книги / Сборник задач по аналитической геометрии

Р и с . 22

В случае, когда начало координат находится D вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

— если в нижней полуплоскости (рис. 22).

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

583. Составить уравнение параболы, вершина которой находит­ ся в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и ее параметр р = Ъ\

2) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси Ох и ее параметр р = 0,5;

3) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р = 1/4;

4) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси Оу и ее параметр р = 3.

584 . Определить величину параметра и расположение относи­ тельно координатных осей следующих парабол:

1) у2 = 6х; 2) х2 — Ъу\ 3) у2 = -4 х ; 4) х2 - -у .

585 . Составить уравнение параболы, вершина которой находит­ ся в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку Л (9; 6);

2) парабола расположена симметрично относительно оси Ох и проходит через точку В { —1; 3);

3) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку С7 (1; 1);

4) парабола расположена симметрично относительно оси Оу и проходит через точку D (4; —8).

ния расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4см. Определить ве­ личину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближенно считая, что трос имеет форму дуги параболы.

588. Установить, какие линии определяются следующими урав­

590. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2 = 20т, если абсцисса точки М равна 7.

591. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2 = 12т, если ордината точки М равна 6.

592. На параболе у2 = 16т найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

593. Составить уравнение параболы, если дан фокус F ( - 7 ; 0) и уравнение директрисы т — 7 = 0.

594. Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина со­ впадает с точкой (а; /3), параметр равен р, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:

1) в положительном направлении оси Ох;

2) в отрицательном направлении оси От.

595. Составить уравнение параболы, зная, что ее вершина со­ впадает с точкой (а; /3), параметр равен р, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:

1) в положительном направлении оси Оу (т.е. парабола явля­ ется восходящей);

2) в отрицательном направлении оси Оу (т.е. парабола явля­ ется нисходящей).

596. Установить, что каждое из следующих уравнений опре­ деляет параболу, и найти координаты ее вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:

1) 2/2 = 4т — 8; 2) у2 = 4 - 6т; 3) т 2 = 6 у + 2; 4) т 2 = 2 - у. 597. Установить, что каждое из следующих уравнений опреде­

ляет параболу, и найти координаты ее вершины А и величину параметра р:

1) У = \ х2 + х + 2-, 2) у = 4х2 - 8 х + 7; 3) у = - | х 2 + 2х - 7.

§20] ПАРАБОЛА 73

598. Установить, что каждое из следующих уравнений опре­ деляет параболу, и найти координаты ее вершины А и вели­ чину параметра р: 1) х = 2у2 - 12у + 14; 2) х = - ^ у2 + у; 3) х = - у 2 + 2 у - 1.

599. Установить, какие линии определяются следующими урав­

ная прямая относительно данной параболы— пересекает ли, ка­

609 . Определить, при каких значениях углового коэффициен­

610 . Вывести условие, при котором прямая у = кх + b касается параболы у2 = 2рх.

611 . Доказать, что к параболе у2 = 2рх можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом к Ф 0.

612 . Составить уравнение касательной к параболе у2 = 2рх в ее точке Mi (x i; yi).

6 13 . Составить уравнение прямой, которая касается параболы у2 = 8х и параллельна прямой 2х + 2у - 3 = 0.

74 СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГД. 4

до этой прямой.

617. Составить уравнения касательных к параболе у2 = 36т, проведенных из точки А (2; 9).

618. К параболе у2 = 2рх проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посередине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания

у2 = Ют. Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы,

624. Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точ­ ки М и с лучом, который, исходя из М, идет параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.

параболы, луч от нее отразился. Составить уравнение прямой, на которой лежит отраженный луч.

626. Доказать, что две параболы, имеющие общую ось и общий фокус, расположенный между их вершинами, пересекаются под прямым углом.

627. Доказать, что если две параболы со взаимно перпенди­ кулярными осями пересекаются в четырех точках, то эти точки лежат на одной окружности.

§ 21. П олярное уравнение элли п са, ги п ер болы и п ар аб о л ы

Полярное уравнение, общее по форме для эллипса, одной ветви гиперболы и параболы, имеет вид

где р, в— полярные координаты произвольной точки линии, р — фокальный па­ раметр (половина фокальной хорды линии, перпендикулярной к ее оси), е — эксцентриситет (в случае параболы е = 1). Полярная система координат при

этом выбрана так, что полюс находится в фокусе, полярная ось направлена по оси линии в сторону, противоположную ближайшей к этому фокусу директрисы.

ное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает

сположительным направлением оси абсцисс, а полюс находится: 1) в левом фокусе эллипса; 2) в правом фокусе.

629 . Дано уравнение гиперболы ^ = 1. Составить поляр­

ное уравнение ее правой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а по­

ное уравнение ее левой ветви, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится:

1) в левом фокусе гиперболы; 2) в правом фокусе.

631 . Дано уравнение параболы у2 = 6х. Составить ее полярное уравнение, считая, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в фокусе параболы.

63 2 . Определить, какие линии даны следующими уравнениями в полярных координатах:

вую ветвь гиперболы, и составить полярные уравнения директрис и асимптот этой гиперболы.

637. На эллипсе р = - — найти точки, полярный радиус которых равен 6.

63 8 . На гиперболе р = 3 _ 45COs J найти точки, полярный радиус которых равен 3.

76 СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 4

639 . На параболе р = j найти точки:

1) с наименьшим полярным радиусом;

2) с полярным радиусом, равным параметру параболы.

640. Дано уравнение эллипса ^2 + ^ 2 = 1- Составить его по­

лярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс

лярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в центре гиперболы.

642. Дано уравнение параболы у2 = 2рх. Составить ее полярное уравнение при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится

ввершине параболы.

§22. Диаметры линий второго порядка

Вкурсе аналитической геометрии доказывается, что середины параллель­ ных хорд линии второго порядка лежат на одной прямой. Эта прямая называет­ ся диаметром линии второго порядка. Диаметр, делящий пополам какую-нибудь хорду (а значит, и все параллельные ей), называется сопряженным этой хорде (и всем хордам, которые ей параллельны). Все диаметры эллипса и гиперболы проходят через центр. Если эллипс задан уравнением

то его диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом к, определяется уравнением

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом к, определяется

уравнением

Ь2

* = ? * * •

Все диаметры параболы параллельны ее оси. Если парабола задана уравнением

у2 = 2раз,

то ее диаметр, сопряженный хордам с угловым коэффициентом к, определяется уравнением

Если один из двух диаметров эллипса или гиперболы делит пополам хорды, параллельные другому, то второй диаметр делит пополам хорды, параллельные первому. Такие два диаметра называются взаимно сопряженными.

Если к и к' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров эллипса ( 1), то

Если к и к' — угловые коэффициенты двух взаимно сопряженных диаметров гиперболы (2), то

Соотношения (3) и (4) называются условиями сопряженности диаметров соот­ ветственно для эллипса и для гиперболы.

Диаметр линии второго порядка, перпендикулярный к сопряженным хордам,

щей через точку Л ( 1; - 2) и делящейся ею пополам.

645 . Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаме­ тров эллипса х2 + 4у2 = 1, из которых один образует с осью Ох угол 45°.

646 . Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаме­ тров эллипса 4х2 4- 9у2 = 1, из которых один параллелен прямой х + 2у - 5 = 0.

647. Составить уравнения двух взаимно сопряженных диаме­ тров эллипса х2 + 3у2 = 1, из которых один перпендикулярен к прямой Зх + 2у - 7 = 0.

648. На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его центр.

649. Доказать, что оси эллипса являются единственной парой его главных диаметров.

650 . Пользуясь свойствами сопряженных диаметров, доказать,

что основание этого треугольника параллельно одной из осей эллипса.

б) Доказать, что стороны прямоугольника, вписанного в эл­ липс, параллельны осям этого эллипса.

в) На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и ли­ нейкой, построить его главные диаметры.

652 . Доказать, что хорды эллипса, соединяющие его произ­ вольную точку с концами любого диаметра этого эллипса, па­ раллельны паре его сопряженных диаметров.

78 СВОЙСТВА ЛИНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [Гл. 4

653. а) Доказать, что сумма квадратов двух сопряженных полудиаметров эллипса есть величина постоянная (равная сумме

двух сопряженных полудиаметрах эллипса, есть величина по­ стоянная (равная площади прямоугольника, построенного на его

ды, которая проходит через точку .4(3; - 1) и делится точкой А пополам.

656. Составить уравнения двух сопряженных диаметров гипер­ болы я2 - 4 у2 = 4, из которых один проходит через точку А (8; 1).

657. Составить уравнения сопряженных диаметров гиперболы

у - ^ = 1, угол между которыми равен 45°.

658. На чертеже изображена гипербола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее центр.

659. Доказать, что оси гиперболы являются единственной па­

ды, которая проходит через точку А (2; 5) и делится точкой А пополам.

663 . Доказать, что ось параболы является единственным ее

главным диаметром.

664 . На чертеже изображена парабола. Пользуясь циркулем и линейкой, построить ее главный диаметр.

Если S (io ; Уо) — центр линии второго порядка, то в результате преобразо­ вания координат по формулам

(что соответствует переносу начала координат в центр линии) ее уравнение при­ мет вид

Ах2 + 2Вху + Су2 + F = О,

где Л, В, С те же, что в данном уравнении (1), a F определяется формулой

F= Dxо -I- Еуо + F.

Вслучае 5 ^ 0 имеет место также следующая формула:

Определитель А называется дискриминантом левой части общего уравнения второй степени.

665. Установить, какие из следующих линий являю тся цен­ тральными (т.е. имеют единственный центр), какие не имеют центра, какие имеют бесконечно много центров:

666. Установить, что следующие линии являю тся центральны­ ми, и для каждой из них найти координаты центра:

667. Установить, что каждая из следующих линий имеет бес­ конечно много центров; для каждой из них составить уравнение геометрического места центров: