книги / Сборник задач по аналитической геометрии

§46] ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 151

1179 . Доказать, что уравнение z — ху определяет гиперболи­ ческий параболоид.

1180. Найти точки пересечения поверхности и прямой:

ет гиперболический параболоид х2 —4у2 = 2z по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образу­ ющих.

1182 . Доказать, что плоскость 4ж — 5у —10z — 20 = 0 пересекает

1183 . Убедившись, что точка М (1 ; 3; — 1) лежит на гиперболи­ ческом параболоиде 4х2 —z2 = у, составить уравнения его прямо­ линейных образующих, проходящих через М.

1184 . Составить уравнения прямолинейных образующих GABO­

образованный его прямолинейными образующими, проходящими через А.

1186 . Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая дана уравнениями:

1) fr + ^ = 1) z = c ; 2 ) = 1, У — Ь;

3)+ f r = 1> х = а.

1187 . Доказать, что уравнение z2 = ху определяет конус с вершиной в начале координат.

1 188 . Составить уравнение конуса с вершиной в начале коор­ динат, направляющая которого дана уравнениями х2 —2z + 1 = 0, у - z + 1 = 0.

1189 . Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0; 0; с),

направляющая которого дана уравнениями ~ т + ь Г = 1> з = 0.

152 УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 9

1191. Ось Oz является осью круглого конуса с вершиной в начале координат, точка М\ (3; - 4 ; 7) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.

1192. Ось Оу является осью круглого конуса с вершиной в начале координат, его образующие наклонены под углом 60° к

уравнение этого конуса, зная, что точка Mi (1; 1; —5/2) лежит на его поверхности.

1194. Составить уравнение круглого конуса, для которого оси координат являются образующими.

1195. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S (5; 0; 0), образующие которого касаются сферы х2 + у2 + z2 = 9.

1196. Составить уравнение конуса с вершиной в начале коор­ динат, образующие которого касаются сферы (х + 2)2 + (у — I ) 2 +

- 1 ), образующие которого касаются эллипсоида -g- + ^ + у = 1.

1198. Составить уравнение цилиндра, образующие которого па­ раллельны вектору / = {2; - 3 ; 4}, а направляющая дана уравне­ ниями х2 + у2 = 9, z = 1.

1199. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями х2 — у2 = z, х + у + z = 0, а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей.

1200. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плос­

1202. Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего че­ рез точку S (2; - 1 ; 1), если его осью служит прямая х = Zt + l, у = - 2 1- 2, z = t + 2.

1203. Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер: {х - 2)2 + (у - I)2 + z2 = 25, х2 + у2 + z2 = 25.

П р и л о ж е н и е

ЭЛЕМ ЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

§ 1 . Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел a i, аг, &ь 62:

Число a i &2—02&1 называется определителем второго порядка, соответствующим

Числа a i, аг, Ьх, Ьг называются элементами определителя. Говорят, что эле­ менты a i, 62 лежат на главной диагонали определителя, аг, Ьх— на побочной.

Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произве­ дениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

Определитель Д , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель Д * получается путем замены элементов первого столбца определителя Д свободными членами систе­ мы (3); определитель Д у получается из определителя Д при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если Д ф 0, то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

Если Д = 0 и при этом хотя бы один из определителей Д ц Ду отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместимы).

Если же Д = О, но также Д х = Ду = 0, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3) hi = h2 = 0; тогда система (3) будет иметь

вид

aia; + &iy = 0, а2х + Ь2У = 0. (6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нуле­ вое решение: х = 0, у = 0. Если Д ф 0, то это решение является единственным; если же Д = 0, то система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других

1208 . Определить, при каких значениях а и b система урав­ нений 3х —ay = 1, 6а; + 4у = b: 1) имеет единственное решение;

§ 2 . Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными

Если хотя бы один из определителей Ах, Д г, Дз не равен нулю, то все решения системы (1) будут определяться по формулам

х = Ах t, у = -Д г * , z = Дз4,

где t — произвольное число. Каждое отдельное решение получается при какомлибо определенном значении t.

Для практики вычислений полезно заметить, что определители Д ь Дг, Дз

получаются при помощи поочередного вычеркивания столбцов таблицы:

( о.1 Ьх ci \

\0,2 Ь2 С2)

Если все три определителя Д ь Дг, Дз равны нулю, то коэффициенты уравне­

ний системы (1) пропорциональны. В этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого и система фактически сводится к одному уравнению. Такая система, естественно, имеет бесконечно много решений; чтобы получить какое-нибудь из них, следует двум неизвестным придать произвольно числен­ ные значения, а третье найти из уравнения.

1228. Определители, данные в задачах 1223— 1227, пользуясь свойством 8 , преобразовать так, чтобы в каком-либо столбце (или строке) определителя два элемента стали равными нулю, а затем вычислить каждый из них, воспользовавшись свойством 9.

В задачах 1229— 1232 требуется вычислить определители.