книги / Сборник задач по аналитической геометрии

668. Установить, что следующие уравнения определяют цен­ тральные линии; преобразовать каждое из них путем переноса начала координат в центр:

671 . Составить уравнение линии второго порядка, которая, имея центр в начале координат, проходит через точку М (6; —2) и касается прямой т — 2 = 0 в точке N {2; 0).

672. Точка Р (1; - 2) является центром линии второго порядка,

определяющее центральную линию второго порядка (5 = АС — В2 Ф 0). Пере­ нося начало координат в центр S (хо; Уо) этой линии и преобразуя уравнение (1)

Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощи преобразова­

соответствующего повороту осей на угол а .

82 УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ [Гл. 5

где А1 ф О, С ф 0.

З ам еч ан и е . Уравнение (4) позволяет определить tg a , тогда как в форму­ лах (3) участвуют sin а и cos а . Зная tg а , можно найти sin а и cos а по формулам тригонометрии

Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотноше­ ния:

которые позволяют определить коэффициенты А' и С , не проводя преобразо­ вания координат.

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если <5 > 0, гипербо­ лическим, если 6 < 0, и параболическим, если 5 = 0.

Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим или ги­ перболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенно­ го эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геоме­ трического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гипер­ болу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пересекающихся прямых).

673 . Определить тип каждого из следующих уравнений*); каж ­ дое из них путем параллельного переноса осей координат приве­ сти к простейшему виду, установить, какие геометрические обра­ зы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:

3)9т2 -I- 4у2 + 18т - 8у + 49 = 0;

4)4т2 - у2 + 8т - 2у + 3 = 0;

5)2т2 + Зу2 + 8т —6у + 11 = 0.

6 74 . Каждое из следующих уравнений привести к простейше­ му виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже

•) То есть установить, какие из них являются эллиптическими, какие гипер­ болическими и какие параболическими.

расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:

1) 32т2 + 52ту - 7у2 + 180 = 0;

2)5т2 - 6ту + 5у2 - 32 = 0;

3)17т2 - Юту + 8у2 = 0;

4)5т2 + 24ту - 5у2 = 0;

5)5т2 - бту + Ьу2 + 8 = 0.

675 . Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:

5) т 2 - 4ту + 4у2 + 7т - 12 = 0; 6) Зт2 - 2ту - 3у2 + 12у - 15 = 0.

676 . Каждое из следующих уравнений привести к канониче­ скому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изо­ бразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу реше­ ния, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:

1) 41т2 + 24ту + 9у2 + 24т + 18у - 36 = 0;

84 УРАВНЕНИЯ НЕКОТОРЫХ КРИВЫХ [Гл. 5

679. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти ее координаты:

680. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины ее полуосей:

681. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:

682. Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

687 . Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (<5 < 0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда Д 5*0.

§25. П риведение параболического уравнения

кпростейш ему виду

Пусть уравнение

является параболическим, т. е. удовлетворяет условию

5 = АС - В2 = 0.

В этом случае линия, определяемая уравнением (1), либо не имеет центра, либо имеет бесконечно много центров. Упрощение параболического уравнения це­ лесообразно начать с поворота координатных осей, т.е. сначала преобразовать уравнение (1) при помощи формул

где С' ф 0.

Дальнейшее упрощение уравнений (4) и (5) достигается путем параллельного перенесения (повернутых) осей.

6 89 . Установить, что каждое из следующих уравнений явля­ ется параболическим; каждое из них привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

696. Доказать, что параболическое уравнение определяет па­ раболу в том и только в том случае, когда Д ф 0. Доказать, что в этом случае параметр параболы определяется формулой

697 . Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти параметр этой параболы:

698 . Доказать, что уравнение второй степени является урав­

700 . Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет одну прямую (пару слившихся прямых), и найти уравнение этой прямой:

§ 26 . У р авн ен и я н екотор ы х кри вы х, встречающ ихся в м атем ати ке и ее приложениях

7 01 . Составить уравнение геометрического места точек, произ­ ведение расстояний от которых до двух данных точек JPI ( - с ; 0)

7 0 2 . Составить уравнение геометрического места точек, произ­ ведение расстояний от которых до двух данных точек F\ ( - а ; 0) и

ее как частный вид овала Кассини.) Составить также уравнение лемнискаты в полярных координатах, совмещая полярную ось с положительной полуосью Ох и полюс с началом координат.

703. Составить уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на прямые, отсекающие от координатного угла треугольники постоянной пло­ щади S.

У к а з а н и е . Составить уравнение сначала в полярных координатах, совме­ щая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох.

704. Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу 702).

У к а з а н и е . Повернуть координаты оси на угол 45°.

705. Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоянной угловой скоро­ стью ш. Составить в данной системе полярных координат урав­ нение траектории точки М , которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со скоростью v (с п и р а л ь А р х и м е д а , рис. 25).

706. Даны прямая х = 2г и окружность радиуса г, которая проходит через начало координат О и касается данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий данную окружность в точке В и данную прямую в точке С , на котором отложен отрезок ОМ —В С (рис. 26). При вращении луча длина отрезка ОМ меняется и точка М описывает кривую, называемую ц и с ­ со и д о й . Составить уравнение циссоиды.

707. Даны прямая х = а (а > 0) и окружность диаметра а, проходящая через начало координат О и касающ аяся данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий окружность в точке А и данную прямую в точке В . Из точек А и В проведены прямые, параллельные соответственно осям Оу и Ох (рис. 27). Точка М пересечения этих прямых при вращении луча описывает кривую, называемую в е р з ь е р о й . Составить ее уравнение.

7 08 . Из точки А(~а\ 0), где а > 0, проведен луч А В (рис. 28),

в точку А и направляя полярную ось в положительном направ­ лении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

и B N , равные ОВ. При вращении луча точки М и N описыва­ ют кривую, называемую ст р о ф о и д о й . Составить ее уравнение

сначала в полярных координатах, помещая полюс в точке А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных

натах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе

ектории основания М перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок (рис. 31), сначала в полярных координа­ тах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с

712 . Отрезок длины а движется так, что его концы все время находятся на координатных осях (рис. 32). Через концы отрез­ ка проведены прямые, параллельные координатным осям, до их

У к а з а н и е . Составить сначала параметрические уравнения астроиды, вы­ бирая параметр t, как указано на рис. 32 (затем исключить параметр £).

713. Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью х 2 + у 2 =

ектории точки М сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

714 . Нить, намотанная на окружность х2 + у2 = у, разматыва­ ется так, что в точке В , где нить отделяется от окружности, она остается касательной к ней (рис. 33). Найти параметрические