книги / Метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация в прикладной математике и механике
..pdfВ.И.Шалашилин
Е.Б.Кузнецов
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЯ РЕШЕНИЯ ПО ПАРАМЕТРУ И НАИЛУЧШАЯ ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ
в прикладной математике и механике
Эдиториал УРСС Москва, 1999
Настоящее издание осуществлено при финансовой г» поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект N° 98-01-14030)
Шалашилин Владимир Иванович, Кузнецов Евгений Борисович.
Метод продолжения решения по параметру и иаилучшая параметризация (в прикладной математике и механике).
М.: Эдиториал УРСС, 1999. — 224 с.
В книге рассмотрено и обосновано применение метода продолжения решения по наилучшему параметру для решения различных классов задач, решениями ко торых являются однопараметрические множества, т. е. кривые. Рассматриваются нелинейные задачи с параметром, задача Коши для обыкновенных дифферен циальных уравнений (ОДУ), в том числе и жестких, интегро-дифференциальных уравнений, дифференциально-алгебраических уравнений. Изучается проблема интерполяции и аппроксимации кривых. Исследуются нелинейные краевые за дачи для ОДУ, а также анализируется построение решения вблизи особых точек.
Книга предназначена для научных работников, аспирантов, инженеров и сту дентов, работающих в областях вычислительной, прикладной математики и ме ханики.
Группа подготовки издания:
Директор — Доминго Марин Рикой Заместители директора — Нвталья Финогенова, Ирина Макеева
Компьютерный дизайн — Виктор Романов, Василий Подобед Верстка — Михаил Кириллов Обработка текста и графики — Наталия Бекетова, Виталий Волков, Елена Ефремова, Наталья Аринчева
Издательство «Эдиториал УРСС». 113208, г. Москва, ул. Чертановская, д. 2/11, ком. прав. Лицензия ЛР №064418 от 24.01.96 г. Подписано к печати 17.03.99 г.
Формат 60x88/16. Тираж 1000 экз. Печ. л. 14. Зак. № 503'
Отпечатано в АООТ «Политех-4». 129110, г. Москва, Б. Переяславская, 46.
ISBN 5—901006—77—1 |
© В. И. Шалашилин, |
|
Е. Б. Кузнецов, 1999 |
|
© Эдиториал УРСС, 1999 |
Содержание |
|
Введение.................................................................................................... |
5 |
Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные |
|
уравнения с нарамётром........................................................... |
7 |
1.1. Две формы метода продолжения решения по параметру . . . . |
7 |
1.2. Проблема выбора параметра продолжения. Смена параметра . |
15 |
1.3. Наилучший параметр продолжения............................................. |
17 |
1.4. Алгоритмы, использующие наилучший параметр продолжения, |
|
и примеры их применения............................................................. |
30 |
а. Явная схема метода Э й лера.................................................. |
31 |
б. Явная схема модифицированного метода Эйлера.............. |
32 |
в. Неявная схема Эйлера ........................................................... |
32 |
г. Неявная схема второго порядка точности............................ |
33 |
1.5. Геометрические представления шаговых процессов................. |
38 |
1.6. Продолжение решения в окрестности существенно особых |
|
то ч е к ................................................................................................. |
46 |
Глава 2. Задача Коши для обыкновенных дифференциальных |
|
уравнений................................................................................ |
50 |
2.1. Задача Коши как задача продолжения решения по параметру . |
50 |
2.2. Некоторые свойства Л-преобразования....................................... |
53 |
2.3. Алгоритмы, программы, примеры ............................................... |
65 |
Глава 3. Жесткие системы обыкновенных дифференциальных |
|
уравнений ................................................................................ |
74 |
3.1. Особенности численного интегрирования жестких систем |
|
ОДУ.............................. |
74 |
3.2. Сингулярно возмущенные уравнения.......................................... |
85 |
3.3. Жесткие системы............................................................................. |
94 |
3.4. Жесткие уравнения в частных производных............................... |
102 |
Глава 4. Дифференциально-алгебраические уравнения...................... |
104 |
4.1. Классификация систем ДАУ.......................................................... |
104 |
4.2. Наилучший аргумент системы |
|
дифференциально-алгебраических уравнений............................ |
109 |
4.3.Явно заданные дифференциально-алгебраические уравнения . 112
4.4.Неявно заданные обыкновенные дифференциальные
уравнения........................................................................................ |
116 |
4.5. Неявно заданные дифференциально-алгебраические |
|
уравнения................ |
124 |
4 |
Содержание |
Глава 5. Функционально-дифференциальные уравнения.................... |
141 |
5.1. Задача Коши для дифференциальных уравнений |
141 |
с запаздывающим аргументом........................................................ |
|
5.2. Задача Коши для интегро-дифференциапьных уравнений |
|
Вольтерра......................................................................................... |
147 |
Глава 6. Параметрическое приближение............................................. |
151 |
6.1. Параметрическая интерполяция.................................................. |
152 |
6.2. Параметрическая аппроксимация............................................... |
159 |
6.3. Непрерывное приближение........................................................... |
163 |
Глава 7. Нелинейные краевые задачи для обыкновенных |
166 |
дифференциальных уравнений................................................ |
|
7.1. Уравнения продолжения решения для нелинейных одномерных |
|
краевых задач................................................................................... |
167 |
7.2. Дискретная ортогональная прогонка............................................. |
174 |
7.3.Алгоритмы непрерывного и дискретного продолжения по параметру решения нелинейных одномерных краевых задач. 181
7.4. Пример: большие прогибы круговой а р к и .................................. |
189 |
Глава 8. Продолжение решения в особых точках............................... |
196 |
8.1. Классификация особых точек........................................................ |
196 |
8.2. Простейшая форма уравнений разветвления............................... |
201 |
8.3. Простейший случай ветвления (rank(J°) = n - I ) ....................... |
207 |
8.4. Случай ветвления, когда rank(J°) = n - 2 .................................... |
210 |
Литература ................................................................................................ |
217 |
Введение
С момента выхода в свет первой книги (Э. И. Григолюк, В. И. Шалашилин. Проблемы нелинейного деформирования. М.: Наука, 1988), в которой были систематически изложены основы метода продолжения решения по параметру, прошло десять лет. За это время существенно расширилось понимание возможностей метода. Если раньше он рассма тривался как метод построения множества решений нелинейных задач с параметром, то теперь наступило понимание, что алгоритм продолже ния по параметру может быть эффективно использован для построения любых однопараметрических множеств. Это существенно расширило круг задач, к которым метод может быть с успехом применен.
Простейшим из таких множеств является кривая, которая может быть решением самых разных задач, в частности, задачи Коши для обык новенных дифференциальных уравнений (ОДУ), задачи интерполяции и аппроксимации кривых и т.п. Исследования в этом направлении привели к очень интересным результатам, главным из которых являет ся осознание и доказательство того факта, что наилучшим параметром продолжения решения является длина дуги, вычисляемая вдоль кривой, которая этим решением является.
Реализация продолжения решения с использованием такого наилуч шего параметра названа нами наилучшей параметризацией и рассмотрена для различных классов задач: в главе 1 для нелинейных задач с параме тром, в главах 2, 3 для начальных задач для ОДУ, в том числе и жестких, в главах 4, 5 для дифференциально-алгебраических и функционально дифференциальных уравнений.
Одним из удивительных для нас самих результатов оказалось то, что в задаче Коши для нормальной формы ОДУ переход к наилучшему параметру осуществляется с помощью аналитического преобразования, названного нами Л-преобразованием.
Другим результатом, рассмотренном в главе б, который хотелось бы отметить, является разработка общего подхода использования наилучше го параметра в задачах параметрического приближения.
В главе 7 рассмотрена возможность использования продолжения по параметру при построении более сложных однопараметрических множеств — множеств решений нелинейных краевых задач для ОДУ с параметром.
И, наконец, в главе 8 продолжение по наилучшему параметру ис пользовано для продолжения решения в окрестности особых точек.
6 |
Введение |
|
Авторы благодарны Н. С. Бахвалову и Г. М. Кобелькову за внима |
тельное и благожелательное обсуждение результатов, а также В. А. Треногину и В. В. Дикусару, взявших на себя труд внимательно ознакомиться с рукописью и высказавших ряд очень полезных замечаний. Нельзя также забыть о поддержке на всех этапах работы, которую оказал безвременно ушедший В. В Поспелов.
Основные научные результаты, представленные в монографии, полу чены при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (шифр проекта №97-01-00091) и Минобразования (шифр проекта №97-0-1.8-90).
Глава 1
Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения с параметром
Множества, непрерывно зависящие от одного параметра и диффе ренцируемые по этому параметру, являются решением многих типовых математических задач. Простейший пример такого множества — это непрерывная и гладкая кривая в многомерном пространстве. Она может быть решением системы нелинейных уравнений с параметром, инте гральной кривой задачи Коши для системы обыкновенных дифферен циальных уравнений (ОДУ), интерполирующей или аппроксимирующей кривой и т. д.
В этой главе мы рассмотрим процесс построения кривой как ре шение системы нелинейных уравнений, содержащих параметр. Это позволит нам не только наглядно продемонстрировать идею и метод продолжения решения по параметру, но и сохранить историческую пре емственность, поскольку сам этот метод был впервые сформулирован как раз для таких задач. Более сложным примером непрерывного и диф ференцируемого однопараметрического множества является множество решений краевой задачи для системы ОДУ с параметром. Он будет рассмотрен в седьмой главе.
I .I . Две формы метода продолжения решения по параметру
Рассмотрим систему из п нелинейных алгебраических или транс цендентных уравнений относительно п неизвестных х \,х2, ... ,х„, со держащую параметр р. В п-мерном евклидовом пространстве К" эту
систему можно представить в форме |
|
F(x,p) = 0. |
(1.1) |
Здесь х = (xi,х2, . . . , х п)т — вектор, a F = (F\,F2, . . . , F nf |
— |
вектор-функция в пространстве К". |
|
Нас будет интересовать поведение решения системы (1.1) при из менении параметра р. Пусть для некоторого значения р = ро известно
8 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
решение ®(0) = 0е1(0). *2(0). • • •»*п(0)) уравнения (1.1), т.е.
•Р(®(0). Ро) = 0. |
(1.2) |
Введем пространство Rn+1 : {®, р}, дополнив пространство К" коор динатной осью, по которой будет отсчитываться параметр р. Рассмотрим
окрестность U точки (®(о), Ро) € RB+I в виде прямоугольного паралле лепипеда с центром в точке (я(о)> Ро)- Свойства решений системы (1.1) в этой окрестности устанавливает известная теорема о неявных функ циях (см., например, [61]). В ней доказывается, что если выполнены
следующие условия: |
|
1) вектор-функция F (т.е. все ее компоненты Р), * = |
1,п) определена |
и непрерывна в U; |
___ |
2)в U существуют непрерывные частные производные от Р) (* = 1, п) по всем аргументам ®< (»' = 1, п) и параметру р;
3)уравнение (1.1) удовлетворяется в точке (®(о),Ро)> т.е. выполняется равенство (1.2);
4)в точке (i(o),Po) отличен от нуля якобиан det(J) вектор-функции F, матрица которого является матрицей Якоби и имеет вид
|
|
|
|
|
■dF{ dFi |
|
dFi' |
|
|
||
|
|
|
|
|
дх\ |
дх2 |
дхп |
|
|
||
J = 6F = d(Fj........Fn) = |
Г0РП |
= |
dF2 OF2 |
8F2 |
|
|
|||||
д Х \ |
дх2 |
дхп |
, |
(1-3) |
|||||||
дх |
б (* |,...,® в) |
L ^ J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дК |
д к |
, |
д к |
|
|
|
|
|
|
|
|
. д х \ |
дх2 |
|
д х п . |
|
|
|
|
|
i,j = |
l,n, |
|
|
|
|
|
|
||
то в некоторой окрестности точки (®(o),tро) решение |
X i |
(i |
= |
Vn) |
|||||||
системы (1.1) задается однозначными непрерывными функциями р |
|
||||||||||
|
®< = ®,(р), |
* = |
1,п |
|
|
|
|
|
(1.4) |
||
такими, что ®,-(ро) = ®j(o) (*' = |
1,» ) |
и |
производные |
dxtfdp |
(i = |
l,n ) |
также непрерывны в этой окрестности.
Таким образом, теорема о неявных функциях устанавливает, что при выполнении условий 1-4 решение системы (1.1) в некоторой окрестности точки (®(о)>Ро) образует единственную гладкую кривую К,
которая имеет параметрическое представление (1.4) и проходит через точку (®(0),Ро)-
1.1. Две формы метода продолжения решения по параметру |
9 |
Чтобы получить теперь решение Х(ц системы (1.1) |
при близком |
к ро значении р\, мы можем продвинуться вдоль кривой К . При этом, конечно, точка (x ^ ,p i) должна находиться внутри некоторой окрест
ности точки (ж(о), Ро)- Иными словами, мы можем из точки (®(о)>Ро) однозначно продолжить решение в пределах некоторой ее окрестности. Если условия 1-4 выполняются в окрестности точки то ре шение снова можно продолжить и т.д. Таким образом, условия 1-4 достаточны для того, чтобы решение системы (1.1) образовывало в про странстве Кп+| непрерывную гладкую кривую К. А это позволяет получить решение (х^,р*), двигаясь вдоль этой кривой от известного решения (х(0),Ро)> как это показано на рис. 1.1 для случая трехмерного
пространства К3 : {х[,Х2,р}. Этот процесс как раз и реализует метод продолжения решения по параметру.
Условия 1-3 не слишком ограничительны и выполняются в боль шинстве прикладных задач. Точки, в которых выполняются также и усло вие 4, т. е. det(J) Ф 0, будем называть регулярными, а точки, в которых det(J) = 0, назовем особыми. Как будет видно в дальнейшем, в осо бых точках возможность продолжения решения обычно сохраняется, но само продолжение может оказаться неоднозначным, т. е. появляется возможность разветвления кривой К множества решений системы (1.1).
Сама идея продолжения решения известна и используется в ма тематике и механике давно. Достаточно заметить, что именно она, по существу, лежит в основе известного метода возмущений (метода
10 Глава 1. Нелинейные алгебраические или трансцендентные уравнения
малого параметра), первые применения которого восходят к работвм У. Леверье (1886 г.) и А. Пуанкаре (1892 г.).
Эта идея также неоднократно использовалась для доказательства существования решений нелинейных уравнений. Схема такого доказа тельства обычно следующая: в исходное нелинейное уравнение вводится параметр р так, чтобы при начальном значении параметра, например, при р = ро, решение уравнения было известно, а при р — Ръ урав нение обращалось в исходное. В этом случае вопрос о существовании решения исходного уравнения сводится к существованию непрерыв ной кривой К. Обзор работ математического характера с подобным применением идеи продолжения решения дан в [91]. В теории пла стин конечного прогиба такой способ доказательства успешно приме нил Н. Ф. Морозов [42, 43, 44, 45, 46]. Он ввел параметр р в виде множителя при нелинейных частях операторов уравнений Феппля— Кармана и доказал топологическую гомотопность операторов уравнений при р = 0 и р = 1. Таким образом, параметр р использован для по строения непрерывного топологического преобразования от линейных операторов, соответствующих уравнениям Жармен—Лагранжа и плоской задачи теории упругости (р = 0), к нелинейным операторам уравнений Феппля—Кармана (р = 1).
Первое использование идеи продолжения в вычислительных целях принадлежит, по-видимому, М. Лаэю [103] (1934 г.). Он ввел в транс цендентное уравнение Н(х) = 0 параметр р и, таким образом, свел его к уравнению вида (1.1). Причем параметр был введен так, чтобы
при р = ро = 0 |
можно было легко получить |
решение |
= ®(ро). |
а при р = р* = |
1 уравнение обратилось бы в |
исходное. |
Продвигаясь |
по последовательности значений параметра ро < Pi < Р2 < ••• < Pk> М. Лаэй предложил строить решение для каждого р,- (» = 1, к) методом Ньютона—Рафсона, использую решение для предыдущих значений р,_| в качестве начального приближения.
Формулируя свой процесс, М. Лаэй ставил задачу решить централь ную для метода Ньютона—Рафсона (а равно и для любого итерационного метода) проблему выбора начального приближения, которое должно быть выбрано достаточно близким к искомому решению. Действительно, если на кривой К множества решений уравнения (1.1) нет особых точек, то всегда можно выбрать шаг движения по параметру р таким малым, чтобы искомое на г-м шаге решение x(pfi и его начальное приближе ние ®(p,-_i) были достаточно близки друг к другу, и условия сходимости метода Ньютона—Рафсона по выбору начального приближения были обеспечены. Эго следует из непрерывности и гладкости кривой К. Позднее в работе [104] М. Лаэй распространил этот подход на системы уравнений.