книги / Сборник задач по аналитической геометрии

ектория некоторой точки М окружности этого круга называется ц и к л о и д о й (рис. 34). Вывести параметрические уравнения ци­ клоиды, принимая в качестве параметра t угол, на который пово­ рачивается катящаяся окружность вокруг своего центра; считать при этом, что в начальный мо­ мент (t = 0) точка М находится в начале координат. Исключить параметр t из полученных урав­

нений.

ки М окружности катящегося круга называется э п и ц и к л о и д о й (рис. 36). Вывести параметрические уравнения эпициклоиды, вы­ бирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с по­ движной; считать при этом, что в начальный момент (t = 0)

точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида

радиуса неподвижной окружности, проведенного в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что астроида (см. задачу 712) есть частный вид гипоциклоиды.

Ча с т ь вторая

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ

Г л а в а ш е с т а я

Н Е К О Т О Р Ы Е П Р О С Т Е Й Ш И Е ЗА Д А Ч И А Н А Л И Т И Ч Е С К О Й Г Е О М Е Т Р И И В П Р О С Т Р А Н С Т В Е

§ 27. Д ек ар то вы прямоугольны е координаты в пространстве

Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трех пересекающихся в од­ ной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо по­ рядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — коорди­ натными осями. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья— осью апликат.

Начало координат обозначается буквой О, координатные оси— соответствен­ но символами Ox, Оу, Oz.

Пусть М — произвольная точка пространства, Мх, Му и Л/2 — ее проекции на координатные оси (рис. 38).

Координатами точки М в заданной системе называются числа

х = ОМх, у = ОМу, z = OMs

§28] РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ ДВУМЯ ТОЧКАМИ 95

Координаты х, у, z точки М , которая делит отрезок М\Л/г, ограниченный точками М\ ( ц ; I/L; 21) и М2 (12 ; У2 ] 22), в отношении Л, определяются по фор­

мулам

730 . Определить, есть ли тупой угол среди внутренних углов треугольника с вершинами M i(4; - 1 ; 4), Мг(0; 7; -4 ), Мз(3; 1; -2 ).

731. Доказать, что внутренние углы треугольника М (3; - 2; 5), N (—2; 1; - 3 ) , Р ( 5; 1; - 1) острые.

732. На оси абсцисс найти точку, расстояние от которой до

734 . Найти центр С и радиус R шаровой поверхности, ко­ торая проходит через точку Р (4; —1; —1) и касается всех трех

Определить две другие вершины этого параллелограмма.

739. Даны три вершины А (3; —4; 7), В (—5; 3; —2) и С (1; 2; - 3 ) параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину В , про­ тивоположную В .

740. Даны три вершины А {3; —1; 2), В (1; 2; - 4 ) и < 7(-1; 1; 2) параллелограмма ABCD . Найти его четвертую вершину В .

96 ЗАДАЧИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ [Гл. 6

742. Определить координаты концов отрезка, который точками

С ( —4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

744. Даны вершины треугольника А ( 1; - 1; —3), В ( 2; 1; —2) и С (—5; 2; —6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

Г л а в а с е д ь м а я В Е К Т О Р Н А Я А Л Г Е Б Р А

§ 29. П онятие вектор а. П роекция вектора

Направленные отрезки принято называть также геометрическими вектора­ ми или просто векторами. Вектор как направленный отрезок мы будем попрежнему записывать в тексте двумя большими латинскими буквами с общей чертой наверху при условии, что первая из них обозначает начало, вторая — конец вектора. Наряду с этим мы будем также обо­ значать вектор одной малой латинской буквой по­ лужирного шрифта, которая на чертежах ставится у конца стрелки, изображающей вектор (см. рис. 40,

где изображен вектор а с началом А и концом В). А

Начало вектора часто будет называться также его точкой приложения.

Векторы называются равными, если они имеют одинаковые длины, лежат на параллельных прямых или на одной прямой и направлены в одну сторону.

Число, равное длине вектора (при заданном масштабе), называется его мо­ дулем. Модуль вектора а обозначается символом |о |или а. Если |а |= 1, то

вектор а называется единичным.

Единичный вектор, имеющий одинаковое направление с данным вектором а, называется ортом вектора а и обозначается обычно символом о0.

Проекцией вектора АВ на ось и называется число, равное величине отрезка AiBi оси и, где точка А\ является проекцией точки А на ось и, а В\ — проек­ цией точки В на эту ось.

Проекция вектора АВ на ось и обозначается символом npu АВ. Если вектор обозначен символом а, то его проекцию на ось и принято обозначать: при а.

Проекция вектора а на ось и выражается через его модуль и угол <рнаклона

Проекции произвольного вектора а на оси некоторой заданной системы ко­ ординат в дальнейшем обозначаются буквами Л', У, Z. Равенство

а = {X ; У; Z)

означает, что числа X , У, Z являются проекциями вектора на координатные оси. Вектор, для которого X = У = Z = 0, называется нулевым и обозначается 0.

Проекции вектора на координатные оси называют также его (декартовыми) координатами. Если даны две точки М\ (хи yw zi) и М2 (хг; У2 \ «г), являю­ щиеся соответственно началом и концом вектора о, то его координаты X, У, Z

определяются по формулам

X = х2 - X I, У = У2 - 2 /1 > Z — z2 - z \ .

Отсюда и из формулы (2) следует, что

cos2 а + cos2 0 + cos2 7 = 1.

Последнее равенство позволяет определить один из углов а , 0 , 7 , если известны

два других.

750. Д аны точки А (3; —1; 2) и В ( —1; 2; 1). Найти координаты векторов АВ и ВА.

751. Определить точку N, с которой совпадает конец вектора

7 56 . Может ли вектор составлять с координатными осями сле­

3)a = 150°, 7 = 30°?

759 . Вектор а составляет с координатными осями Ох и Оу углы а = 60°, 0 = 120°. Вычислить его координаты при условии, что |а |= 2.

760 . Определить координаты точки М , если ее радиус-вектор составляет с координатными осями одинаковые углы и его модуль равен 3.

§ 30. Линейные операции над векторами

Суммой а + Ь двух векторов а и Ь называется вектор, который идет из на­ чала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор Ь приложен к концу вектора а (правило треугольника). Построение суммы а + Ь изображено на рис. 42.

п р ав и л о м п а р а л л е л о г р а м м а : если векторы а и b приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма а + Ь есть вектор, совпа­ дающий с диагональю этого параллелограмма, идущей из общего начала о и Ь (рис. 43). Отсюда сразу следует, что а + b = b + а.

Сложение многих векторов производится при по­ мощи последовательного применения правила тре­ угольника (см. рис. 44, где изображено построение суммы четырех векторов a, b, с, d).

Разностью а —Ь двух векторов а и 6 называет­

ся вектор, который в сумме с вектором Ьсоставляет вектор а. Если два вектора an b приведены к обще­ му началу, то разность их а —b есть вектор, идущий из конца Ь («вычитаемого») к концу а («уменьша­ емого»). Два вектора равной длины, лежащие на одной прямой и направленные в противоположные

стороны, называются взаимно обратными: если один из них обозначен симво­ лом о, то другой обозначается символом - о . Легко видеть, что а-Ъ = а + ( - Ь ) . Таким образом, построение разности равносильно прибавлению к «уменьшае­ мому» вектора, обратного «вычитаемому».

Произведением а о (или также а а ) вектора а на число а называется вектор, модуль которого равен произведению модуля вектора а на модуль числа а; он параллелен вектору а или лежит с ним на одной прямой и направлен так же, как вектор в, если а — число положительное, и противоположно вектору о, если а — число отрицательное.

Сложение векторов и умножение вектора на число называются линейными операциями над векторами.

100 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [Гл. 7

Имеют место следующие две основные теоремы о проекциях векторов:

1. Проекция суммы векторов на какую-нибудь ось равна сумме их проекций

на эту же ось:

при (oi + 02 + . . . + On) = при Oi + при 02 + . .. + При On.

Если о = {X] У; Z), то для любого числа a

a a = {a A ; аУ ; a Z ) .

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называ­ ются коллинеарными. Признаком коллинеарности двух векторов

Тройка векторов г, j, к называется координатным базисом, если эти векторы

Каким бы ни был вектор а, он всегда может быть разложен по базису г, j, к,

т.е. может быть представлен в виде

а= X i + Y j + Zk\