книги / Сборник задач по аналитической геометрии

Д о к а з а т е л ь с т в о . Введем

(декартову прямоугольную) систему

коорди­

нат. Чтобы облегчить выкладки, расположим оси координат специальным обра­

зом, а именно: ось Ох направим по вектору

о, ось Оу поместим в плоскости

векторов о и Ь (считая, что векторы о, Ь приведены к общему началу). В таком

случае будем иметь

Ь = [Х 2\У2; 0 }

с = [Х 3] У3; Z3).

о =

{ X i ; 0; 0}

Теперь находим

[аЬ] =

{0; 0; X xY2),

[[аЬ] с] = {-Х хУ зУ з; Х^У2Х 3; 0).

(1)

С другой стороны,

ас = X iX 3,

Ь(а с ) =

{Х хХ 2Х 3\Х гУ2Х 3; 0 },

Ьс = Х 2Х 3 + У2У3,

а (Ь с) =

{Х хХ2Х3 + X I Y2Y3\0; 0 }.

Следовательно,

Ь (ас) - a (be) = { - X xY2Y3\XiY2X 3t- 0 ).

( 2)

Сравнивая правые части формул (1) и (2), получаем

[[аЬ] с] = 6 (ас) -

а (Ьс),

что и требовалось.

879. Доказать тождество

[а [Ьс]] =

Ь (ас) - с (аЬ).

880. Решить задачу 864, используя тождества, данные в начале

этого параграфа, и тождество задачи 879.

881. Даны вершины треугольника

А (2; —1; —3), £ ( 1 ; 2; —4) и

С (3; —1; —2). Вычислить

координаты вектора h , коллинеарного

с его высотой, опущенной из вершины А на противоположную

сторону, при условии, что вектор h образует с осью Оу тупой

угол и что его

модуль равен 2 у З Т .

882 . Считая, что каждый из векторов а,

Ь, с отличен от нуля,

установить, при каком их взаимном расположении справедливо

равенство [а[Ьс]] =

[[аЬ] с].

883 . Доказать

тождества:

1)

[а[Ьс]] + [Ь[са]] + [с[аЬ]] = 0 ;

2)

[аЬ] [cd] =

(ас) ( bd) -

(ad) (be);

3)

[аЬ] [cd] + [ас] [db] +

[ad] [be] = 0;

4)

[[аЬ] [cd]] =

c (abd) -

d (abc);

5)

[ab] [be] [ca] =

(abc)2;

6)

[а[а[а[аЬ]]]] =

а 4Ь при условии, что векторы а и Ь взаимно

перпендикулярны;

7)

[a[b[cd]]] =

[ас] (bd) - [ad] (be);

8)

a[b[cd]]j =

(acd ) b -

(ab) [cd];

9)

ab]2 [ac]2 -

([ab] [ac])2 = a 2 (abc)2;

10)

[ab] [be]] [[be] [ca]] [[ca] [ab]] = (abc)4;

11)

(ab) [cd] +

(ac) [db] + (ad) [be] = a (bed);

12)

(abc) (ad e) =

abd

abe I

acd

ace ‘

884 .

Три некомпланарных вектора a, b и с приведены к об­

щему началу. Доказать, что плоскость, проходящая через концы

этих векторов, перпендикулярна к вектору

[ab] + [be] + [ca].

885 . Даны

точки

М\ (2; - 3 ;

6),

М2 (0; 7; 0),

М2 (3; 2; - 4),

М\ (2ч/2; 4; - 5 ) , М 5 (1; —4; —5),

MQ(2; 6; —у/Ъ ). Установить, ка­

кие из них

лежат

на поверхности,

определенной

уравнением

х2 + у2 + z2 = 49, и какие не лежат на ней? Какая

поверхность

определена данным уравнением?

натах пространства:

1)

х =

0;

2)

у =

0;

3)

г =

0;

4)

х -

2 = 0;

5)

у + 2 = 0;

6)

z-f-5 = 0;

7)

я2 + у2 + г2 =

25;

8)

(я -

2)2 +

(у + З)2 + (г -

5)2 = 49;

9)

х2 + 2у2 + 3z2 = 0;

10)

х2 + 2у2 + 3z2 + 5

= 0;

11)

х - у

= 0;

12)

x + z = 0;

13)

у -

z =

0;

14) ху —0;

15)

xz =

0;

16)

yz =

0;

17)

xyz =

0;

18)

х2 -

Ах = 0;

19)

ху -

у2 = 0;

20) yz + z2 = 0.

888. Даны

две

точки

F\ ( - с ;

0; 0)

и F2 (с; 0; 0).

Вывести урав­

MF\ + M F2 = 2а.

( 1)

уравнение

___________________

у/ (х + с)2 + у2 + Z2

+ у/ (х - с)2 + у2 + г2 = 2а,

(2)

или

(а2 - с2) х 2 + а2у2 + a2z2 = а2 (а2 - с2).

(3)

или

z l + yl + zI -

(4)

а2 + Ь2 Ь2

ского места их середин.

892 . Из

точки

А (3; —5; 7)

проведены всевозможные лучи до

пересечения с плоскостью

Оху. Составить уравнение геометриче­

ского места их середин.

89 3 . Из точки

С (—3; —5; 9) проведены всевозможные лучи до

пересечения с плоскостью

Oyz. Составить уравнение геометриче­

ского места их середин.

8 94 . Вывести

уравнение геометрического места точек, раз­

ность квадратов

расстояний

от которых

до точек Pi (2; 3; - 5)

и Р2 (2; —7; - 5 ) есть величина постоянная,

равная

13.

8 95 . Вывести

уравнение геометрического места точек, сумма

квадратов

расстояний от

которых до двух точек

Pi (—а; 0; 0) и

Р 2 (а; 0; 0)

равна постоянной

величине 4а2.

896 . Вершины

куба суть

точки А (-а ; - а ; - а ),

В (а; - а ; - а ),

С ( - а ; а; - а ) и Л (а; а; а).

Составить уравнение геометрического

расстояний

от

которых

до двух данных точек Pi (0; 0; - 4 ) и

Р 2 (0; 0; 4)

есть

величина

постоянная, равная 10.

расстояний

от

которых до двух данных точек Pi (0; - 5 ; 0) и

Р2 (0; 5; 0)

есть

величина постоянная, равная 6.§

F ( x ,y ,z ) =

0, Ф (х, у, г) =

0

как пересечение двух поверхностей

F (x , у, г) — 0

и Ф (х, у, г) = 0. Если

F ( x , у, г) —0, Ф (х, у, z) =

0, Ф (х, у, z) = 0 суть уравнения трех поверхностей,

то для разыскания точек их пересечения нужно совместно решить систему

F (х, у, z) =

0, Ф (х, у, г) = 0, Ф (х, у, г) = 0.

116

УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ

[Гл. В

9 00 . Даны точки

М\ (3; 4;

- 4 ) , Мг ( - 3 ; 2; 4),

Мз ( - 1 ;

- 4 ; 4)

и

М4 (2; 3; - 3 ) . Определить,

какие из

них лежат

на

линии

(х - 1)2 + у2 + z2 = 36,

y + z = 0 и какие

не лежат

на

ней.

2)

(х — З)2 + (у + I )2 + (z —2)2 =

25,

х + у =

0;

3)

(х —I )2 + (у + 2)2 + (£ + 2)2 =

9,

х - z =

0.

г - 5

= 0; 8) х2 + у2 + z2 =

9,

£ = 0; 9)

х2 + у2 + £2 =

49, у = 0;

10)

х2 + у2 + £2 = 25, х = 0;

11)

х2 + у2 +

z2 — 20, £ - 2

= 0.

другая имеет

радиус,

равный 5, и центр (7(1; —2; 2).

9 08 . Найти

точки

пересечения

поверхностей

х2 + у2 + z2 =

49,

у — 3 = 0, £ + 6 = 0.

х2 + у2 + z2 =

909 . Найти

точки

пересечения

поверхностей

9,

х2 + у2 + (z -

2)2 = 5,

у - 2 = 0.§

§37]

УРАВНЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ

117

1)

х2 + г2 = 25;

2)

g +

£

= l;

3)

£ -

£ = 1;

4)

х2 = 6z\

5)

х2 -

ху =

0;

6)

х2 -

z2 =

0;

7)

у2 + z2 = 0; 8) х2 + 4у2 + 4 = 0; 9) I 2 + Z 2 = 2Z;

10)

х2 + z2 =

- z .

х2 + {у + 2)2 + (z - I )2 = 25,

х2 + у2 + z2 = 16

на

плоскость:

1) Оху;

2) Oxz\

3) Oyz.

912 . Найти уравнение проекции окружности

(х + I )2 + (г/ + 2)2 + {z —2)2 = 36,

х2 + (у + 2)2 + ( . г - 1 )2 = 25

на

плоскости:

1) Оху,

2) Oxz\

3)

Oyz.

§38]

ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

119

919

. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M i (2; —1; 3) и М2 (3; 1; 2)

параллельно вектору а = {3; - 1; 4}.

920

. Доказать, что

уравнение плоскости, проходящей через

точки

Mi (xi\ ух; z{) и

М2 (х2; Уг\ z2) параллельно

вектору

а =

= {I; т; п}, может быть представлено в следующем виде:

X - X I

у

—у\

z

-Z\

х2 —2 1

уг —2/i

z2 —z\

= 0.

l

т

п

921

. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

M i (3;

- 1; 2), М2 (4;

- 1; - 1) и

М 3 (2; 0; 2).

922

. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точ­

ки M i (®i; 1/1; zi),

М 2 (х2; У2 \z2)

и

Мз (я3; уз\ 23),

может

быть

представлено в следующем

виде:

х

-X I

у

-

2/1

z

—Z\

= 0 .

х 2 - x i

2 /2

-

2/i

z2 -

zi

хз -

xi

у з~ 2 /1

z3 -

z1

1)

2х -

у - 2z + 5 =

0; 2) х + 5у -

z = 0; 3) Зх - 2у - 7 = 0;

4)

Ъу -

3z = 0; 5)

х + 2 = 0; 6)

у - 3 = 0.

ляют параллельные плоскости:

1)

2а; - Zy + 5z - 7 = 0,

2а; - Зу + bz +

3 = 0;

2)

4х + 2у - 4z + 5 = 0,

2х + у + 2z -

1 = 0;

3)

а; — 3z + 2 = 0, 2 i - 6 z - 7 = 0.

ляют

перпендикулярные плоскости:

1)

За; - у -

2z -

5 =

0,

х + 9у - 3z + 2 = 0;

2)

2х + Зу -

z -

3 = 0,

x - y

—z + 5 = 0;

3)

2а; - 5у +

z = 0,

x + 2z -

3 = 0.

1)

2а; + 1у + 3z — 5 = 0,

т х - 6 y - 6 z + 2 = 0;

2)

Зх - у + lz - 9 = 0, 2 х + т у + 2 z - 3 = 0;

3)

тх + Зу - 2z - 1 = 0,

2х - Ъу - lz = 0.

1)

За; — Ъу + lz —3 =

0,

x + 3y + 2z

+ b = 0;

2)

5а; + 2/ ~ 3z — 3 =

0,

2х + ly -

3z

+

1 = 0;

3)

7х - 2у - z = 0}

1х + у - 3z -

1 =

0.

следующих пар плоскостей:

1)

х - у

у/2

- f z - l

= 0,

х + у у/2

- 2

+

3 =

0;

2)

Зу -

2 =

0,

2у +

2 =

0;

3)

6х + Зу -

22 = 0,

х +

+ 62 -

12 =

0;

4)

а: + 2t/ +

2z -

3 =

0,

16х + 12у -

152 - 1

=

0.

929 . Составить уравнение плоскости, которая проходит через

начало координат параллельно плоскости

5х — Зу + 2z — 3 = 0.

930. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

точку

M j (3; - 2 ; - 7 )

параллельно

плоскости

2х -

3z + 5 = 0.

931. Составить уравнение плоскости, которая проходит через

начало координат перпендикулярно к двум плоскостям

2х — у +

+ 3 2 - 1 = 0, я + 2$/ + 2 = 0.

932 . Составить уравнение плоскости,

которая

проходит

че­

рез

точку

Mi (2; - 1; 1)

перпендикулярно

к

двум

плоскостям

2х - 2 + 1 = 0, у = 0.

933 . Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через точ­

ку

Мо (хо; 2/о; 2о)

перпендикулярно

к

плоскостям

А\Х + В\у +

+ C i2 + Di = 0 , А 2х + В 2у + С2х + Z?2 = 0,

может

быть представ­

лено в следующем виде:

X —XQ

У — 2/о

2 -

20

=

0.

Ах

Вх

с2

а 2

в 2

934 . Составить уравнение плоскости, которая проходит через

две

точки

M i (1; - 1 ; - 2 ) и М2 (3; 1; 1)

перпендикулярно

к плос­

кости

х — 2у + 32 — 5 = 0.

935 .

Доказать, что уравнение плоскости, проходящей через две

точки

М\(х\\ у\\ z\) и М2 (х2) у2\z2)

перпендикулярно к

плоско­

сти Ax + B y + C z + D = 0, может быть представлено в следующем

виде:

Х -Х \ У -У\ 2 - 2 1

Я2 -

Х\

J/2

- Ух

22 -

21

= 0.

А

В

С

9 3 6 . Установить, что три плоскости х - 2 у

+ 2 - 7 =

0,

2х + у -

— 2 + 2 = 0, ж — З2/+ 22 — 11

= 0

имеют

одну общую

точку,

и

вычислить

ее координаты.

9 3 7 . Доказать, что три плоскости 7х + 4у + 72 + 1 =

0,

2х - у -

—z + 2 = 0,

х + 2у + 3z —1 = 0

проходят через

одну

прямую.

9 38 . Доказать,

что

три

плоскости

2х -

у + З2 - 5 =

0,

Зх + у +

+ 2z —1 = 0, 4х + 3у + 2 + 2 = 0 пересекаются

по трем

различным

параллельным прямым.

9 3 9 . Определить, при каких значениях а

и b плоскости 2гс—у +

+ З2 -

1 = 0, х + 2у —2 + Ь = 0,

х + ау - 62 + 1 0 = 0:

1)

имеют одну