книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

условие наступления текучести можно записать в виде

Опыты хорошо подтверждают 4-ю теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и на сжатие. Появление в материале малых пластических деформаций четвертой теорией определяется более точно, чем третьей.

6.7.5.Критерий Губера – Мизеса – Генки

Всовременной литературе по теории пластичности широко распространен и реализован в большинстве вычислительных пакетов инженерного анализа критерий пластичности Губера – Мизеса – Генки (условие постоянства интенсивности касательных напряжений):

или в координатной (компонентной) форме:

Это выражение отличается от формулы (5.6) для второго инварианта (интенсивности) тензора напряжения наличием множителя 1 2 .

Условие пластического течения материала, согласно критерию Губера– Мизеса – Генки, предполагает, что интенсивность тензора напряжения σi достигает и остается равной этому пределу текучести материала σТ в течение всего процесса пластического деформирования.

6.8.Виды напряженно-деформированного состояния

6.8.1.Одномерное напряженно-деформированное состояние

Простейшим частным случаем напряженно-деформирован- ного состояния является одноосное (одномерное) состояние, когда учитываются только одна компонента σxx тензора напряжения и од-

71

на компонента εxx тензора деформации. Как правило, в этом случае индексы опускают и используют обозначения σ и ε.

Пример. Растяжение (сжатие) призматического стержня, приведенное на рис. 3.1, 4.1, 4.2 и др. Распределение напряжения приведено на рис. 3.1, б и рис. 3.5, перемещение – на рис. 4.1 и 4.2.

Пример. Изгиб (в том числе с растяжением) бруса прямоугольного сечения b×h.

При чистом изгибе под действием изгибающего момента Ми (рис. 6.8, верхний ряд) продольная деформация в заданной точке плоскости изгиба определяется соотношением ε = κy , где κ – кри-

визна изгибаемого бруса, κ = 12Mи bh3 E ; y – расстояние от рас-

сматриваемой точки до линии центров тяжести поперечного сечения бруса; Е – модуль упругости. Напряжение, согласно закону Гука,

σ = Eε = Eκy .

Рис. 6.8. Одноосное (одномерное) напряженно-деформированное состояние при чистом изгибе (верхний ряд) и изгибе с растяжением (нижний ряд): а – эпюры перемещения; б – эпюры деформации; в – эпюры напряжения

При изгибе с растяжением (рис. 6.8, нижний ряд) продольная деформация определяется формулой ε = εц + κy , где εц – деформа-

ция удлинения линии центров тяжести поперечного сечения

72

бруса, εц = PbhE . Напряжение в рассматриваемой точке

σ = Eκy + Pbh .

Пример. Состояние сдвига. Рассматривается деформация длинного бруса, представленного на рис. 6.9, первоначально имеющего квадратное сечение ABCD, у которого грань DC закреплена неподвижно, на грани AB действует сдвигающая сила F.

до величины π2 − γ .

Напротив, углы при вершинах A и С увеличиваются до значения π2 + γ . Малый угол γ определяет искажение элемента ABCD

и называется относительным сдвигом. При малых углах сдвига касательная деформация принимается равной

γ≈ tgγ = AAAD' = ∂∂ux .

Всоответствии с законом Гука напряжение сдвига τ = Gγ , где G – модуль упругости при сдвиге.

Пример. Кручение стержня. Рассматривается круглый стержень, защемленный одним концом и закручиваемый моментом Мкр, приложенным к другому концу (рис. 6.10, а). Эксперименты пока-

73

зывают, что круговые поперечные сечения стержня при кручении остаются круговыми, их диаметры и расстояния между ними не меняются при условии, что угол γ закручивания мал.

Нижнее поперечное сечение диска, вырезанного из круглого стержня и изображенного рис. 6.10, б, повернется относительно верхнего поперечного сечения на угол dϕ, где угол ϕ определяет поворот крайнего правого сечения (см. рис. 3.4 и рис. 6.10, а) относительно защемленного конца. Первоначально прямоугольный элемент ABCD боковой поверхности диска принимает форму параллелограмма, показанного на рис. 6.10, б. Длины сторон этого элемента остаются практически неизменными, изменяются только углы между ними.

аб

Рис. 6.10. Одноосное (одномерное) напряженно-деформированное состояние при кручении круглого стержня

Это означает, что рассматриваемый элемент находится в состоянии чистого сдвига и величина деформации сдвига γ определяется выражением γ ≈ tgγ = DD ' AD . Поскольку DD ' является ма-

лой дугой, соответствующей разности dϕ углов поворота двух смежных поперечных сечений, DD ' = Rdφ , где R – радиус круглого

стержня. Отсюда следует, что γ = Rdφdz .

Для стержня, скручиваемого моментом Мкр, угол закручивания пропорционален длине и величина dφdz постоянна. Эта величина

представляет угол закручивания на единицу длины стержня и обо-

74

значается символом θ. Отсюда следует, что γ = Rθ и касательное

напряжение на основании закона Гука τ = GRθ .

Для вычисления напряжения внутри стержня используется предположение, что не только круговой контур поперечного сечения стержня не искажается, но и сами поперечные сечения остаются плоскими и поворачиваются как абсолютно твердые, то есть диаметры поперечных сечений остаются прямыми и поворачиваются на один и тот же угол. В этом случае касательное напряжение в произвольной точке круглого стержня τ = Grθ , где r – расстояние от выбранной точки до оси стержня.

6.8.2.Плоско-деформированное состояние

Вплоско-деформированном состоянии находится тело, форма

иразмеры поперечного сечения которого, а также условия нагружения не зависят от одного из направлений.

Вкачестве примера рассматривается длинный брус (рис. 6.11, а), размещенный на твердой горизонтальной площадке и нагруженный распределенным вертикальным усилием, не изменяющимся вдоль оси z. Форма и размеры поперечного сечения бруса вдоль той же оси не изменяются. Размер тела в направлении оси z достаточно велик.

Экспериментальные наблюдения показывают, что в рассматриваемом случае продольная деформация в направлении оси z пре-

небрежимо мала, и можно считать, что εzz = 0 . Кроме того, из анализа кинематических и геометрических условий следует, что εzx = 0 , ε zy = 0 . С учетом этих допущений из физических соотношений (6.4) для упругого материала получаются выражения:

σxx = (1+ ν)E(1− 2ν) (νεxx + (1− ν)ε yy ),

σyy = (1+ ν)E(1− 2ν) ((1− ν)εxx + νε yy ),

75

Рис. 6.11. Расчетная схема плоско-деформированного состояния (а)

иформа поперечного сечения бруса (б)

Всилу принятого допущения εzz = 0 и законаГука следует, что

εzz = σEzz − Eν (σxx + σ yy ) = 0 .

Отсюда получается, что

σzz = ν (σxx + σ yy ) ,

то есть компонента σzz тензора напряжения не является независи-

мой величиной. В этом случае матричные обозначения (6.5) и (6.6) приводятся к виду

76

6.8.3. Плоско-напряженное состояние

В плоско-напряженном состоянии находятся тела, имеющие пренебрежимо малый размер в одном из направлений: пластины, оболочки, мембраны и т.п. В этом случае напряженное состоя-

кона Гука (6.4) устанавливается связь между компонентами тензоров напряжения и деформации при плоско-напряженном состоянии:

σ zz = (1+ ν )E(1− 2ν ) (νε xx + νε yy + (1− ν )εzz ) = 0,

откуда следует связь между компонентами тензора деформации:

εzz = − 1−ν ν (εxx + ε yy ).

Это означает, что из шести компонент тензора деформации независимыми являются лишь три – εxx, εyy и γxy. Кроме этого,

σ zy = 2Gε zy = 0, σ zx = 2Gε zx = 0.

С учетом этого оставшиеся три компоненты тензора напряжения определяются выражениями

77

Полученные выражения позволяют установить связь векторов напряжения и деформации в виде

1 ν 0

ν1 0 .

1− ν2

0 0 1− ν

6.8.4.Осесимметричное состояние[D] = E

При условии осевой симметрии формы рассматриваемой конструкции, граничных кинематических и силовых условиях (форма тела и условия его нагружения не зависят от угла θ, рис. 6.13, а) принимается допущение, что сдвиговые деформации εθr = 0 и

εθr = 0 , и, согласно закону Гука, компоненты тензора напряжения σθr = 0 , σθz = 0 . Это, в свою очередь, означает, что при анализе на-

пряженно-деформированного состояния можно рассматривать не всю конструкцию, а только ее сечение плоскостью rz.

Согласно закону Гука (6.4), связь между компонентами тензоров напряжения и деформации принимает вид:

σrr = (1+ ν)E(1− 2ν) ((1− ν)εrr + ν (εθθ + εzz )), σθθ = (1+ ν)E(1− 2ν) ((1− ν)εθθ + ν (εrr + εzz )) ,

78

σzz = (1+ ν)E(1− 2ν) ((1− ν)εzz + ν (εrr + εθθ )) ,

Рис. 6.13. Расчетная схема осесимметричного напряженнодеформированного состояния: а – осесимметричное тело; б – аппроксимация сечения

Эти выражения позволяют записать связь компонентов тензоров напряжения и деформации в матричной форме:

79

7. ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА

Механика жидкости и газа изучает законы движения и равновесия жидкостей и газов, а также законы взаимодействия таких сред с находящимися в них телами. Понятие жидкости (газа) охватывает как малосжимаемые среды (например, жидкости), так и легко сжимаемые субстанции, которыми являются газы. В то же время экспериментальные исследования показывают, что газы при скоростях, небольших по сравнению со скоростью распространения звука в них, ведут себя как несжимаемые жидкости, а жидкости при больших давлениях оказываются сжимаемыми.

В основе механики жидкости и газа лежат [23]:

–классическая механика Ньютона: исследуются движения, скорости которых малы по сравнению со скоростью света; размеры рассматриваемых объектов значительно превышают размеры объектов микромира, изучаемых квантовой механикой;

–классическая термодинамика: если время37, необходимое для установления термодинамического38 равновесия, мало по сравнению со временем, на котором заметным образом меняются макроскопические параметры газа, то можно считать, что среда находится в состоянии термодинамического равновесия, и возможно использование термодинамических законов для описания ее характеристик;

–общие постулаты механики сплошной среды: жидкость и газ считаются непрерывной сплошной средой; все функции, имеющие гидродинамический смысл, считаются достаточно гладкими, то есть непрерывными и достаточное число раз дифференцируемыми; выполняются постулаты пространства и времени.

37Временем релаксации называется отрезок времени, характеризующий быстроту затухания отклонения системы от равновесия.

38Термодинамическим равновесием замкнутой системы при сохранении внешних условий называется такое состояние, в котором все его характеристики могут сколь угодно долго сохранять свои значения. В условиях термодинамического равновесия состояние жидкости (газа) определяется с помощью нескольких макроскопических параметров (плотность, скорость, температура).

80