книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

y

yk+1

K2

Рис. 11.23. Схема интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге – Кутты 2-го порядка с параметром α = 1

2. Вычисляется выражение

ykЭ+1/ 2 = yk + hf (xk , yk )2 = yk + hK1 2 ,

представляющее собой полушаг интегрирования по схеме Эйлера, то есть определяется приближенное значение искомой функции в точке xk + h2 .

3. Определяется приближенное значение

K2 = f (xk + h2, ykЭ+1/2 )

ным на предыдущем шаге значением производной K2: yk +1 = yk + hK2 .

Геометрические построения (см. рис. 11.23) показывают, что получаемая с помощью такой последовательности точка yk+1 лежит ближе к истинному решению, чем вычисляемая по схеме Эйлера, то есть решение, получаемое методом Рунге – Кутты, оказывается более точным.

181

На рис. 11.24 показана геометрическая интерпретация разностной схемы73, получающейся из выражения (11.12) при α = 12 :

yk +1 = yk + h f (xk , yk ) + f (xk + h, yk + hf (xk , yk )) 2.

1. Как и в предыдущем случае, рассчитывается значение

Рис. 11.24. Схема интегрирования обыкновенного дифференциального уравнения методом Рунге – Кутты с параметром α = 1/2

2. Выполняется полный шаг метода Эйлера для определения приближенного значения искомой функции на конце отрезка интегрирования xk +1 = xk + h :

ykЭ+1 = yk + hf (xk , yk ) = yk + hK1.

3. В узле xk +1 вычисляется приближенное значение производ-

73 Получающееся выражение называется схемой (методом) Эйлера – Коши.

182

4. Определяется среднее значение двух производных, определенных на концах отрезка xk и xk +1 :

(K1 + K2 )2.

5. Вычисляется значение искомой функции в конечной точке xk +1 всего шага по схеме Эйлера с усредненным значением произ-

водной:

yk +1 = yk + h (K1 + K2 )2.

Из геометрических построений на рис. 11.24 понятно, что получаемый указанным способом результат также должен быть ближе к истинному решению, чем получаемый по схеме Эйлера.

Пример. Решить дифференциальное уравнение y′ = − y с начальным условием y (0) = 1 методом Рунге – Кутты 2-го порядка.

Правая часть дифференциального уравнения имеет вид f (x, y ) = − y , поэтому схема метода (11.12) при α = 12 представля-

ется следующим образом:

K1 = f (xk , yk ) = − yk ;

ykЭ+1 = yk + hK1 = yk − hyk = yk (1 − h);

K2 = f (xk + h, ykЭ+1 ) = − yk (1− h);

(K1 + K2 )2 = − (2 − h) yk 2;

yk +1 = yk − hyk (2 − h)2 = yk (h −1)2 + 1 2.

Строится последовательность значений искомой функции: y0 = y (0) = 1;

y1 = y0 (h −1)2 + 1 2 = (h −1)2 + 1 2;

183

y2 = y1 (h − 1)2 + 1 2 = { (h − 1)2 + 1 2}2 ;

ym = { (h − 1)2 + 1 2}m .

Результаты получаемого численного решения для значения аргумента x = 10 при различных шагах интегрирования приведены в табл. 11.11. Три верные значащие цифры получены теперь для ша-

га h = 0,01.

Таблица 11.11

Результаты численного решения ym методом Рунге – Кутты 2-го порядка дифференциального уравнения y′ = − y

с начальным условием y (0) = 1

Для оценки погрешности аппроксимации уравнения (11.9) разностной схемой метода Рунге – Кутты 2-го порядка точное решение подставляется в разностный аналог исходного дифференциального уравнения и вычисляется невязка:

Разложения функций в ряды Тейлора

184

186

y1 = y0 1+ (h4 − 4h3 + 12h2 − 24h)24 = = 1+ (h4 − 4h3 + 12h2 − 24h)24 ;

y2 = y1 1+ (h4 − 4h3 + 12h2 − 24h)24 = = 1+ (h4 − 4h3 + 12h2 − 24h)24 2 ;

y3 = y2 1+ (h4 − 4h3 + 12h2 − 24h)24 = = 1+ (h4 − 4h3 + 12h2 − 24h)24 3 ;

...

ym = 1+ (h4 − 4h3 + 12h2 − 24h)24 m .

Результаты численного решения для значения аргумента x = 10 при различных шагах интегрирования приведены в табл. 11.12. Три верные значащие цифры получены для шага h = 0,25.

Таблица 11.12 Результаты численного решения ym методом Рунге – Кутты

Сравнение табл. 11.10–11.12 с решениями одной и той же задачи позволяет сделать вывод, что аппроксимация дифференциального уравнения разностным аналогом более высокого порядка позволяет получить более точное решение при том же шаге интегрирования или получить ту же точность при большем шаге интегрирования и, следовательно, меньшем числе шагов, то есть приводит к снижению требуемых ресурсов ЭВМ.

187

12.МЕТОД СТЕРЖНЕВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Внастоящее время одной из основных проблем, стоящих перед инженером, является оптимальное проектирование конструкций транспортных, строительных и дорожных машин, навесного и вспомогательного оборудования с целью снижения их материалоемкости при одновременном повышении прочности, устойчивости, надежности и долговечности. Решение этой непростой задачи требует анализа напряженно-деформированного состояния узлов и деталей, элементов и агрегатов машин различного назначения при произвольных видах нагружения на основе научно обоснованных методов расчета

ипроектирования с использованием современных программных продуктов и высокопроизводительной вычислительной техники.

Для решения обширного класса научных, инженерных и конст-

рукторских проблем получил широкое распространение метод конечных элементов (МКЭ), разработанный в работах О. Зенкевича74 [11], К. Моргана [10], Р. Галлагера [9], Д. Норри и Ж. Де Фриза [16], П. Роуча [20], К. Флетчера [29] и других ученых. МКЭ в настоящее время является, по-видимому, одним из наиболее распространенных методов инженерного анализа при выполнении прочностных расчетов, изучении тепловых процессов, исследовании упругого, вязкого и пластического состояния твердых деформируемых тел в машиностроении, металлургии, горной и строительной механике, анализе динамических процессоввжидкостях игазах и во многих других случаях.

Наглядность метода, простота геометрического описания конструкций, элементов деталей машин и механизмов, имеющих сложные формы, универсальность учета граничных и начальных условий сделали метод конечных элементов весьма популярным среди широкого круга специалистов, занятых решением научных и приклад-

74 Зенкевич Ольгерд Сесил (18.05.1921–02.01.2009) – английский ученыймеханик, один из авторов метода конечных элементов. Преподавал в Эдинбургском университете, Северо-западном университете штата Иллинойс, в Университете Уэльса. Имеет почетную степень доктора наук университетов Лондона, Лиссабона, Шотландии, Вены.

188

ных инженерных задач. На основе метода конечных элементов созданы многие прикладные программные комплексы для решения конструкторских задач, возникающих в машиностроительной, авиационной, судостроительной, автомобильной промышленности.

Освоение технологии использования метода конечных элементов целесообразно начать со знакомства с простейшим вариантом его реализации – методом стержневых элементов, широко применяемым в строительной механике для расчета стержневых строительных конструкций и сооружений. Этот метод содержит в себе в упрощенном виде все основные этапы и процедуры МКЭ: моделирование расчетной области; использование уравнений равновесия, геометрических соотношений, физических уравнений для построения разрешающих соотношений; формирование граничных силовых и кинематических условий; определение перемещений, напряженного и деформированного состояния узлов и элементов рассматриваемой конструкции.

Стержневые модели транспортных, строительных и дорожных машин могут рассматриваться как частные варианты использования МКЭ, в которых в качестве конечных элементов используются простейшие конструктивные элементы – стержни (в том числе криволинейные), балки (швеллеры, тавры, двутавры, уголки, трубы, фасонные профили), валы, оси и проч.

Для реализации метода стержневых элементов принимается гипотеза, что все стержневые элементы находятся в одномерном на- пряженно-деформированном состоянии, то есть все компоненты тензора напряжения, кроме продольной составляющей (например, σξξ), полагаются равными нулю, то есть

σηη = σζζ = σξη = σηζ = σξζ = 0.

Аналогичное допущение используется для компонент тензора деформации:

εηη = εζζ = εξη = εηζ = εξζ = 0.

При записи компонент тензоров напряжения и деформации считается, что ось ξ направлена вдоль конкретного рассматриваемо-

189

го стержня. Обозначения x и y в дальнейшем используются для обозначения осей неподвижной декартовой системы координат, общей для всей анализируемой конструкции.

Связь между компонентой εξξ тензора деформации и компонентой тензора напряжения σξξ соответствует закону Гука (6.4):

σξξ = Eεξξ ,

где Е – модуль упругости материала (модуль Юнга).

С учетом принятой гипотезы об одноосном напряженнодеформированном состоянии и условии отсутствия массовых сил уравнения движения (8.4) (в данном случае – уравнения равновесия) упрощаются и преобразуются к виду

∂σξξ = 0, ∂ξ

откуда следует, что σξξ = const и, соответственно,

εξξ = σEξξ = const.

Это означает, что и компонента σξξ тензора напряжения, и компонента εξξ тензора деформации сохраняют свои постоянные значения вдоль всего стержня.

Вспоминая, что согласно формулам (4.1) и (4.2),

и условию uξ ξ=0 = 0, несложно установить, что компонента uξ век-

тора перемещения (продольное перемещение частиц стержня) оказывается линейной функцией продольной координаты ξ:

uξ = Lδ ξ,

190