книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

σ

σпц

ε

Рис. 6.4. Диаграмма упругопластического растяжения призматического стержня

Предел пропорциональности – значение напряжения σпц ха-

рактеризует предельную нагрузку, до которой соблюдается линейная зависимость между напряжением (нагрузкой) и деформацией (удлинением) образца.

Предел упругости – значение напряжения σуп характеризует наибольшее напряжение, при котором материал сохраняет упругие свойства без образования остаточной деформации. Для стали, как и для многих других металлов, значения предела упругости и предела пропорциональности близки. Однако в резиноподобном материале свойство упругости может сохраняться и за пределами пропорциональности.

Предел текучести – значение напряжения σТ характеризует напряжение, при котором материал деформируется без возрастания нагрузки, то есть материал течет, образуя на диаграмме горизон-

тальный участок – площадку текучести.

После этапа текучести материал способен вновь демонстрировать увеличение сопротивления деформации, достигая максимального значения напряжения σВ, называемого пределом прочности (временным сопротивлением) и соответствующего максимальной (предельной) прочности. После этого этапа начинается сужение поперечного сечения образца (образование шейки), сопровождающееся резким падением сопротивления растяжению.

61

Конечная точка – напряжение разрыва – напряжение σк соответствует нагрузке, при которой происходит разрушение (разрыв) образца.

6.5. Ползучесть и релаксация материалов

Ползучестью материала называется процесс нарастания деформации образца при постоянной приложенной нагрузке.

На рис. 6.5 приведены зависимости деформации от времени при процессах упругого (см. рис. 6.5, а) и пластического (см. рис. 6.5, б) последействия (ползучести) в случае постоянного по времени напряжения σ в образце, меньшего предела пропорциональности σпц материала.

Рис. 6.5. Диаграммы ползучести при механическом нагружении призматическогостержнявобластяхупругого(а) ипластического(б)

деформирования материала

В обоих случаях деформация ε = σ/Е, возникшая при нагружении образца напряжением σ, с течением времени увеличивается. При разгрузке «мгновенное» уменьшение деформации ε = –σ/Е, и в дальнейшем деформация уменьшается либо до нуля в случае упругого последействия (см. рис. 6.5, а), либо процесс уменьшения деформа-

ции затухает (см. рис. 6.5, б) при пластическом последействии.

Другое проявление процесса ползучести материала – релаксация напряжения. При выполнении исследования релаксации напря-

62

может быть получена, например, из эксперимента по растяжению (сжатию) цилиндрического образца (см. рис. 3.1, 4.1, 4.2).

Рис. 6.7. Единая кривая упругопластического деформирования

Эта гипотеза предполагает, что при любом виде нагружения материал переходит в пластическое состояние (разрушается), если эквивалентное или расчетное напряжение достигает предела текучести σТ (соответственно, предела прочности σВ).

6.7. Критерии механической прочности

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали, узла или конструкции по известному напряжен- но-деформированному состоянию. Наиболее просто эта задача решается для простых видов деформации, в частности для одноосного напряженного состояния, так как в этом случае значения предельных (опасных) напряжений можно установить экспериментально.

Под опасным понимают напряжение, соответствующее началу разрушения (при хрупком состоянии материала) или появлению остаточных деформаций (в случае перехода материала в состояние пластического течения). Так, испытания образцов из данного материала на простое растяжение или сжатие позволяют без особых трудностей определить значения опасных напряжений σТ и σВ.

По опасным напряжениям устанавливают допускаемые напряжения при растяжении [σ+] или при сжатии [σ–], обеспечивая за-

64

даваемый коэффициент запаса n против наступления предельного состояния: [σ] = σT / n или [σ] = σB / n. Таким образом, условие

прочности для одноосного напряженного состояния принимает вид

σ ≤ [σ+ ] при σ > 0 или σ ≤ [σ− ]при σ < 0.

Более сложным является вопрос оценки прочности материала при сложном напряженном состоянии, когда в каких-либо точках детали, узла или конструкции два или все три главных напряжения σ1, σ2, σ3 не равны 0.

В этих случаях, как показывают опыты, для одного и того же материала опасное состояние может иметь место при различных предельных значениях главных напряжений [σ1], [σ2], [σ3] в зависимости от соотношений между ними. Таким образом, экспериментально установить предельные величины главных напряжений очень сложно не только из-за трудности постановки опытов, но и из-за необходимости большого объема испытаний.

Путь решения задачи оценки прочности заключается в установлении критерия предельного напряженно-деформированного состояния. Для этого вводится гипотеза о преимущественном влиянии на прочность материала того или иного фактора или показателя на- пряженно-деформированного состояния: предполагается, что нарушение прочности материала при любом напряженном состоянии наступит только тогда, когда величина данного показателя достигнет некоторого предельного значения. Предельное значение фактора, определяющего прочность, находится на основании простых опытов на растяжение, сдвиг или кручение.

Введение критерия прочности позволяет сопоставить имеющееся сложное напряженно-деформированное состояние с простым, например с одноосным растяжением, и установить при этом такое эквивалентное (расчетное) напряжение, которое в рассматриваемых случаях дает одинаковый коэффициент запаса прочности.

Под коэффициентом запаса прочности в общем случае напряженного состояния понимают число n, показывающее, во сколько раз нужно одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния σ1, σ2, σ3, чтобы оно стало предельным:

65

nσ1 = [σ1], nσ2 = [σ2], nσ3 = [σ3].

Выбранная указанным образом гипотеза называется механиче-

ской теорией прочности.

6.7.1. Наибольшее нормальное напряжение (1-я теория прочности)

Принимается, что преимущественное влияние на прочность оказывает величина наибольшего нормального напряжения σ1: нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшее нормальное напряжение σ1 достигает опасного значения [σ1]. Последнее устанавливается при простом одноосном растяжении или сжатии на образцах из данного материала.

Критерий наибольшего нормального напряжения из трех главных напряжений учитывает лишь одно – наибольшее, полагая, что два других не влияют на прочность. Опытная проверка показывает, что эта теория прочности не отражает условий перехода материала в пластическое состояние и дает при некоторых напряженных состояниях удовлетворительные результаты лишь для весьма хрупких материалов (например, для камня, кирпича, керамики, инструментальной стали и др.).

6.7.2. Наибольшая деформация (2-я теория прочности)

Предполагается, что в качестве критерия прочности принимается наибольшая по абсолютной величине деформация: нарушение прочности в общем случае напряженного состояния наступает тогда, когда наибольшая деформация εмакс достигает своего опасного значения [ε]. Последнее определяется при простом растяжении или сжатии образцов из данного материала.

Условие разрушения имеет вид

εмакс = [ε],

а условие прочности –

εмакс = [ε]/n.

66

На основе обобщенного закона Гука условие прочности по критерию наибольших деформаций можно записать в напряжениях:

Из опытов простого растяжения, приняв в качестве допустимого напряжения величину σ1 = [σ] и положив σ2 = 0, σ3 = 0, определяют предельное значение для допустимой деформации:

[ε] = [Еσ] .

После подстановки последнего соотношения в предыдущее выражение с учетом критерия наибольшей деформации получается неравенство

σ1 − ν(σ2 + σ3 ) ≤ [σ].

Опытная проверка этой теории указывает на согласующиеся в ряде случаев результаты лишь для хрупкого состояния материала, например для легированного чугуна и высокопрочных сталей после низкого отпуска. Применение второй теории прочности недопустимо для материалов, не следующих закону Гука или находящихся за пределами пропорциональности.

6.7.3. Наибольшее касательное напряжение (3-я теория прочности)

В качестве критерия прочности принимается величина наибольшего касательного напряжения, то есть предельное состояние в общем случае наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение τмакс достигает опасного значения [τ]. Последнее определяется при достижении предельного состояния в опытах на простое растяжение.

Условие разрушения имеет вид

τмакс = [τ],

67

условие прочности –

τмакс = [τ]/n.

Так как

τмакс = 12 (σ1 − σ3 )

и при σ3 = 0

[τ] = 12 [σ],

то через главные напряжения можно выразить условия разрушения

σ1 − σ3 = [σ]

и прочности

σ1 − σ3 = [σ]n .

Третья теория прочности в общем хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает главное напряжение σ2, которое, как показывают опыты, также оказывает некоторое влияние на прочность материала.

Критерий наибольшего касательного напряжения обычно рассматривается как условие начала образования пластических деформаций36: в качестве критерия наступления текучести материала можно принять величину наибольшего касательного напряжения.

6.7.4. Предельная энергия формоизменения (4-я теория прочности)

В качестве критерия прочности принимается количество удельной потенциальной энергии формоизменения Uформ, накопленной деформированным элементом. Согласно определению [31], из-

36 Последние являются результатом скольжения слоев атомов в кристалле по определенным кристаллографическим плоскостям. Это становится возможным в случае, когда на указанных плоскостях скольжения касательные напряжения достигают некоторой предельной величины.

68

менение потенциальной энергии объекта равно работе, совершенной над этим объектом:

Uформ1 − Uформ0 = A .

Элементарная работа по деформированию цилиндрического образца длиной L растягивающим усилием F при перемещении du бесконечно малого элемента толщиной dx

dA = Fdu = F dudx dx = Fεdx .

Полная работа при условии однородности деформации по всей длине образца определяется выражением

A = Fεdx = Fε dx = FεL .

L L

Удельная потенциальная энергия (принимается, что в начальном недеформированном состоянии Uформ0 = 0 )

Uформ = A = FεL = F ε = σε ,

V SL S

то есть удельная потенциальная энергия формоизменения при растяжении цилиндрического стержня равна произведению напряжения σ на деформацию ε. С учетом соотношения закона Гука σ = Eε получается

Uформ = σ2 .

E

Опасное состояние (текучесть) наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает своего предельного значения, которое можно определить в опытах простого растяжения в момент начала текучести. Условие наступления текучести

Uформ = UформТ ,

69

условие прочности –

U Т

Uформ = форм .

n

С учетом предположения, что закон Гука справедлив вплоть до наступления предельного состояния, в случае произвольного на- пряженно-деформированного состояния потенциальная энергия формоизменения имеет вид

Uформ = 13+Еν (σ12 + σ22 + σ32 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3 ).

При простом растяжении в момент начала пластического течения (текучести материала), когда σ1 = σТ, σ2 = σ2 = 0,

Следовательно, условиенаступлениятекучести принимает вид

σ12 + σ22 + σ32 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3 = σТ

и условие прочности записывается в форме

σ12 + σ22 + σ32 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3 ≤ σnТ .

Поскольку подкоренное выражение можно преобразовать:

σ12 + σ22 + σ32 − σ1σ2 − σ2σ3 − σ1σ3 =

=12 (σ12 − 2σ1σ2 + σ22 )+ 12 (σ22 − 2σ2σ3 + σ32 )+ 12 (σ12 − 2σ1σ3 + σ32 ) =

=12 (σ1 − σ2 )2 + 12 (σ2 − σ3 )2 + 12 (σ1 − σ3 )2 ,

70