книги / Несущая способность конструкций в условиях теплосмен

вдоль числовой оси, сгущаются вблизи нулевого значения и, напротив, разрежаются при удалении от него. Понятно, что аналогичная ситуация имеет место и в случае использования большего числа значащих цифр для хранения мантиссы вещественных чисел.

0,1 0,9

Рис. 1.3. Числовая ось и распределение вещественных чисел, представимых на условном одноразрядном компьютере

Поскольку значения всех вещественных чисел ограничены приведенными выше значениями ω и Ω, можно сделать вывод, что на числовой оси вблизи нулевого значения имеется область чисел, которые невозможно представить в ЭВМ в нормализованном виде

(рис. 1.4).

0 ω

Рис. 1.4. Область [0, ω] чисел, которые невозможно хранить

вЭВМ в нормализованном виде

1.3.4.Погрешности округления чисел в ЭВМ

Оценка погрешности результата вычисления арифметического выражения при наличии ошибки в представлении данных может быть выполнена следующим образом. Пусть x – точное (как правило, неизвестное) значение, а x – приближенное значение некоторой величины. Абсолютная погрешность δ представления x приближенным значением x определяется разностью

δ = x − x.

Поскольку точное значение x неизвестно, вводится «верхняя» оценка для погрешности δ ≤ . Определяется величина относи-

тельной погрешности

21

ε= δ x = (x − x)x = 1 − x x.

Вприведенном выражении абсолютная погрешность делится на приближенное значение x , поскольку точное значение величи-

ны x неизвестно.

Поскольку не все вещественные числа можно представить с использованием для записи мантиссы конечного числа двоичных разрядов, хранящиеся в ЭВМ данные являются «округленными». В рассматриваемом случае округлением называется операция замены заданного числа x другим числом x , первые S значащих цифр которого совпадают с соответствующими цифрами исходного числа x,

аначиная с S + 1 разряда содержат нули.

Вописанном варианте округление чисел в ЭВМ выполняется отбрасыванием (для сокращения числа выполняемых операций) «лишних» разрядов, не подлежащих хранению, хотя возможны варианты, при которых в «младший» разряд округленного числа в зависимости от ситуации может добавляться единица.

Например, если x = 0,123 456 789, тогда при сохранении S = 7 значащих (десятичных) цифр округленное число примет значение x = 0,123 456 700. В этом случае модуль погрешности операции ок-

ругления δ = x − x = 0, 000 000 089 < 0,000 000100 = 10−7 , то есть не

превышает единицы (с соответствующим порядком) в младшем сохраненном разряде округленного числа. В рассмотренном при-

мере «верхняя» оценка погрешности округления = 10−7 = 10− S . Для определенности, упрощения и однозначности дальнейше-

го изложения способа представления чисел в ЭВМ принимается p = 10 , 0,1 ≤ a < 1,0 . При таком предположении в представлении

чисел на персональных компьютерах IBM достоверными оказываются 6–7 значащих цифр10 (для хранения вещественного числа используются 4 байта оперативной памяти).

10 При использовании вещественных переменных длиной 8 байт достоверными считаются 15 цифр; 19 цифр – при использовании вещественных переменных длиной 10 байт.

22

При S = 7 округленное число представляется в виде

±0, XXXXXXX 10b , где под символом X понимается любая цифра от 0 до 9. Модуль абсолютной погрешности определяется значением

Для некоторых частных случаев относительная погрешность ε представления вещественных чисел оценивается значениями:

S = 7, ε ≤ 10−6 = 0, 0001 %,

Необходимо подчеркнуть, что для всех чисел, представимых в электронно-вычислительной машине, относительная погреш-

ность одна и та же, что очень существенно для получения оценок погрешностей математических моделей.

1.3.5. «Потеря порядка» и «переполнение» при выполнении арифметических операций

Используются ранее принятые обозначения: ω – наименьшее положительное и Ω – наибольшее положительное числа, представимые в оперативной памяти вычислительного устройства11.

Действительные числа из интервала −ω < x < ω нельзя представить в ЭВМ в нормализованном виде («потеря порядка»). В этом случае приближенное значение числа x в компьютере – x = 0. Но это означает, что имеет место катастрофическая потеря точности арифметических вычислений:

–устойчивость получаемого численного решения относительно возмущения входных данных (в том числе шагов дифференцирования и интегрирования);

–сходимость последовательности численных решений, полученных с различными шагами интегрирования и дифференцирования;

–проверку правильности решения системы уравнений и выполнения начальных и граничных условий, входящих в математическую модель, на известных решениях тестовых задач.

Кроме этого, необходима проверка адекватности результатов вычислительного эксперимента действительному поведению исследуемого объекта, процесса или явления на основе экспериментальных данных.

Пример. На материальную точку с массой m, находящуюся на гладкой горизонтальной поверхности, действует горизонтальная гармоническая сила F (t ) = Asin t. Найти закон движения точки, если

ее начальная скорость v0.

Уравнение, описывающее движение точки, имеет вид

md 22x = Asin t. dt

Вкачестве начальных условий примем

x(0) = 0, v(0) = dxdt(0) = v0 .

Интегрирование исходного уравнения с заданными начальными условиями дает решение

v(t ) = v0 + mA (1− cost );

x(t ) = v0 + mA t − mA sin t,

25

26

2. ВВЕДЕНИЕ В МЕХАНИКУ СПЛОШНОЙ СРЕДЫ

Механика сплошной среды – обширная часть механики, посвященная движению газообразных, жидких и твердых деформируемых тел. В отличие от теоретической механики, изучающей движения материальной точки, систем материальных точек и абсолютно твердых тел, в механике сплошной среды рассматриваются движения таких материальных тел, которые заполняют пространство непрерывно, сплошным образом и расстояния между точками которых во время движения меняются. Иными словами, механика сплошной среды имеет дело с деформируемыми объектами, то есть с жидкостями, газами, твердыми телами и конструкциями.

Помимо обычных материальных тел, подобных воде, воздуху или металлу, в механике сплошной среды рассматриваются также особые среды – поля: электрические, магнитные, температурные, силовые, гравитационные, поля излучений и др.

Многими движениями деформируемых тел возможно управлять, опираясь на повседневный элементарный личный опыт. В сложных случаях, возникающих в инженерной практике, требуется накопление и концентрация обобщенного опыта, специальные методы теоретических и экспериментальных исследований, что в конечном итоге привело к созданию и развитию механики сплошной среды как науки.

2.1. Актуальные проблемы механики сплошной среды

Существует множество прикладных вопросов, на которые можно дать ответы только на основании специальных знаний. Например:

–какова скорость вытекания газа из отверстия в баллоне, в котором газ находится в сжатом состоянии;

–как будет двигаться в атмосфере воздушный циклон;

–как можно снизить воздушное сопротивление автомобиля

исамолета или водяное сопротивление корабля;

27

–как построить здание или телевизионную башню высотой

всотни метров, мост с пролетом между двумя ближайшими опорами более километра;

–что произойдет с увеличением или уменьшением диаметра воздушного винта на самолете;

–что можно сказать о распределении давления и скорости движения воздуха при взрыве бомбы и т.д.?

Существует много вопросов и задач, на которые пока невозможно дать удовлетворительные ответы с помощью известных экспериментальных и теоретических методов. Решение новых сложных

инженерных задач и прикладных проблем, имеющих научное и практическое значение, подготовлено предшествующим развитием науки и составляет в настоящее время предмет научно-исследова- тельской работы.

Примерами актуальных в настоящее время проблем являются следующие:

–снижение сопротивления тел при движении в воде с большими скоростями;

–создание и удержание плазмы с температурой в миллионы градусов;

–выяснение особенностей поведения материалов при больших нагрузках и высоких температурах;

–определение сил, действующих на здания и сооружения при взрывах;

–объяснение общей циркуляции воздуха в атмосфере, построение прогнозов погоды;

–изучение процессов в растениях и живых организмах;

–эволюции звезд, явлений, происходящих на Солнце,

–и многие другие.

Некоторые наиболее существенные разработанные в настоящее время проблемы механики сплошной среды [23]:

1. Воздействие жидкости и газа на движущиеся в них тела; силы, действующие со стороны газа или жидкости на тело, определяются скоростью движения газа или жидкости, их плотностью и вязкостью, формами и размерами взамиодействующих тел. Ввиду этого изучение движения тел непосредственно связано с изучением

28

движения самого газа или жидкости. Стимулом к развитию этой проблемы послужили технические задачи о движении самолетов, вертолетов, дирижаблей, снарядов, ракет, кораблей, подводных лодок; проблемы создания различных водяных и воздушных движителей, винтов и проч.

2. Движение жидкости и газа по трубам внутри различных машин. В этих задачах основное значение отводится законам взаимодействия жидкости с границами потока, в частности сопротивлению подвижных и неподвижных твердых стенок; явлениям неравномерности в распределении скоростей и др. Эти задачи имеют важное значение для проектирования газопроводов, нефтепроводов, насосов, турбин и других гидравлических машин.

3. Фильтрация, то есть движение жидкости сквозь почву и другие пористые среды. Движение воды в почве необходимо учитывать при постройке фундаментов различных сооружений (плотин, опор мостов, гидростанций), при создании подземных туннелей. Большое значение фильтрация имеет в нефтяном деле.

4.Гидростатика, или равновесие жидкостей и тел, плавающих внутри и на поверхности жидкости; равновесие вращающихся масс жидкости под действием сил тяготения.

5.Волновые движения и распространение волн в твердых телах; волны на поверхности морей; вызываемые движением корабля волны в каналах и реках; приливы и сейсмические процессы; звуковые колебания; проблема шума в различных средах. Эти явления играют очень важную роль в нашей жизни и существенны при решении многочисленных технических вопросов.

6.Неустановившиеся движения газов с химическими превращениями при взрывах, детонации и горении, например в потоке воздуха в цилиндрах поршневых машин или камерах реактивных двигателей.

7.Теория турбулентных движений газов и жидкостей, представляющих очень сложные нерегулярные, случайного характера движения. Подавляющее число движений газов и жидкостей в звездах, атмосфере Земли, реках, каналах и трубопроводах, разнообразных гидротехнических сооружениях и машинах имеют турбулентный характер.

29

8.Описание движений очень сильно сжатых жидкостей и газов с учетом усложненных физических свойств сред в таких состояниях, особенно при наличии высоких температур.

9.Метеорология как наука о прогнозе погоды представляет собой изучение движения воздушных масс в атмосфере Земли и является важным разделом механики сплошной среды, тесно связанным с фундаментальной физикой.

10.Значительная часть механики сплошной среды посвящена исследованию движений и равновесий твердых деформируемых тел. Приобретают все большее значение разделы механики, посвященные изучению упругих свойств тел и учету в твердых телах неупругих эффектов, таких как пластичность, связанная с появлением остаточных деформаций; ползучесть, связанная с постепенным нарастанием деформаций при неизменных внешних нагрузках; жаро-

прочность частей машин.

11. Большое значение имеют работы, посвященные задаче о прочности, устойчивости и разрушении конструкций. Эта важнейшая практическая задача до сих пор еще не имеет удовлетвори-

и эмульсий, жидкостей с полимерными добавками. Актуальны проблемы кавитации, характеризующейся образованием и исчезновением в движущейся жидкости пузырьков и больших каверн, наполненных газами и парами жидкости.

2.2. Основные гипотезы

Механика материалов, по определению С.П. Тимошенко12 [28], представляет собой раздел механики сплошной среды, в котором изучается поведение твердых деформируемых тел при различных

12 Тимошенко Степан Прокофьевич (11.12.1878–29.05.1972) – российский и американский ученый-механик, внес значительный вклад в развитие теории упругости. Иностранный член АН СССР, профессор Мичиганского и Стэнфордского университетов, один из основателей Национальной академии наук Украины.

30