книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

будет суммироваться с нормальным напряжением от изгиба, что может привести к росту общего напряжения и, следовательно, повышению опасности разрушения исследуемого объекта. В других местах той же конструкции напряжения будут вычитаться, то есть компенсируют друг друга, снижая опасность разрушения материала.

σ

аб

Рис. 3.5. Нагружение защемленной балки произвольной системой сил: а – система действующих нагрузок; б – напряжения в произвольном малом элементе балки от приложенных нагрузок

Та же ситуация имеет место для касательных напряжений, обусловленных перерезывающими нагрузками и крутящими моментами. Очевидно, что соответствующие поля нормального и касательного напряжений являются сложными и неоднородными, требуют соответствующего математического аппарата для детального исследования.

41

4. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МЕХАНИЧЕСКОГО СОСТОЯНИЯ

Рассматривается призматический стержень, закрепленный на левом конце и нагруженный растягивающей силой P (рис. 4.1). Величина конечного перемещения21 правого конца этого стержня (векторная величина) соответствует конечному полному удлинению22 (скалярная величина) этого призматического стержня и обозначается греческой буквой δ23 (рис. 4.2). Это удлинение, отнесенное к длине всего стержня и определяемое соотношением

называется конечной деформацией ε24, где L – полная длина стержня. Согласно определению, относительная деформация ε – безразмерная величина. Соотношение (4.1) справедливо в предположении, что деформация одинакова (равномерна) по длине стержня.

P

u

Рис. 4.1. Растяжение призматического стержня. Удлинение и деформация

При удлинении стержня под действием растягивающего усилия P имеет место деформация растяжения (значение деформации положительное, ε > 0), представляющая собой относительную меру

21Перемещение u(x) характеризует смещение произвольной частицы материала (точки) стержня с координатой x; в рассматриваемом случае – крайней точки на правом конце призматического стержня, то есть для x = L.

22Удлинение характеризует изменение длины всего призматического

стержня как целого, то есть δ = u (x) x=L .

23Греческая строчная буква «дельта».

24Греческая буква «эпсилон».

42

растяжения материала, при которой соседние поперечные сечения стержня удаляются друг от друга. При укорочении стержня под действием сжимающего усилия P возникает деформация сжатия (значение деформации отрицательное, ε < 0), при которой соседние поперечные сечения стержня сближаются.

Для установления локальной связи между перемещением и деформацией рассматривается бесконечно малый элемент призматического стержня длиной dx, правый конец которого получил соответствующее бесконечно малое перемещение du (см. рис. 4.2).

Рис. 4.2. Растяжение призматического стержня. Перемещение

В этом случае деформация определится выражением, аналогичным формуле (4.1):

В предположении, что деформация по длине призматического стержня постоянна, ε = const, из выражения (4.2) следует

du = εdx,

u = εdx + С = xε + С.

Учитывая, что при x = 0 перемещение u = 0, окончательно получается

u = xε,

то есть при равномерном растяжении призматического стержня (то есть постоянной деформации удлинения) в результате растяжения перемещение зависит от продольной координаты линейно.

Таким образом, установлено основное соотношение (геометрическое, иликинематическое) междудеформациейиперемещением(4.2).

43

σyz

σy

σxz

σyy

σxx

y

а б

x

Рис. 5.2. Внешние нагрузки на плоскостях, перпендикулярных осям x и y: а – первая из трех видимых граней; б – вторая грань

Вторая грань перпендикулярна оси y и нагружена внутренним напряжением σy (рис. 5.2, б). Сначала вектор σy раскладывается на составляющую σyy, параллельную оси y (ортогональную плоскости рассматриваемой грани), и составляющую (на рисунке также не обозначена), лежащую в плоскости рассматриваемой грани. Далее эта вторая (безымянная) составляющая раскладывается в плоскости грани на две составляющие σyx и σyz, параллельные осям x и z соответственно.

Третья грань рассматриваемого кубического элемента перпендикулярна оси z и нагружена внутренним напряжением σz (рис. 5.3). Вектор σz раскладывается на составляющую σzz, параллельную оси z (ортогональную плоскости рассматриваемой грани), и составляющую (безымянную), лежащую в плоскости рассматриваемой грани. Далее, как и в предыдущих случаях, безымянная компонента раскладывается в плоскости грани на две составляющие σzx и σzy, параллельные осям x и y соответственно.

45

σzx

Рис. 5.3. Внешняя нагрузка на плоскости, перпендикулярной оси z

На рис. 5.4 приведен окончательный результат разложения векторов напряжения на гранях куба, выделенного из объема произвольно нагруженного объекта. При уменьшении размера выделенного куба до размера материальной частицы (точки) в конечном итоге будет получена объективная локальная (в конкретной точке изучаемого объекта) характеристика механического состояния объекта. Очевидно, что при уменьшении размеров куба площади его граней также уменьшатся, однако это не приведет к изменению величин нагрузок σx, σy и σz, имеющих размерность Н/м2, или Па.

Полученный в результате выполненных действий математический объект из трех векторов напряжений, имеющий при разложении по осям координат девять компонент (рис. 5.4), носит название тензора напряжения. Для удобства представления этот абстрактный математический объект может быть представлен с помощью матрицы размером 3 × 3

46

σxx

Рис. 5.4. Компоненты тензора напряжения

В курсе механики сплошной среды показывается, что в большинстве практически важных случаев эта матрица является симметричной, то есть имеет место равенство компонент: σ xy = σ yx ,

σ yz = σ zy , σxz = σzx , и, следовательно, тензор напряжения содержит только шесть независимых компонент и может быть записан в форме

Из курса линейной алгебры [2] известно, что за счет подходящего преобразования системы координат квадратную матрицу можно привести к диагональному виду

47

В новой системе координат ξηζ26, соответствующей такому преобразованию, все сдвиговые (касательные) компоненты тензора напряжения равны нулю:

σξη = σηξ = 0, σηζ = σζη = 0, σξζ = σζξ = 0,

при этом компоненты σξξ, σηη, σζζ называются главными27 компонентами тензора напряжения. Геометрическая иллюстрация такого преобразования системы координат показана на рис. 5.5.

Рис. 5.5. «Старая» xyz и «новая» ξηζ системы координат

Для выполнения математических преобразований, в частности при получении разрешающих соотношений метода конечных элементов, используется матричная запись компонент тензора напряжения в виде вектора-столбца, при этом учитывается симметрия

26Греческие буквы ξ – «кси», η – «эта», ζ – «дзета» соответственно.

27Встречаются обозначения упорядоченных значений главных напряжений:

σ1 > σ2 > σ3.

48