книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

Основные механические характеристики жидкости и газа: плотность, температура (внутренняя энергия), скорость, давление (напряжение), скорость деформации.

В дальнейшем предполагается, что t – фиксированный момент времени. Рассматривается некоторый объем жидкости V, ограниченный поверхностью S, имеющий массу m и скорость v. Плотность жидкости или газа в данной точке пространства понимается как пре-

Скоростью v материальной частицы жидкости или газа называется физическая величина, характеризующая быстроту изменения положения материальной частицы в пространстве:

где u – вектор перемещения материальной частицы. В координатной форме формула (7.2) записывается в виде

vx = dudtx , vy = dudty , vz = dudtz ,

где ux, uy, uz – компоненты вектора перемещения u материальной частицы.

Действие жидкости, находящейся вне поверхности S, на жидкость, находящуюся внутри S, заменяется действием системы сил,

Важной характеристикой состояния жидкости или газа является температура, понятие о которой определяется в физике. Если необходимо учитывать совершающиеся в жидкости тепловые процессы, то в качестве основной термодинамической функции может использоваться температура Т.

Жидкость как сплошная среда обладает следующим свойством: в покое или при движении как абсолютно твердого тела в ней отсутствуют касательные напряжения и наблюдаются только нормальные напряжения, которые не зависят от ориентации рассматриваемой площадки. Наблюдающиеся в жидкости нормальные напряжения являются, как правило, напряжениями сжатия. В реальных жидкостях напряжения растяжения могут иметь место, но они невелики, то есть прочность жидкости на разрыв мала и сильно зависит от ее чистоты; примеси снижают ее прочность. В газах напряжения растяжения не наблюдаются.

7.1. Вязкая (ньютоновская) жидкость

Вязкой называют жидкость, в которой при движении наблюдаются как нормальные, так и касательные напряжения.

Имеются две пластины (рис. 7.1), между которыми находится жидкость. Нижняя пластина закреплена, верхняя движется параллельно нижней на расстоянии h со скоростью v. Опыт показывает, что сила F, которую надо приложить к верхней пластине для поддержания заданной скорости,

F = μ hv S ,

где S – площадь пластины; h – толщина слоя жидкости; μ – коэффициент динамической39 вязкости (пропорциональности), зависящий от свойств жидкости. Причиной вязкости, то есть появления касательного напряжения, является хаотическое движение молекул, пе-

39 Дополнительно определяется величина ν = μρ , называемая коэффици-

ентом кинематической вязкости.

82

–в жидкости или газе, когда они движутся как абсолютно твердые тела или находятся в покое, наблюдаются только нормальные напряжения;

–компоненты тензора напряжения – линейные функции компонент тензора скорости деформации;

–жидкость или газ изотропны, т.е. их свойства одинаковы по всем направлениям.

Сформулированные условия позволяют получить общую запись связи компонент тензора напряжения с компонентами тензора скорости деформации:

σxx = − p + λ (ξxx + ξ yy + ξ zz ) + 2μξ xx ;

где λ – второй коэффициент вязкости, или коэффициент объемной вязкости. Для несжимаемой жидкости этот коэффициент выпадает из соотношений (7.5), поскольку для несжимаемой среды

ξ xx + ξ yy + ξ zz = 0 .

85

8. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

8.1. Формула Коши

Напряжение по объему деформируемого твердого тела меняется, и на поверхности этого тела оно должно находиться в равновесии с действующими внешними нагрузками. Для записи силовых граничных условий используется схема, приведенная на рис. 8.1. Рассматривается бесконечно малый тетраэдр, вырезанный координатными плоскостями из области, занятой сплошной средой, и примыкающий к границе тела, на которой действует распределенная нагрузка p; n – единичная нормаль к поверхности рассматриваемой области. Компоненты тензора напряжения, действующего внутри изучаемого тела, указаны на рисунке.

Рис. 8.1. Силовые граничные условия для задачи механики деформируемого твердого тела

Принимаются условия, что рассматриваемый тетраэдр находится в равновесии, массовые силы отсутствуют. Условие равновесия выделенного тетраэдра приводит к записи граничных силовых условий (формула Коши41) в виде

41 Коши Огюстен Луи (21.08.1789–23.05.1857) – французский математик, член Парижской академии наук, иностранный почетный член Петербургской академии наук. Преподавал в Парижском университете.

86

σ n = p ,

или в координатной форме:

σyxnx + σyy ny + σyz nz = py ; σzxnx + σzy ny + σzz nz = pz ,

где nx, ny, nz, px, py и pz – проекции на оси координат вектора нормали n к поверхности рассматриваемой области и вектора нагрузки p, распределенной по поверхности области.

8.2. Закон сохранения массы

Для изучения движения физических объектов, температурных, электрических, магнитных и других полей используются законы природы, установленные в процессе исследовательской деятельности многих поколений ученых. Для движения твердых деформируемых тел, жидкостей и газов, то есть сплошной среды, обладающей свойством инерции, рассматриваются лишь некоторые из этих законов.

Свойство инерции характеризуется массой. Понятие массы вводится как для всего объекта в целом, так и для любой из его материальных частиц. В механике Ньютона масса m всего тела равна

сумме масс mi всех составляющих тело частей, m = mi . В класси-

i

ческой механике фундаментальным является закон сохранения массы любого конечного объема, состоящего из одних и тех же частиц среды. Его математическая запись заключается в том, что для любого конечного объема

m = const,

или

dmdt = 0 .

87

В механике сплошной среды вместо массы m используется понятие плотности среды ρ. Для бесконечно малого объема материальной частицы верно равенство (7.1), то есть dm = ρdV , для конеч-

ного объема среды – соответствующее соотношение

m = ρdV ,

V

где интеграл взят по подвижному конечному объему V, занятому сплошной средой.

Плотность ρ сплошной среды, в отличие от массы, может изменяться, так как занимаемый ею объем во время движения может уменьшаться или увеличиваться. Закон сохранения массы для индивидуального (элементарного) объема сплошной среды (материальной частицы) можно записать в виде

Применение к этому равенству правила дифференцирования интеграла, взятого по подвижному объему, позволяет получить первое основное дифференциальное уравнение механики сплошной среды:

ddtρ + ρ divv = 0 ,

называемое уравнением неразрывности. Здесь divv = ∂∂vxx + ∂∂vyy + ∂∂vzz = ξxx + ξyy + ξzz

– дивергенция вектора скорости. В координатной форме уравнение неразрывности имеет вид

88

8.3.Закон изменения количества движения

Вмеханике Ньютона количество движения материальной частицы массой dm, занимающей объем dV, определяется выражением

vdm = vρdV.

Для конечного объема V, содержащего сплошную среду, количество движения

K = vρdV .

V

Предполагается, что на материальную частицу массой dm и объемом dV действуют силы p, распределенные по поверхности, и массовые силы f, распределенные по объему сплошнойсреды (рис. 8.2).

Плотность массовой силы определяется как

где F – главный вектор (равнодействующая) всех масcовых сил, действующих на частицу массой m. Для бесконечно малой материальной частицы массой dm

dF = fdm = fρdV .

Тогда для конечного объема V сплошной среды можно записать уравнение закона изменения количества движения в форме

Выражение (8.3) является основным динамическим соотношением механики сплошной среды. Подобно тому, как второй закон классической механики Ньютона является основным уравнением

89

в механике материальной точки, приведенное уравнение изменения количества движения лежит в основе механики твердого деформируемого тела, жидкости и газа, то есть сплошной среды.

р

J

f

q

Рис. 8.2. Материальная частица массой dm и объемом dV, нагруженная системой распределенных поверхностных p и массовых f сил, внешним тепловым потоком J и внутренними источниками тепла мощностью q

Выражение (8.3) может быть преобразовано к виду42

ρ ddtv = ρf + divσ ,

или в координатной форме:

42Подробный вывод уравнений движения сплошной среды представлен

вмонографиях [23, 6] и др.

90