12.6. Схема проверки напряженного состояния стержней АВ (a) и BC (б)

Отклонения сумм проекций на оси стержней от нулевых значений обусловлены только погрешностью вычислений; относительная погрешность не превышает 0,02 % от наименьшего по модулю слагаемого (реакция связи RxA для стержня АВ и реакция связи RyC

для стержня ВС). Практическое выполнение условий равновесия свидетельствует о высокой точности результатов, полученных с помощью метода стержневых элементов.

208

13. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Метод конечных элементов, как и метод стержневых элементов, состоит из выполнения последовательности нескольких этапов.

13.1. Моделирование расчетной области

Область, занятая твердым деформируемым телом, моделируется набором конечных элементов. Треугольные и четырехугольные конечные элементы используются для двумерных областей при использовании гипотез о плоско-напряженном, плоско-деформиро- ванном, осесимметричном напряженно-деформированном состояни-

ях (рис. 13.1).

Рис. 13.1. Примеры аппроксимации поперечного сечения длинномерных тел треугольными конечными элементами: а – круглое сечение; б – поперечное сечение рельса; в – профиль произвольного сечения

Для моделирования трехмерных тел сложной конфигурации используются конечные элементы в форме тетраэдров, параллелепипедов и других простейших тел (рис. 13.2).

Чем меньше размеры конечных элементов, используемых для описания исследуемого тела, тем правильнее моделируется его форма и размеры и тем точнее будут заданы физические, механические и тепловые свойства, кинематические и силовые граничные условия, а значит, напряженно-деформированное состояние объекта исследования будет моделироваться с более высокой точностью.

209

x

б

Рис. 13.2. Конечные элементы для аппроксимации трехмерных тел: а – тетраэдральный конечный элемент; б – конечный элемент в виде параллелепипеда со сторонами, параллельными координатным осям

13.2. Cистема разрешающих соотношений

Построение системы разрешающих соотношений для отдельного конечного элемента выполняется на основе метода Галеркина с использованием общих уравнений равновесия (движения) сплошной среды, кинематических и физических соотношений либо с помощью

210