книги / Сборник задач по аналитической геометрии

теже, знал ее угловой коэффициент

к и отрезок

6, отсекаемый

ею на оси Оу:

1)

к =

2/3, 6 = 3;

2) А; = 3,

6 =

0;

3)

к =

0, 6 =

- 2 ;

4)

к =

-3/ 4, 6 = 3;

5) к =

- 2 ,

6 =

- 5 ;

б)

к = -1/ 3, 6 = 2/3.

1)

5х — у + 3 =

0;

2) 2а; Ч- Зу — 6 =

0;

3)

5т + Зу + 2 =

0;

4) За; + 2у = 0;

5) у - 3 = 0.

222. Дана прямая

5т + Зу - 3 = 0. Определить угловой коэф­

фициент к прямой:

224 . Даиы уравнения двух сторон прямоугольника 2 х -З у + 5 =

= 0, Зх + 2у — 7 = 0 и одна из его вершин А (2; - 3 ) .

Составить

уравнения двух других сторон этого прямоугольника.

225 . Даны уравнения двух сторон прямоугольника х — 2у = 0,

226. Найти

проекцию точки Р ( - 6; 4) на прямую 4 х -5 у + 3 = 0.

227

. Найти

точку Q, симметричную точке Р ( - 5 ; 13) относи­

тельно прямой 2х — Зу - 3 = 0.

228

. В каждом из следующих случаев составить уравнение пря­

1)

Зх - 2у -

1 =

0,

Зх - 2у - 13

= 0;

2)

5х + у + 3 = 0,

5х + у - 17 =

0;

3)

Зх + Зу -

6 = 0,

4х + 6у + 17

= 0;

4)

5х + 7у + 15 =

0,

5х + 7у + 3 = 0;

5)

Зх - 15у -

1 =

0,

х - 5у - 2 = 0.

229. Вычислить угловой коэффициент к прямой, проходящей

через

две

данные точки: a) M i (2; —5), М 2 (3; 2); б) Р ( - 3 ; 1),

Q (7;

8); в)

А (5; - 3 ) , £ ( - 1; 6).

230. Составить уравнения прямых, проходящих через вершины

Мз (3; —4). Составить

уравнение

его сторон.

232 . Даны две точки Р (2 ; 3)

и Q ( - 1; 0). Составить уравнение

прямой, проходящей

через точку Q перпендикулярно к отрез­

ку PQ.

эту прямую.

вершины треугольника M i (2; 1),

М 2 ( —1; —1)

234. Даны

и

М3 (3; 2). Составить уравнения его высот.

Ах - у - 7 = О,

235

. Стороны треугольника даны уравнениями

х + Зу

_ 31 = о,

гг Ч- 5т/ — 7 = 0. Определить точку

пересечения

его

шинами 4 (3 ;

2), 5 ( 5 ;

—2), С7 (1; 0).

239. Через

точки

M i ( - 1; 2)

и М2 (2; 3) проведена прямая.

Определить точки пересечения этой прямой с осями координат.

240. Доказать, что условие, при котором три точки М\ (®i; т/i),

Mo {хо\ уо)

и

Мз (тз; уз)

лежат

на

одной прямой,

может

быть

записано в следующем виде:

* 1

2/1

1

= 0.

Х2

2/2

1

Яз

Уз

1

241.

Доказать,

что

уравнение

прямой, проходящей

через две

данные точки

М\{х\\у\)

и. М 2 (т2; у2), может

быть

записано в

следующем

виде:

X

У

1

= 0.

XI

У1

1

22

У2

1

242. Даны последовательные вершины выпуклого четырех­

угольника 4 ( —3; 1),

5 ( 3 ;

9),

С (7; 6) и D ( - 2 ;

- 6).

Определить

точку

пересечения его диагоналей.

243. Даны две смежные вершины

4 ( - 3 ; - 1 )

и 5 ( 2 ; 2) парал­

лелограмма ABCD и точка

Q (3; 0)

пересечения его диагоналей.

Составить уравнения сторон этого параллелограмма.

244. Даны уравнения двух сторон прямоугольника Ьх + 2 у - 7 =

= 0,

Ъх + 2у -

36 = 0 и уравнение его диагонали Зх + 7у - 10 = 0.

Составить уравнения остальных сторон и второй диагонали этого

прямоугольника.

245. Даны вершины треугольника 4 (1; - 2 ) , 5

(5; 4) и С ( - 2 ; 0).

§12]

ОБЩ ЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

33

246

. Составить уравнение

прямой,

проходящей

через точку

Р (3; 5)

на

одинаковых

расстояниях

от

точек

А ( - 7 ; 3)

и

В (11;

-1 5 ).

247. Найти проекцию точки Р ( —8; 12) на прямую, проходящую

через

точки Л (2; - 3 ) и

В ( - 5; 1).

248

. Найти точку

M i,

симметричную точке М2 (8; - 9 ) относи­

тельно прямой, проходящей через

точки Л (3; - 4 ) и В ( - 1; - 2 ) .

249

. На оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы сумма ее

расстояний до точек М (1 ; 2)

и N (3; 4)

была наименьшей.

250

. На оси ординат найти такую точку Р , чтобы разность

расстояний ее до точек М ( - 3 ; 2)

и N (2; 5)

была наибольшей.

251

. На прямой

2х — у — 5 =

0

найти

такую точку

Р , сум­

ма расстояний которой до точек

Л ( - 7 ;

1),

Р ( - 5 ;5 )

была

бы

наименьшей.

252

. На прямой

Зх — у —1 =

0

найти такую точку Р , раз­

ность

расстояний которой

до

точек Л (4; 1)

и В (0; 4)

была

бы

наибольшей.

253

. Определить угол

<р между двумя прямыми:

1)

Ъх -

у 4- 7 - 0,

Зх + 2у = 0;

2)

За; — 2т/ + 7 = 0,

2х +

Зу - 3 =

0;

3) х - 2у -

4 = 0,

2х - 4у + 3 =

0;

4)

Зх + 2у -

1 = 0,

5х -

2у + 3 =

0.

254

. Дана прямая 2х + Зу + 4 = 0.

Составить уравнение прямой,

проходящей через точку MQ(2; 1) под углом 45° к данной прямой.

255

. Точка Л (—4; 5) является вершиной квадрата, диагональ

которого лежит на

прямой

7х — у + 8 = 0.

Составить уравнения

сторон и второй диагонали этого квадрата.

256

. Даны две противоположные вершины квадрата

Л ( —1; 3)

и С (6; 2). Составить уравнения его

сторон.

2 57 . Точка

Е ( 1 ; - 1 ) является

центром

квадрата, одна из сто­

рон которого лежит на прямой х-2у+ 12 = 0.

Составить уравнения

258 . Из

точки Мо ( - 2 ; 3) под углом а к оси Ох направлен

луч света.

Известно, что

tg a = 3. Дойдя

до оси Ох, луч от

нее отразился. Составить

уравнения прямых, на которых лежат

падающий и отраженный лучи.

259. Луч

света направлен по прямой х -

2у + 5 = 0. Дойдя до

260 . Даны уравнения

сторон

треугольника

Зх + 4у — 1 = 0,

х - 7у - 17 = 0,

7х + у + 31 = 0. Доказать, что

этот треугольник

равнобедренный.

Решить

задачу

при помощи

сравнения углов

треугольника.

параллельно прямой Ах + B y + С =

0,

может

быть

записано

в виде А (х -

х{) + В (у - уi) = 0.

262. Составить уравнение прямой, проходящей

через

точку

Mi (2; - 3 )

параллельно прямой: 1) 3 х - 7 у + 3 = 0; 2) х + 9 у - 1

1 = 0;

3) 16® -

24т/ - 7 = 0;

4) 2х + 3 = 0; 5) Зу - 1 =

0.

У к а з а н и е . Воспользоваться результатом предыдущей задачи.

263. Доказать, что условие перпендикулярности

прямых

А\х + В\у + С\ = 0 ,

А2х + В 2у + С2 = 0 может быть

записано

в следующем виде:

А\А2 + В\В2 = 0.

кулярны:

у + 5 = 0,

1)

3® -

х + Зу - 1

= 0;

2)

Зх -

4у + 1 =

0,

4х - Зу -I- 7 =

0;

3)

6х -

15у + 7 = 0,

Юх + 4у — 3

= 0;

4)

9х -

12у + 5 =

0,

8х + 6 у - 13

=

0;

5)

7х -

2у + 1 =

0,

4х + 6 у +

17 =

0;

6)

5х -

7у + 3 = 0,

Зх + 2у -

5 =

0.

tg<p = А\ В2 —

A2BI

A I A2 +

В\В2 ’

266.

Определить угол уз, образованный двумя прямыми:

1)

Зх -

у + 5 =

0,

2х + у - 7 = 0;

2)

ху /2 -у у /Ъ

-

5 = 0,

(3 +

\/2)х + ( - / F - \/3)у + 7 = 0;

3)

ху/3 + уу/ 2

—2 = 0,

ху/ 6

— Зу + 3 = 0.

267 . Даны две вершины треугольника

M i ( - 1 0 ; 2) и М2 (6; 4);

его высоты пересекаются в точке N (5; 2).

Определить координаты

третьей вершины Мз.

268. Даны две вершины А {3; - 1 )

и В (5; 7) треугольника А В С

и точка N (4; - 1 ) пересечения его

высот. Составить уравнения

сторон этого треугольника.

§12]

ОБЩ ЕЕ УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ

35

269

. В

треугольнике

А ВС

даны:

уравнение

стороны

АВ:

5х - Зу 4- 2 = 0,

уравнения

высот AM: 4х -

Зу +

1 =

О

и

B N :

7х + 2у —22 =

0.

Составить

уравнения двух

других

сторон и

третьей высоты

этого треугольника.

270

. Составить уравнения сторон треугольника АВС, если

даны

одна из

его

вершин

А (1; 3)

и

уравнения

двух

медиан

х - 2у + 1 = 0 и у - 1 = 0.

271

. Составить уравнения сторон треугольника, если даны одна

из его вершин В ( - 4 ;

- 5 ) и уравнения двух высот 5х + Зу - 4 = 0

и Зх + 8у + 13 = 0.

272

. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну из

его вершин А (4; - 1 )

и

уравнения двух биссектрис х -

1 =

0 и

гс — у — 1 = 0.

273

. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину

В { 2; 6), а

также

уравнения

высоты

х -

7у + 15 =

0 и

биссектрисы 7х + у + 5 = 0,

проведенных из одной вершины.

274

. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину В ( 2; —1), а также

уравнения высоты

Зх — 4у + 27 = 0 и

биссектрисы х + 2у — 5 = 0,

проведенных из различных вершин.

275

. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину

С (4; - 1 ) ,

а

также

уравнения

высоты

2х -

Зу + 12 = 0 и

медианы

2х + Зу = 0,

проведенных из одной вершины.

276

. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину

В (2; - 7 ) ,

а

также

уравнения

высоты

Зх + у + 11 = 0 и

медианы

х + 2у + 7 = 0,

проведенных из различных вершин.

277

. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его

вершину

С (4; 3), а

также уравнения

биссектрисы

х + 2у — 5 = 0

и медианы 4х 4- 13у — 10 = 0, проведенных из одной вершины.

278

. Составить уравнения сторон треугольника, зная одну его

§13]

НЕПОЛНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПРЯМОЙ

37

286. Определить,

при каких

значениях т и п прямая

( т + 2п -

3) х + ( 2 т

- п + 1)у + 6 т + 9 = 0

1)

х + 5у - 35 =

0,

3® + 2у - 27 = 0;

2)

14® — 9т/ -

24

=

0,

7 ® - 2 у - 1 7

=

0;

3)

12® + 15у — 8

= 0,

16® + 9 у - 7

=

0;

4)

8® - ЗЗу - 19

=

0,

12® + 55у -

19 = 0;

5)

3® + 5 = 0,

у -

2 = 0.

параллельны:

1)

3® + Ъу -

4 = 0,

6® + Юу + 7 = 0;

2)

2® - 4у + 3 =

0,

® -

2у =

0;

3)

2 ® - 1 = 0, ® + 3 = 0;

4)

у + 3 = 0,

5у -

7 =

0.

29 0 . Доказать,

что

в следующих случаях две данные прямые

совпадают:

1)

3® + 5у -

4 =

0,

6® + Юу - 8

= 0;

2)

® - у\72 = 0,

®\/Т —2у = 0;

3)

x y / J - 1 = 0,

3® -

у/Ъ =

0.

2 91 . Определить, при

каких

значениях а

и 6 две прямые

ах -

2у -

1 = 0,

6® - 4у -

b = 0

38

ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

[Гл. 3

293. Определить,

при каком значении т две прямые

(т — 1) х +

ту — 5 = 0, тх + (2m — 1) у + 7 = 0

295. Установить,

пересекаются

ли

в одной точке три

прямые

в следующих случаях:

1) 2х + Зу - 1 = 0,

4х - 5у + 5 = 0,

Зх - у + 2 = 0;

2) Зх - у + 3 = 0, 5х + Зу - 7 = 0, х - 2 у - 4 = 0;

3) 2х -

у + 1 =

0,

х + 2у -

17 =

0,

х + 2у - 3 =

0.

296. Доказать,

что если

три

прямые

A ix +

В\у +

С\

= 0 ,

А2Х + В 2У + С2 =

0,

Азх + Въу + Сз = 0

пересекаются

в

одной

точке,

то

А\

Bi

Ci

= 0.

А2

В 2

С2

A3

В 3

Сз

297.

Доказать, что если

А\

В\

Ci

А2

В 2

С2

= 0,

A3

В 3

Сз

то три

прямые

А\х + В\у + С\ = 0 ,

Азх +

В 2У + Сз

= 0,

т + у + 3 = 0,

аа; + у — 13 = 0 будут пересекаться в одной точке.

299. Даны

прямые:

1)

2х + Зу -

6 =

0; 2)

4х -

Зу + 24 = 0;

3) 2х + Зу -

9 = 0; 4)

Зх -

5у - 2 = 0;

5)

5гс + 2у

- 1

= 0. Составить

ющий множитель д, определяемый формулой

д = ±

—- р = = = •

у /А 2 + В 2

Знак нормирующего множителя выбирается противоположным знаку свобод­

ного члена нормируемого уравнения.

309.

Определить, какие из следующих уравнений прямых явля­

ются нормальными:

1) | х - | у - 3 = 0;

2) | * - § у - 1 = 0;

») н * - § » + 2 = ° ;

4) - 5 1 + 1 § ! ' - 2 = 0;

5) - 1 + 2 = 0;

6) I - 2 = 0;

Т) у + 2 = 0;

8) - у - 2 = 0.

310.

Привести общее уравнение прямой к нормальному виду в

каждом из следующих случаев:

1)

4ж -

Зу -

10 =

0;

2)

£ я - | у

+ 10 = 0;

3)

12х -

Ъу +

13 =

0;

4)

х + 2 =

0;

1)

1 - 2 = 0; 2) х + 2 = 0;

3)

у — 3 = 0;

4)

у + 3 = 0; 5) x y / J + y - 6 = 0;

б)

а; — у + 2 = 0; 7) х + у у /3* + 2 = 0;

8)

х cos 0 - у sin /3 - q = 0 ,

q > 0 ,

0 — острый

угол;

9)

х cos0 + у sin/3 + q = 0,

q > 0,

0 — острый

угол.

Определить полярный угол нормали а и отрезок р дл я каждой

из данных прямых; по полученным

значениям

параметров а и

312. Вычислить величину отклонения 5 и расстояние d от точ­

ки до прямой

в

каждом

из следующих

случаев:

1)

А (2; - 1 ) ,

4х + Зу -I-10 =

0;

2) В (0;

- 3 ) ,

Ьх - 12у -

23

= 0;

3)

Р (—2; 3),

За: — 4у — 2 = 0;

4) Q (1; - 2 ) , х -

2у - 5 =

0.

313 . Установить, лежат ли точка М (1; - 3 )

и начало координат

1)

2а;—у + 5 = 0; 2) т - З у - 5 = 0; 3) З з + 2 у - 1 = 0; 4) ж -З у + 2 = 0;

5)

10х + 24у + 15 = 0.