Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Сборник задач по аналитической геометрии

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.11.2023

Размер:

8.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

§30]

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

101

767 . Какому условию должны удовлетворять векторы о и 6,

чтобы имели место следующие соотношения:

1) |а + 6 |= | а - 6 |;

2) |а + 6 | > | а - 6 |; 3) |а + 6 1< |а - 6 |.

768. Какому условию должны удовлетворять векторы о и 6,

чтобы вектор

а + Ь делил пополам угол между векторами а и 6.

769 . По данным векторам а и 6 построить каждый из следу

ющих векторов:

1) Зо;

- | б ;

3) 2а +

| 6;

4) \ а -

36.

770 . В

треугольнике

А ВС вектор АВ =

т и вектор

АС =

п.

Построить каждый из следующих векторов:

—

;

2) ~ J п ;

— 2 т ;

— —Y

~ •

Принимая в

качестве

масштабной

единицы

11 п |,

построить

также

векторы:

\п\т + \m\ n\

6) |п |т - |т |п.

771 . Точка О является центром масс треугольника АВС. До

казать,

что ОА + ОВ + ОС = 0 .

772. В

правильном

пятиугольнике ABCD E заданы

векторы,

совпадающие

его сторонами:

АВ = т ,

ВС =

CD =

р,

D E

и В А

= г.

Построить

векторы:

1) m - n + p - g + r;

2) m + 2p + | r;

3) 2т +

| п -

Зр - q + 2r.

773 . В параллелепипеде A BCDА'В'C'D'

—

(рис. 45) заданы векторы, совпадающие с

его

ребрами: АВ = m ,

A.D = п

и АЛ' = р.

Построить каждый из следующих векторов:

-------

1) m + n + p ;

2)т п + п + | р ;

3) | m + | n + p ;

------- т *вy

4) m + n - p ; 5) - m - n + | p .

т в_

Рис. 45

774. Три силы М , N и Р , приложенные

Рис* 45

к одной точке, имеют взаимно перпендику

лярные

направления.

Определить

величину их

равнодействую

щей

В ,

если

известно,

что

|М |= 2 Н, |N |= 10 Н и |Р |= 11Н.


775 . Даны два вектора а		= {3; —2; 6} и 6 = { —2; 1; 0}.					Опреде
лить проекции на координатные оси следующих векторов:							1) а + 6;
2) а - 6; 3) 2а;	4) - \| б ;	5) 2 а + 36;		6) \|	а	- 6.
776. Проверить	коллинеарность		векторов		а	= {2; - 1 ; 3}		и
6 = { - 6; 3; - 9 } .	Установить, какой		из	них	длиннее другого			и

во сколько раз, как они направлены— в одну или в противопо

ложные стороны.							0
777 . Определить,		при	каких	значениях а ,				векторы а	=
= - 2г + 3j + 0 к и 6 = аг - 6j + 2к					коллинеарны.
778. Проверить,		что	четыре	точки		А (3; —1; 2), В (1 ; 2 ;- 1 ) ,
С ( - 1; 1; - 3 ) ,	D (3; - 5 ; 3)		служат	вершинами трапеции.
779. Даны	точки	А ( —1; 5; —10),			В ( 5 ; - 7 ; 8),			С ( 2 ;2 ;- 7 )	и
D (5; —4; 2).	Проверить,		что векторы			АВ и	CD коллинеарны;

102 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [Гл. 7

установить, какой из них длиннее другого и во сколько раз, как они направлены— в одну или в противоположные стороны.

780. Найти	орт вектора а = { 6; - 2 ;	- 3 } .
781. Найти орт вектора а = {3; 4; —12}.					а
782. Определить модули суммы и		разности	векторов			= {3;
- 5 ; 8} и 6 = { - 1 ; 1; - 4 } .			г, j>	к: с	=
783. Дано разложение вектора с по базису						16г -
- 1 5 j + 12 fc.	Определить разложение	по этому ж е		базису		век

тора d, параллельного вектору с и противоположного с ним направления, при условии, что |d |= 75.

784. Д ва вектора а = {2; - 3 ; 6} и Ъ — { - 1 ; 2; - 2} приложены к одной точке. Определить координаты вектора с, направленного

по биссектрисе угла между векторами а и 6			, при	условии, что
\|с\| = Зл/42.	___	___
785 . Векторы	А В = { 2; 6; - 4 }	и АС = {4; 2	; - 2}	совпадают со

сторонами треугольника А ВС . Определить координаты векторов, приложенных к вершинам треугольника и совпадающих с его медианами AM, B N , С Р .

786. Доказать, что если р и q — какие угодно неколлинеарные векторы, то всякий вектор, лежащий в их плоскости, может быть

представлен в		виде	а	=	а р + (3q. Доказать,		что числа	а и (3
однозначно	определяются				векторами а, р	и	q. (Представление
вектора а в виде а			=	а р	+ (3q называется	разложением		его по
базису р,	д;	числа	а	и	/3 называются коэффициентами			этого
разложения.)
Д о к а з а т е л ь с т в о				Приведем векторы а, р и q к общему началу, кото

рое обозначим буквой О (рис. 46). Конец вектора а обозначим буквой А. Через точку А проведем прямую, параллельную векто ру д. Точку пересечения этой прямой с линией действия вектора р обозначим через Ар. Ана логично, проводя через точку А прямую, парал лельную вектору р, получим в пересечении с ли нией действия вектора q точку Aq.

По правилу параллелограмма получим
А = ОА = ОАр + ОАч.	(1)

Так как векторы ОАр и р лежат на одной прямой, то вектор ОАр может быть получен умножением вектора р на некоторое число а:

ОАр = ар.	(2)
Аналогично
ОАр =(Зд.	(3 ) *)

*) Задачи 786 и 792 существенны для правильного понимания остальных задач. Решение первой из них здесь приводится полностью.

§30]	ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ	103
Из равенств (1),	(2) и (3) получаем а = ар + 0q. Тем самым возможность

требуемого разложения доказана. Остается доказать, что коэффициенты а и 0 этого разложения определяются однозначно.

Предположим, что вектор а имеет два разложения:
a = ap + 0q, o =	a'p + /J'g
и, например, а.' ф а. Вычитая почленно одно из другого, получаем
(a ' - а )р + (0' - 0) q = 0	или р = ё-ZJL д.
	а —а

Но это равенство означает коллинеарность векторов р и q%которые, однако, по условию являются неколлинеарными. Следовательно, неравенство а1 Ф а невозможно. Аналогично доказывается, что невозможно неравенство 0' ф 0. Таким образом, а' = а, 0' = 0, т. е. двух различных разложений один и тот же

вектор иметь не может.
787	. На плоскости даны два вектора		р = { 2; - 3 } ,		q = { 1; 2}.
Найти разложение вектора а = {9; 4} по базису р, q.
788	. На плоскости даны три вектора		а = {3; - 2 } ,		Ь = { - 2 ; 1}
и с =	{7; —4}.	Определить разложение каждого		из	этих трех
векторов, принимая в качестве базиса два других.
789	. Даны три	вектора а = {3; - 1 } ,	b = {1; - 2 } ,	с = { - 1 ; 7}.

Определить разложение вектора р = а + Ь + с по базису _а^ Ь. 790. Принимая в качестве базиса векторы АВ = Ь и АС = с,

совпадающие со сторонами треугольника А ВС , определить раз ложение векторов, приложенных в вершинах треугольника и со

впадающих с его медианами.						А (1; —2), В ( 2; 1),
791. На	плоскости	даны	четыре точки
С (3; 2) и	D (—2; 3). Определить			разложение		векторов AD, BD ,
CD и AD + BD + CD, принимая в					качестве базиса векторы АВ
и АС.			q		г — какие
792. Доказать, что		если р,		и		угодно некомпла

нарные векторы*), то всякий вектор а пространства может быть представлен в виде a = a p + Pq + j r . Доказать, что числа а, (3, 7 однозначно определяются векторами a, р, q и г. (Представление

вектора а в виде		а = а р + f3q + у г				называется разложением его
по базису р, q, г.		Числа а, /3 и у			называются коэффициентами
этого разложения.)							q	=
793. Даны	три	вектора р		=	{3; - 2 ; 1},				{ - 1 ; 1; - 2 } ,
г = { 2; 1; - 3 } .	Найти разложение					вектора с	=	{11; - 6; 5} по
базису р, д, г.
794. Даны	четыре		вектора	а	=	{2; 1; 0 },	b	=	{1; - 1 ; 2},
с = {2; 2; —1}	и	d =	{3; 7; - 7 } .		Определить		разложение каж

дого из этих четырех векторов, принимая в качестве базиса три остальных.

*> Три вектора называются некомпланарными, если после приведения к об щему началу они не лежат в одной плоскости.

104 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [Пл. 7

§ 31. Скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произ ведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

Скалярное произведение векторов а, Ъ обозначается символом аЪ (порядок записи сомножителей безразличен, т. е. ab = Ъа).

Если угол между векторами а, b обозначить через <р, то их скалярное про

изведение можно выразить формулой
ab = \|а \|•\|Ъ\|•cosy).		( 1)
Скалярное произведение векторов а, Ь можно выразить также формулой
ab = \|a\|<npob\| или	аЬ = \|6 \|-прьа.
Из формулы (1) следует, что аЬ > 0, если tp— острый угол, ab <		0, если
<р— тупой угол; аЬ = 0 в том и только	в том случае, когда векторы	а и Ь
перпендикулярны (в частности, аЬ = 0, если а = 0 или Ь = 0).

Скалярное произведение аа называется скалярным квадратом вектора и обо значается символом а 2. Из формулы (1) следует, что скалярный квадрат век тора равен квадрату его модуля:

а ? = \а \2 .

Если векторы а и b заданы своими координатами:

a = {X y ,Y l ] Z1}, b = {X 2;Y 2 -,Z2},

то их скалярное произведение может быть вычислено по формуле

ab = X 1X 2 + Y1Y2 + ZI Z2.

Отсюда следует необходимое и достаточное условие перпендикулярности век торов:

X I X 2 + YXY2 + ZI Z2 = 0 .

Угол <р между векторами

a = { X i ; Ух; Z i} и Ь = {Х 2; Y2; Z2)

дается формулой cos <р = [ а р*[ь] »или в к00РДинатах

X!X2 + YI Y2 + Z!Z2

COS if =

/xf + yf + Zf ^ X l + Y * + Z l

Проекция произвольного вектора 5 = {Х\ Y\ Z) на какую-нибудь ось и опре деляется формулой

прUS = 5е,

где е — единичный вектор, направленный по оси и. Если даны углы а, /3, 7 , которые ось и составляет с координатными осями, то е = {cos a ; cos /9; cos 7 } и

для вычисления проекции вектора 5 может служить формула

п р„5 — X cos а + Y cosР + Z COS7 .


§31]	СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ						105
795 . Векторы	а и 6 образуют угол </? = 27г/3; зная, что \|а \|= 3,
\|6 \| = 4, вычислить:		1)	аб;	2)	а 2;	3) 62;	4) (а + 6)2>
5) ( З а - 2 6 ) ( а + 26);		6)	(а -	6)2;	7 ) ( 3 а	+ 26)2.
796. Векторы	а и 6 взаимно перпендикулярны; вектор с обра

зует с ними углы, равные 7г/3; зная, что |а |= 3, |6 1= 5, |с |= 8,

вычислить: 1) (З а - 2 6 )		(6 + Зс);		2) ( а + 6 + с)2; 3) (а + 2 6	- З с ) 2.
797 . Доказать	справедливость тождества (а + 6)2 + (а —6)2 =
= 2 (а2 + 62) и выяснить его			геометрический смысл.
7 98 . Доказать,	что	—ab ^	об	^ аб; в каких случаях	здесь

может иметь место знак равенства?

799. Считая, что каждый из векторов а, 6, с отличен от нуля, установить, при каком их взаимном расположении справедливо

равенство (аб) с — а (6с).								6 и с, удовлетворяющие
8 0 0 . Даны	единичные векторы						а,
условию а + 6 + с = 0. Вычислить							аб + 6с + са.
80 1 . Даны	векторы			а,	б и с ,			удовлетворяющие	условию
а + 6 + с =	0.	Зная,		что	\|а \| =		3,	\|6 1 = 1 и \|с\| =	4,	вычи
слить аб + 6с +		са.
802 . Векторы а, 6, с попарно						образуют друг с другом				углы,
каждый из которых			равен		60°.	Зная, что [а\| = 4, \|6 \|= 2 и
\|с \|= 6, определить			модуль вектора р = а + 6 + с.
803. Дано, что \|а \|= 3, \|6 \|= 5.							Определить, при каком значе
нии а векторы		а + аб ,		а -	аб будут взаимно перпендикулярны.

804 . Какому условию должны удовлетворять векторы а и 6,

чтобы вектор а + 6 был перпендикулярен к вектору										а —6.
805. Доказать,		что		вектор	р =	6 (ас) -		с (аб)	перпендикулярен
к вектору а.
806 . Доказать,		что		вектор	р	=	6 -	перпендикулярен к
вектору	а.			___		___
807. Даны векторы				А В =	6 и АС = с, совпадающие со сто
ронами	треугольника			АВС.	Найти		разложение		вектора, прило
женного	к вершине		В	этого треугольника и совпадающего с его
высотой BD по базису 6, с.
808 . Векторы		а	и	6 образуют			угол	у? =	я/6;	зная, что

|а |= >/У, |6 |= 1, вычислить угол а между векторами р = а + 6 и q = а — 6.

809. Вычислить тупой угол, образованный медианами, прове денными из вершин острых углов равнобедренного прямоугольно го треугольника.

810 . Определить геометрическое место концов переменного век

тора х , если его начало	находится в	данной точке А и вектор
х удовлетворяет условию	х а = а, где	а — данный вектор и a —
данное число.

811. Определить геометрическое место концов переменного век тора х , если его начало находится в данной точке А и вектор х

106 ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [Гл. 7

удовлетворяет			условиям х а	= а,	хЪ = /3, где а,		Ъ— данные			не-
коллииеарные векторы и а ,				/3— данные числа.			2}.
1)	812. Даны векторы а =_{4; - 2 ;				- 4 } ,	Ь = {б; - 3 ;	2}.	Вычислить:
1)	аЬ;	2)	3) -/б5 ;	4)	(2а -	ЗЬ) (а + 26);		5)	(а +	Ь)2;
6)	(а -	Ь)2.
	813. Вычислить, какую работу производит сила / =								{3; - 5 ;	2},

когда ее точка приложения перемещается из начала в конец

вектора з = {2; - 5 ;		- 7 } * ) .
814. Даны	точки	А (—1; 3; —7), В (2; —1; 5)		и	С (0; 1; —5 ). Вы -
числить: 1)	(2 А В - С В )( 2 В С		+ Ш ) ; 2) У Л В *] 3) %/ЛС2 ;
4) найти координаты векторов			(АВ •АС) В С	и	А В (АС ■В С ).

815 . Вычислить, какую работу производит си л а/ = {3; —2; - 5 } , когда ее точка приложения, двигаясь прямолинейно, перемеща ется из положения А (2; —3; 5) в положение В (3; —2; —1).

816. Даны силы М =	{3; - 4 ; 2}, iV	= {2; 3; - 5 }	и Р = { - 3 ;
- 2 ; 4}, приложенные к	одной точке.	Вычислить,	какую рабо

ту производит равнодействующая этих сил, когда ее точка при ложения, двигаясь прямолинейно, перемещается из положения


Mi (5; 3; —7) в положение М2 (4; —1; —4).
	8 17 . Даны	вершины четырехугольника А ( 1; - 2; 2), В ( 1; 4; 0),
С7 (—4; 1; 1) и		В ( - 5 ; - 5 ; 3). Доказать, что его диагонали АС и
BD взаимно перпендикулярны.
	8 18 . Определить, при каком значении а векторы а = a i —Z j+ 2k
и	b = i + 2j —а к		взаимно	перпендикулярны.		а =
	819 . Вычислить		косинус	угла, образованного векторами
=	{2; - 4 ; 4} и Ь =		{ - 3 ; 2; 6}.
	82 0 . Даны	вершины треугольника А (—1; —2; 4),			В (—4; —2; 0)
и (7(3; - 2; 1).		Определить его внутренний угол при вершине В .
	8 21 . Даны	вершины треугольника А {3; 2; - 3 ) ,			В ( 5; 1; -	1) и
(7(1; —2; 1). Определить его внешний угол при вершине А.
	8 22 . Вычислив		внутренние углы треугольника		с вершинами

А(1\ 2; 1), В ( 3; - 1; 7), (7(7; 4; - 2), убедиться, что этот треуголь ник равнобедренный.

823 . Вектор х, коллинеарный	вектору а	= {б; - 8; - 7 ,5 } , обра
зует острый угол с осью Oz.	Зная, что	\|х \| = 50, найти его
координаты.

824. Найти вектор х , коллинеарный вектору а = {2; 1; —1} и

удовлетворяющий условию ха = 3.		а = Зг + 2j -Ь 2 к
825 . Вектор х ,	перпендикулярный к векторам	а = Зг + 2j -Ь 2 к
и b = 18г - 22^' -	5к, образует с осью Оу тупой	угол. Найти его
координаты, зная,	что \|х \|= 14.

Если вектор / изображает силу, точка приложения которой перемещается из начала в конец вектора s, то работа w этой силы определяется равенством

w = fa.

§32]

ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

107

826

. Найти

вектор

х,

зная, что он

перпендикулярен

век

торам

= {2; 3; —1} и 6 =

{1; —2; 3}

и удовлетворяет условию

x ( 2 i - j + к) = - 6.

и Ъ

827

. Даны

векторы

{3; - 1 ; 5}

{1; 2; - 3 } .

Найти

вектор х при условии, что он перпендикулярен к оси

удовлетворяет условиям ха = 9, xb = —4.

828

. Даны

векторы

2г -

j +

3fc,

г - 2j

с = Зг + 2j -

4к.

Найти вектор

х, удовлетворяющий

услови

ям ха = - 5 ,

хЪ = - 1 1 ,

хс =

20.

829

. Найти проекцию вектора s = {4; —3; 2} на ось, составля

ющую с координатными осями равные острые углы.

830

. Найти проекцию вектора s = {VlT; - 3 ;

- 5 }

на ось, состав

ляющую

с координатными осями

Ох, Oz углы а = 45°, 7 = 60°,

а с осью

Оу — острый угол (5.

831

. Даны

точки

А (3; - 4 ; - 2),

В (2; 5; - 2).

Найти проекцию

вектора АВ на ось, составляющую с координатными осями Ох, Оу углы а = 60°, /3 = 120°, а с осью O z— тупой угол 7 .

832. Вычислить проекцию вектора а = {5; 2; 5} на ось вектора

Ъ = { 2; - 1; 2}.

г + 4 j

8 33 . Даны

векторы

Зг -

- fc,

- 5fc и

с = Зг - 4 j + 12&. Вычислить прс (а + 6).

и с = { - 1; 1; 4}.

834 . Даны

векторы

о = {1; - 3 ; 4}, Ь= { 3; - 4 ;

Вычислить прь+с а.

а =

8 35 . Даны векторы

- 2 t + j + fe,

Ь = i + 5 j

и с = 4г-Н <7*-2&.

Вычислить прс (За — 26).

12 =

{ 1; - 8; - 7 } ,

836

. Сила,

определяемая

вектором

разложе

на

по

трем

направлениям,

одно

из

которых

задано

вектором

а =

2г + 2j + к.

Найти

составляющую силы

в направлении

вектора а.

837. Даны точки М ( - 5 ; 7; - 6) и N (7; - 9 ; 9).

В ычислить про

екцию

вектора а =

{ 1; —3; 1}

на ось вектора MN.

838 . Даны

точки А (- 2; 3; —4),

В ( 3 ;2 ;5 ) ,

(7 (1 ;—1; 2), 17(3;

2; - 4 ) .

Вычислить

пр— АВ.

§ 32 . Вектор н ое произведение векторов

Векторным произведением вектора а на вектор Ь называется вектор, обозна чаемый символом [ай] и определяемый следующими тремя условиями:

1) модуль вектора [а&] равен |а |•|Ь|sin <р, где ц>— угол между векторами а и Ь;

2) вектор [аб] перпендикулярен к каждому из векторов а и b;

3) направление вектора [о&] соответствует «правилу правой руки». Это озна чает, что если векторы о, Ъ и [aft] приведены к общему началу, то вектор [aft] должен быть направлен так, как направлен средний палец правой руки, боль шой палец которой направлен по первому сомножителю (т. е. по вектору а), а указательный — по второму (т. е. по вектору ft).

108

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

[Гл. 7

Векторное произведение зависит от порядка сомножителей, именно:

[аЬ] = -[Ьо].

Модуль векторного произведения [аЬ] равен площади S параллелограмма, построенного на векторах а и Ь:

\[ab)\ = S.

Само векторное произведение может быть выражено формулой [аЬ] = Se,

где е — орт векторного произведения.

Векторное произведение [а&] обращается в нуль тогда и только тогда, когда векторы а и Ь коллинеарны. В частности [оа] = 0.

Если система координатных осей правая и векторы а и Ъ заданы в этой

системе своими координатами:
		« = {Х ц Уц Z i) ,						b = { X 2; V2; Z2} t
то векторное произведение вектора а на вектор 6 определяется формулой
ИЛИ	'-'-К 2I> -12 21‘ 12 Ш)
ИЛИ						i		j	к
						i		j	к
					[аЬ] =	X 1		Yi	Zi .
						Х 2		У2	Z2
839 . Векторы		а и Ъ образуют угол tp = 7г/6. Зная, что \|а \|= б,
\|Ъ\|= 5, вычислить			\|[аЬ] \|.
8 40 . Даны:	\|а \|=		10,		\|Ь \|= 2		и	аЬ = 12.		Вычислить	\|[аЬ] \|.
8 41 . Даны:	\|а \|= 3,			\|b \|= 26			и	\|[об] \|=		72. Вычислить аЬ.
8 4 2 . Векторы		о	и	Ъ взаимно				перпендикулярны.			Зная, что
\|а \|= 3, \|Ь \|= 4,		вычислить:
1) \|[(в + 6) ( в - Ь ) ] \| ;					2)	\| [ ( З в - 4 ) ( о - 2 6 ) ] \| .

8 4 3 . Векторы о и 6 образуют угол <р = 2тг/3. Зная, что |а |= 1,


\|b \|= 2, вычислить:
1)	[об]2;	2) [(2о + б )(о		+ 2б)]2;	3) [(о + 36) (За			- б)]2.
8 44	. Какому условию должны удовлетворять векторы о, б,
чтобы векторы а + б и а —б были коллинеарны?
8 4 5	. Доказать		тождество	[об]2 + (об )2 = о 2б2.
8 4 6 . Доказать,			что [об]2 ^ о 2б2;		в	каком	случае	здесь будет
знак равенства?						р, q, г,	п. Д оказать, что
8 4 7	. Даны	произвольные		векторы
векторы а =		[рп], б = [gn],		с = [тп]		компланарны		(т. е., будучи

приведены к общему началу, располагаются в одной плоскости). 8 4 8 . Векторы о, б и с удовлетворяют условию о + б + с = 0 .

Доказать, что [об] = [бс] = [со].

§32]	ВЕКТОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ					109

849 . Векторы а, 6,		с и	d связаны соотношениями [ab] = [cd],
[ас] = [bd]. Доказать коллинеарность векторов					а —d и b —с.
85 0 . Даны	векторы	а =	{3; - 1 ; - 2} и b =		{ 1; 2; - 1}.	Найти
координаты векторных		произведений:		Ь) (2а + Ь)}.
1) [аЦ; 2)	[(2а+ 6) 6];		3) [(2а -
851 . Даны	точки А {2; -		1; 2), 5 ( 1 ;	2; - 1) и	С {3; 2; 1).	Найти
координаты векторных		произведений:

1)[АВВС]) 2) [(ВС - 2СА) СВ].

852	. Сила / = {3; 2; —4} приложена к точке А (2; - 1; 1). Опре
делить момент этой силы относительно начала координат
853	. Сила	Р =	{ 2; - 4 ; 5}		приложена к точке Мо (4; - 2; 3).
Определить		момент этой		силы	относительно точки А (3; 2; - 1).
8 54 . Сила		Q =	{3; 4;	- 2}	приложена к точке С (2; - 1; - 2).

Определить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно начала координат.

855 . Сила Р = {2; 2; 9} приложена к точке А {4; 2; - 3 ) . Опре делить величину и направляющие косинусы момента этой силы относительно точки С (2; 4; 0).

856 . Даны три силы М	=	{2; —1; —3}, N =	{3; 2; - 1} и
Р = { - 4 ; 1; 3}, приложенные	к	точке С ( - 1; 4; - 2).	Определить

величину и направляющие косинусы момента равнодействующей этих сил относительно точки А (2; 3; —1).

857. Даны точки .4(1; 2; 0), В (3; 0 ; - 3 ) и С (5 ;2 ;6 ) . Вычи слить площадь треугольника АВС.

858. Даны вершины треугольника А (1; —1; 2), В ( 5 ; - 6 ;2 ) и С (1 ; 3; - 1 ) . Вычислить длину его высоты, опущенной из верши

ны В

на сторону АС.

а =

859 . Вычислить

синус

угла, образованного

векторами

= { 2; - 2; 1} и Ь = { 2; 3; 6}.

векторам а = {4; —2; - 3 }

860 . Вектор ж,

перпендикулярный к

Ь = {0; 1; 3},

образует

осью Оу

тупой

угол.

Зная,

что

|х |= 26, найти его координаты.

Oz и

861

. Вектор

тп,

перпендикулярный

оси

вектору

= { 8; - 1 5 ; 3},

образует

острый угол с

осью Ох.

Зная,

что

|т |= 51, найти его координаты.

862

. Найти вектор х , зная, что он перпендикулярен к век

торам

а = { 2; - 3 ;

1} и b =

{ 1; - 2; 3}

и удовлетворяет

условию

х (г + 2j - 7к) = 10.

863

. Доказать тождество

( l j

+ m l + n?) (l\ +

m % + n \) -

( k l 2 + mim2 + nin2)2 =

= (min2 - m2ni)2 + {hn\ - k n2)2 + (fim2 - /2mi)2.

У к а з а н и е . Воспользоваться тождеством задачи 845.•)

•) Если вектор / изображает силу, приложенную к какой-нибудь точке Л/, а вектор а идет из некоторой точки О в точку М, то вектор [о/] представляет собой момент силы / относительно точки О.

n o ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [Гл. 7

864.	Даны векторы а = { 2; - 3 ; 1}, 6 = { - 3 ; 1; 2} и с = {1; 2; 3}.
Вычислить	[[аб] с] и [а [6с]].

§ 33. Смешанное произведение трех векторов

Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них счи тается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись а, б, с означает, что вектор а считается первым, б — вторым, с — третьим.

Тройка некомплаиарных векторов а, б, с называется правой, если состав ляющие ее векторы, будучи приведены к общему началу, располагаются в по рядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы а, б, с расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведением трех векторов а, б, с называется число, равное векторному произведению [аб], умноженному скалярно на вектор с, т.е. [аб] с.

Имеет место тождество [аб] с — а [6с], ввиду чего для обозначения смешанно

го произведения [аб] с употребляется более простой символ абс. Таким образом,

обе = [аб] с, абс = а [6с].

Смешанное произведение аЬс равно объему параллелепипеда, построенного на векторах а, 6 , с, взятому со знаком плюс, если тройка абс правая, и со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, 6 , с компланарны (и только в

этом случае), смешанное произведение абс равно нулю; иначе говоря, равенство

абс = О

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов а, 6 , с. Если векторы а , 6 , с заданы своими координатами:

a = {X 1;Y l ;Z 1), 6 = {Х 2\К2; Z2), с = {Х 3; У3; Z3),

то смешанное произведение аЬс определяется формулой

Yi Zx

обе = Х 2 Y2 Z2

Х3 Уз 2з

Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов *, j , к).

86 5 .		Определить, какой является тройка а, 6, с (правой или
левой),	если
1) а -		к, b - i , с = ji	2)	а =	г, 6= к, c= j ;
3) а =		j , 6 = г, с = к]	4)	а =	i + j , b = j , с = к\

5)	a =	i + j , 6 = г — j ,	c = j\
6)	а =	г + j , b = i - j ,	с = к.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 2011 12 13 14 15 16 17 18 19 20 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
12.11.20231.62 Mб8Сбор и промысловая подготовка скважинной продукции..pdf
#
12.11.202318.91 Mб55Сборник задач и примеров по резанию металлов и режущему инструменту..pdf
#
12.11.20232.54 Mб33Сборник задач и примеров по технологии машиностроения..pdf
#
12.11.202313.31 Mб18Сборник задач и упражнений по импульсной технике..pdf
#
20.11.202310.44 Mб2Сборник задач по аналитической геометрии.-1.pdf
#
12.11.20238.94 Mб9Сборник задач по аналитической геометрии..pdf
#
19.11.202327 Mб25Сборник задач по высшей математике с контрольными работами 1 курс..pdf
#
19.11.202346.05 Mб2Сборник задач по высшей математике. 2 курс.pdf
#
20.11.202318.36 Mб4Сборник задач по курсу математического анализа.-1.pdf
#
12.11.202319.54 Mб35Сборник задач по курсу математического анализа..pdf
#
19.11.202328.16 Mб3Сборник задач по курсу физики с решениями..pdf