книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

Условия применимости метода простых итераций определяются теоремой: если функция φ(х) на отрезке А удовлетворяет условию Липшица60 с константой 0 < С < 1, причем

ϕ(a) − a ≤ (1− C)r.

то уравнение (3.2) имеет на отрезке А единственное решение x, ме-

Предполагается, что рассматривается отрезок длиной 2r с центром в точке a: A = {x x − a ≤ r}.

11.2.3. Метод Ньютона

Для поиска корней уравнения (11.3) в окрестности искомого решения x выбирается произвольная точка x и функция f(x) раскладывается в ряд Тейлора61 возле этой точки:

f (x) = f (x) + fx′ (x)(x − x) + ... .

Отсюда следует приближенное равенство

f (x) ≈ f (x) + fx′ (x )(x − x),

котороесучетомтребования f (x ) = 0 позволяетполучитьвыражение x ≈ x − f (x) fx′ (x),

60 Липшиц Рудольф Отто Сигизмунд (14.05.1832–07.10.1903) – немецкий математик, профессор Боннского университета. Основные работы в области математического анализа, теории дифференциальных уравнений, теоретической механики и алгебры.

Функция удовлетворяет условию Липшица на отрезке [a, b], еслиx1, x2 [a,b] ϕ(x2 ) − ϕ(x1 ) ≤ C x2 − x1 , C > 0 – константа [13].

61 Тейлор Брук (18.08.1685–29.12.1731) – английский математик, член Лондонского королевского общества.

141

приводящее к итерационному процессу следующего вида:

x(s+1) = x(s) − f (x(s) ) fx′(x(s) ).

Если ввести обозначение

ϕ (x) = x − f (x) f ′ (x),

то метод Ньютона можно рассматривать как вариант метода простых итераций.

Условия применимости метода Ньютона определяются теоремой: если выполнены предположения, что

–x – корень уравнения f(x) = 0;

x(n) − x ≤ C2n −1 x(0) − x .

Геометрическая иллюстрация итерационного процесса метода Ньютона приведена на рис. 11.7.

f(x0)

Рис. 11.7. Геометрический смысл процедуры метода Ньютона

142

Из схемы следует, что каждое следующее приближение может быть также определено из геометрических построений:

x(s) − x(s+1) = f (x(s) )tg α = f (x(s) ) fx′(x(s) ).

Пример. Найти корень уравнения 2x + sin х − 1 = 0 методом Ньютона.

Согласно методу Ньютона, строится итерационная процедура

x(s+1) = x(s) − f (x(s) ) fx′(x(s) ).

Поскольку fx′ (x) = 2 + cos х , формула метода Ньютона принимает вид

Результаты расчетов приведены в табл. 11.6.

Таблица 11.6

Построение приближенного решения уравнения 2x + sin х − 1 = 0 методом Ньютона при разных начальных значениях x(0)

11.2.4. Модификации метода Ньютона

Одна из модификаций метода Ньютона заключается в том, что производная функции f(x) определяется только один раз для начальной точки x0 итерационного процесса (рис. 11.8, а):

x(s+1) = x(s) − f (x(s) ) fx′(x(0) ).

143

Возможно, что на заданном отрезке может оказаться несколько корней. В этом случае итерационный процесс позволит вычислить какой-то один корень уравнения. Для отделения корней в некоторых случаях можно воспользоваться следующим приемом. Пусть найден корень x1 . Строится функция

при условии ограниченности значения производной функции, то есть в случае f (x) C[1x0 , x1 ] . При отсутствии кратных корней новая

функция и «слева», и «справа» от точки x1 будет иметь один и тот же знак. После нахождения следующего корня x2 строится новая функция f2 (x) = f (x)(x − x1 )(x − x2 ) , и т.д.

11.3. Аппроксимация результатов экспериментальных исследований

Под аппроксимацией функции f (x ) , заданной произвольным

образом (поточечно, таблично или иным способом), понимается построение функции ϕ (x), в том или ином смысле близкой к f (x )

и дающей ее приближенное представление.

При решении прикладных инженерных задач нередко возникает необходимость приближенной замены функции f (x ) некото-

рой комбинацией известных функций, вычисление которых проще организовать. Частный случай аппроксимации функции – задача

62 Лопиталь Гийом Франсуа Антуан де (1661–1704) – французский математик, автор первого печатного учебника по дифференциальному исчислению.

145

интерполирования – состоит в том, чтобы функцию f (x ) , извест-

ную лишь в узлах некоторой сетки на заданном отрезке, то есть определенную в виде таблицы (например, табл. 11.7),

f (xi ) = fi , i = 0, n , приблизить непрерывной на этом отрезке функцией ϕ(x)63, которая в точках xi совпадает с заданными табличными значениями:

Функция ϕ(x) может определяться, например, следующим образом:

m

ϕ(x) = ak ϕk (x),

k =0

где ϕk (x ) – набор линейно независимых функций, например полиномов:

ϕ (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + + am xm .

Очевидно, что в задачах о наилучшем приближении и интерполировании функция ϕ(x) определяется набором параметров ak , k = 0, m , от которых зависит линейно. Если число координатных точек n, в которых задана функция f (x ) , совпадает с количеством

m функций ϕk(x), то есть n = m, можно сформировать систему линейных алгебраических уравнений

m

ak φk (xi ) = f (xi ), i = 0,m ,

k =0

относительно неизвестных коэффициентов ak , k = 1, m .

Для существования единственного решения этой системы алгебраических уравнений требуется, чтобы главный определитель этой системы

63 В дальнейшем вместо ϕ(x) могут быть использованы обозначения Pm(x),

Lm(x) и др.

146

11.3.1. Интерполяция степенными функциями

Пусть в качестве системы функций ϕk (x ) рассматриваются полиномы

k =0

ственным образом.

11.3.2. Интерполяционный полином Ньютона

Для произвольно заданной функции f(x) определяются разде-

ленные разности:

– первая разделенная разность

64 Вандермонд Александр Теофиль (28.02.1735–01.01.1796) – французский математик, член Парижской академии наук.

147

f(xi , xj ) = f (xi ) − f (xj ) (xi − xj );

–вторая разделенная разность

f (xi , xj , xk ) = f (xi , xj )− f (xj , xk ) (xi − xk );

– третья разделенная разность

f (xi , xj , xk , xl ) = f (xi , xj , xk )− f (xj , xk , xl ) (xi − xl )

и т.д.

Первая разделенная разность является разностным аналогом

ленная разность f (xi , xj , xk ) аппроксимирует вторую производную функции f(x) на отрезке [xi , xk ]. Соответственно, третья разделенная

×{Pm (x0 , x1 , x2 ) + (x − x2 )Pm (x, x0 , x1 , x2 )} = .

Иначе это выражение можно записать в форме

Pm (x ) = Pm (x0 ) + (x − x0 )Pm (x0 , x1 ) +

148

+(x − x0 )(x − x1 )Pm (x0 , x1 , x2 ) + (x − x0 )×

×(x − x1 )(x − x2 )Pm (x, x0 , x1 , x2 ) + .

Эта цепочка конечна и содержит m + 1 слагаемое.

Пример. Построить интерполяционный полином Ньютона для функции sin х на отрезке [0, π/2].

В табл. 11.7 приведены значения заданной функции и ее разделенные разности в узлах разностной сетки на указанном отрезке.

Аппроксимация заданной функции с помощью интерполяционного полинома Ньютона имеет вид

×{−0, 244 340 + (x − π3)(−0,113 872)} =

=0,954 930x − 0, 244 340x (x − π6) − 0,113 872x (x − π6)(x − π3) =

=1,020 43x − 0,065 470 3x2 − 0,113872x3.

Для аргумента x = π4 , отсутствующего в таблице, построенный полином принимает значение, равное 0,705 889. Точное значение этой функции в точке x = π4 равно 0,707107. Относительная

погрешность аппроксимации функции sin х с помощью интерполяционного полинома Ньютона составляет 0,172 %.

Таблица 11.7 Таблица интерполяции функции sin х по четырем точкам

149

Пример. Определить корень уравнения f (x) = (1+ x)ex2 −

− 2,5 = 0 методом обратной интерполяции.

Идея метода обратной интерполяции заключается в построении полинома Ньютона для функции, обратной к заданной зависимости f (x ) , то есть x ( f ) , и вычислении значения x при f = 0.

Особенность данного случая – необходимость построения полинома Ньютона для обратной функции x ( f ) на сетке с переменным

шагом по координате fi . В табл. 11.8 приведены значения заданной

функции и ее разделенные разности в узлах разностной сетки. Интерполяционный полином Ньютона для обратной функции

имеет вид

x( f ) = 0, 25 + ( f + 1,083 56)[0, 490 58 +

+ ( f + 0,573 96){−0,077 43 + ( f − 0,046 24)(0,013 91)}].

Для f = 0 получается x(0) = 0,733 018. Точное решение заданного уравнения x = 0,732 941. Относительная погрешность вычисления корня равна 0,0105 %.

150