книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

где t – время; x, y – декартовы координаты; Т – температурное поле в объекте; U – электрический потенциал; c, ρ – теплоемкость и плотность; С, R – электроемкостьиэлектрическоесопротивлениематериала.

Использование подобия физических процессов теплопередачи и распространения электрического потенциала позволяет заменить измерение температуры измерением сопротивления, которое выполняется достаточно просто. Очевидно, что уравнение электропроводности становится эквивалентным уравнению теплопроводности, если подобрать материал, для которого коэффициент температуропроводности λcρ численно равен коэффициенту электрической

проводимости 1CR .

Пример. Для описания транспортных потоков может использоваться гидродинамическая аналогия, когда движение транспортных потоков можно представить как движение жидкости, имеющей специальные свойства, в гидросистеме, топологически эквивалентной городской улично-дорожной сети.

В современной литературе имеется достаточно много определений понятий «модель» и «моделирование», с которыми можно согласиться, попытаться улучшить либо опровергнуть:

Модель – объект, который заменяет в определенных условиях оригинал, отражая интересующие свойства оригинала и обеспечивая удобство его изучения [8];

–способ существования знаний [8];

–физическая система (устройство, схема, установка, система машин) или математическое описание компонентов и функций, отображающие существенные свойства какого-либо объекта, процесса или явления [18];

–некоторая совокупность объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют данной системе акси-

ом [18];

11

внаучных, производственных или иных целях [25];

–любой образ (мысленный или условный, изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т.п.) какого-либо объекта, процесса или явления («оригинала»), используемый в качестве его «заместителя», «представителя» [25];

–любая совокупность (абстрактных) объектов, свойства которых и отношения между которыми удовлетворяют рассматриваемым аксиомам, служащим тем самым совместным (неявным) определением такой совокупности [25];

–интерпретация формализованного языка [15].

Моделирование – форма человеческой деятельности, занимающаяся построением, использованием и совершенствованием моделей [8];

–исследование каких-либо процессов, явлений или систем объектов путем построения и изучения их моделей [25];

–использование моделей для определения или уточнения характеристик и рационализации способов построения вновь конструируемых объектов [25].

1.1. Математическое и вычислительное моделирование

Идеальные (абстрактные) модели создаются средствами мышления. Абстрактные модели, предназначенные для общения между людьми, создаются средствами естественного языка (языковые модели): естественный язык является универсальным средством построения любых абстрактных моделей. Эта универсальность обеспечивается возможностью введения в язык новых слов, иерархического построения развитых языковых конструкций. Гибкость языковых моделей, обладающих неоднозначностью, расплывчатостью2, позволяет отобразить практически любую ситуацию.

2 В языке слово может иметь несколько значений; есть неопределенные слова: много, несколькоипроч.; существуетмножествовариантовсоединениясловвофразы.

12

Однако то, что в обыденной жизни не мешает, в науке, когда требуется точное описание материальных объектов, технологических процессов и природных явлений, становится существенным недостатком и компенсируется введением профессиональных языков со специфической терминологией.

Впроцессе человеческой деятельности возникает огромное количество вопросов, и ответы на них получить чрезвычайно трудно, а порой просто невозможно с помощью натурных наблюдений и экспериментальных исследований, которые могут требовать огромных материальных и финансовых затрат или быть связанными с угрозой жизни людей. Множество объектов, недоступных для исследования, расположены в недрах Земли или в далеком космосе.

Какие процессы имеют место, например, в глубинах Солнца или планет Солнечной системы? Как ведет себя материал заготовки при его термической и механической обработке? Посмотреть, «потрогать руками» то, что происходит в раскаленном добела слитке металла при прокатке на стане металлургического производства или

вкамере сгорания двигателя автомобиля просто невозможно!

Вэтой ситуации исследователю приходит на помощь особая

форма изучения окружающей действительности – математическое моделирование3, то есть изучение объектов, процессов и явлений посредством абстрактных математических объектов, отношений и операций над ними. Для квалифицированного проведения исследовательской работы требуется знать многие разделы современной математики, а также основы изучаемой предметной области: физики, механики, химии, основных инженерных и специальных дисциплин.

Основной целью построения математической модели является не столько описание известных фактов в поведении изучаемого объекта, процесса или явления, сколько предсказание его поведения

внестандартных ситуациях. Широчайшие возможности в этом направлении дает моделирование нестационарных процессов в их развитии с течением времени, то есть эволюции. Это позволяет иссле-

3 Математическая модель – приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики [15].

13

довать влияние множества факторов самой различной природы на поведение описываемых объектов, изучить их реакцию на изменение начальных и граничных условий, оценить устойчивость по отношению к возмущению факторов, определяющих эволюционные изменения. Использование вычислительного моделирования как современного способа решения практически важных прикладных задач позволяет целенаправленно сформировать в сознании будущего специалиста представление о том, что вычислительная техника является точным и мощным инструментом бакалавра, специалиста, магистра, ученого, многократно усиливающим интеллектуальный и творческий потенциал исследователя.

1.2. Подготовка и проведение вычислительного эксперимента

С термином «компьютерное моделирование» непосредственно связано введенное академиком А.А. Самарским4 понятие о вычислительном эксперименте [21], то есть технологии исследования сложных проблем, основанной на построении и анализе математических моделей изучаемого объекта с помощью электронной вычислительной машины.

Под объектом исследования (рис. 1.1) следует понимать как материальные тела (жидкие, абсолютно твердые, деформируемые, газообразные), так и технологические процессы и физические явления. Из всего многообразия свойств, присущих объекту исследования, выделяются и рассматриваются только те, что представляют интерес в данной конкретной ситуации.

Так, например, при анализе процесса обработки металла давлением, как правило, пренебрегают его магнитными и электриче-

4 Самарский Александр Андреевич (19.02.1919–11.02.2008) окончил в 1945 г. Московский государственный университет. С 1959 г. – профессор МГУ. В 1966 г. был избран членом-корреспондентом, а в 1976 г. – действительным членом АН СССР. С 1984 г. – почетный доктор Технического университета г. Карл-Маркс-Штадт. Награжден орденами Трудового Красного Знамени (1969), Октябрьской Революции (1975), Ленина (1954, 1956, 1979), Герой Социалистического Труда (1979), лауреат Ленинской премии (1962).

14

скими свойствами, не учитывают химические реакции и т.д. На начальном этапе определяются законы, описывающие лишь интересующее исследователя поведение объекта. Например, при моделировании движения космического аппарата вне атмосферы Земли достаточно использовать уравнения классической механики и не учитывать его прочностные характеристики; при исследовании химических превращений вещества нет смысла учитывать упругие или пластические характеристики материала.

Да

Эксплуатация

модели

Рис. 1.1. Схема выполнения вычислительного эксперимента

Следующий этап – математическая модель – представляет собой формализованную запись выбранных законов, описывающих поведение объекта, посредством абстрактных математических объектов и операций. В общем случае математическая модель включает запись систем уравнений (алгебраических, обыкновенных дифференциальных или в частных производных, интегральных, интегродифференциальных), неравенств, начальных и граничных условий.

Втом случае, если для математической модели, записанной

ввиде системы уравнений5, неравенств, начальных и граничных условий невозможно получить точное6 решение, используют соответ-

5Линейных и нелинейных алгебраических, дифференциальных в полных

ичастных производных, интегральных, функциональных и проч.

6Точным называется решение, полученное в элементарных функциях.

15

ствующие методы приближенного7 или численного8 решения с использованием вычислительной техники. В этом случае речь идет о вычислительном моделировании9 с применением методов численного решения уравнений, входящих в состав математической модели.

Программирование для электронных вычислительных машин представляет собой процесс подготовки кода, реализующего вычислительные алгоритмы численного решения задач на языках высокого уровня. Существуют специальные способы и подходы, технологии создания программных продуктов, гарантирующие подготовку компьютерных программ в заданные сроки с высоким качеством. К их числу относятся технологии функционального, структурного, объектно-ориентированного программирования и др.

Проведение расчетов и анализ результатов – этап, требующий значительных интеллектуальных усилий и навыков по обработке, представлению и осмыслению получаемых решений. Необходима интерпретация громадных объемов числовой информации в виде схем, диаграмм, графиков, таблиц, изолиний, рисунков, мультипликации и т.п. Основная цель этого этапа – установление степени адекватности численных результатов компьютерного моделирования данным натурных наблюдений и измерений.

Вслучае, если имеется существенное отклонение расчетных

иэкспериментальных данных, необходимо вернуться к исходному

либо промежуточным этапам построения математической модели с целью уточнения законов, описывающих поведение объекта, выбора более приемлемого метода решения математической задачи, проверки правильности машинного кода программы. При получении достаточной степени достоверности получаемых численных результатов переходят к «промышленной» эксплуатации компьютерной модели.

7Под приближенным понимается решение, получаемое в виде сходящейся последовательности (например, с использованием итерационных методов, рядов Фурье, Тейлора и др.).

8Численное решение предполагает получение множества значений искомой функции для конечного числа узловых значений аргументов (методы интегральных уравнений, конечных и граничных элементов, сеточные и др.).

9Вычислительная модель – типовая задача, соответствующая проблеме численного решения некоторого класса математических или прикладных задач [15].

16

Следует четко понимать, что целью математического моделирования является не только описание известных закономерностей в поведении объекта, сколько предсказание его поведения в нестандартных ситуациях. Одно из основных направлений использования компьютерного моделирования – поиск оптимальных вариантов внешнего воздействия на объект с целью получения наивысших показателей результативности его функционирования: минимальная себестоимость, максимальная производительность, наибольшая прибыль, наименьшие затраты и потери и проч.

1.3. Погрешность математической модели

Точность математической модели определяется правильностью принятых гипотез и упрощений, описывающих исследуемый объект. Оценка погрешности в этом случае может производиться проверкой степени выполнения принятых гипотез при натурном наблюдении. Так, например, при описании движения жидкости или газовых потоков с небольшими скоростями используется, как правило, предположение о несжимаемости жидкости и газа. Для моделирования поведения металла в процессах пластического деформирования, как правило, используют модели течения вязкой жидкости; такое предположение может быть использовано только в процессах, проводящихся при достаточно высоких температурах.

Понятно, что погрешности этого рода являются неустранимыми в рамках принятых допущений и предположений. Повышение точности модели возможно при уточнении гипотез и законов, описывающих поведение исследуемого объекта: увеличение степеней свободы механизмов, повышение размерности задачи, отказ от грубых допущений. Это, как правило, приводит к повышению сложности систем уравнений и алгоритмов решения поставленной задачи.

1.3.1. Погрешность исходных данных

Любая математическая модель использует для проведения расчетов некоторые данные, получаемые с помощью натурных измерений. В силу погрешности измерительных инструментов, оши-

17

бок при снятии размеров, нестабильности свойств и размеров тел практически все исходные данные содержат погрешности, влияющие в большей или меньшей степени на результаты расчетов.

Погрешность определения параметров в промышленных условиях может достигать от 1 до 10 %. Точные исследования при наличии достаточной инструментальной базы и специальных условий позволяют достичь 0,001–0,0001 % погрешности. Прецизионные измерения обеспечивают погрешность в пределах 10–8–10–10 %. Как и в предыдущем случае, погрешности измерения вносят неустранимые искажения в результаты решения задач.

В связи с этим имеет смысл соотносить между собой точность выполнения математических вычислений и точность натурных измерений: погрешность расчетов на ЭВМ должна быть меньше погрешности, вносимой измерительными инструментами, на 1–2 порядка. Более высокая точность вычислений представляется нецелесообразной.

1.3.2. Погрешность численного метода

Погрешность метода решения задачи на вычислительной машине определяется неточностью замены алгебраического, дифференциального или интегрального оператора в исходном уравнении поставленной задачи приближенным (нелинейного – линейным, дифференциального – разностным). Например, при вычислении определенного интеграла производится замена последнего конечной суммой площадей:

где n – число сегментов отрезка [a, b]; h – шаг интегрирования. Точное значение площади под графиком заданной функции заменяется суммой площадей аппроксимирующих прямоугольников (рис. 1.2).

Очевидно, что при приближенном определении значения интеграла появляется погрешность, определяемая величиной «лишних» или «недостающих» частей взятых прямоугольников. Чем

18

меньше шаг интегрирования h, тем ниже погрешность вычисления значения интеграла.

Понятно, что и в этом случае погрешность замены производной разностным аналогом также уменьшается с уменьшением величины шага h. Иначе говоря, при использовании численных методов погрешность решения является регулируемой: при корректном построении аппроксимации исходного уравнения всегда имеется некоторый параметр, варьированием которого можно регулировать величину погрешности получаемого результата.

f(x)

Рис. 1.2. Схема численного интегрирования

Вместе с тем следует иметь в виду, что повышение точности решения модели приводит к ощутимому повышению затрат ресурсов ЭВМ (времени проведения вычислений и оперативной памяти). Исходя из этого, необходимо придерживаться компромисса: достижения приемлемых затрат вычислительных ресурсов при получении удовлетворительной точности решения задачи.

1.3.3. Представление вещественных чисел в ЭВМ

Вещественные числа в компьютере представляются в нормализованном виде

x = apb ,

где a – мантисса (вещественное число); p – основание (целое число);

b– показатель степени (целое число).

Вкачестве примера рассматривается 4-байтовое (32-битное) представление вещественного числа в ЭВМ:

19