книги / Сборник задач по аналитической геометрии

О ТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

181

Р и с . 1 0 9

Р и с . 1 1 0

3)

С (2; —1),

а = 3,

b =

4,

е = 1,25,

уравнения директрис:

у =

- 4 ,2 ,

у =

2,2,

уравнения

асимптот:

4х

+

Зу -

5 =

0,

4х -

Зу -

11

=

0.

542 . 1)

Часть

гиперболы

(х

------= 1, расположенная

над

прямой

у +

1

=

О

(рис. 112); 2)

ветвь

гиперболы

(х —312

(v —7)2

= —1, расположенная под

4

4

------'" 'у

'

прямой

у -

7

=

О

(рис.

113);

3)

ветвь

гиперболы

^

------.(У-' t 2)

=

i t

расположенная

влево

от

прямой

х -

9 =

0 (рис. 114);

4)

часть гиперболы

^

^ ------(у

=

1, расположенная влево от прямой х -

5 =

О (рис.

115).

54 3 .

1)

25

=

1; 2) 24ху + 7у2 — 144 =

0; 3) 2ху + 2 х - 2 у + 7 =

0.

- 2

„2

т2

-.2

54 0 . х 2 -

4у2 -

6х -

***• H - V =

*•

545- И

-

ш

=

- 1 .

24у - 47 =

0.

5 4 7 .

7х2—бху—у2+ 2б х —18у—1 7 = 0 . 5 4 8 . 91х2-

-

ЮОху + 16у2 -

136х + 86у -

47 = 0. 5 4 9 . ху =

=

а2/2 при повороте старых осей на угол - 4 5 ° ;

ху

=

—а2/2

при повороте

их

на угол

+ 45°.

5 5 0 . 1) С (0; 0), а =

Ь= 6 , уравнения асимптот:

х = 0 и у =

0 ; 2) С ( 0; 0), а = b =

3, уравнения

асимптот: х =

0 и у =

0; 3)

(7(0; 0), а = 6 =

5,

уравнения асимптот: х = 0 и у =

0. 5 5 1 . (6; 2) и

(14/3, - 2 / 3 ) .

5 5 2 . (25/4; 3 ) — прямая

касается

гиперболы.

553 . Прямая

проходит вне гипер­

болы.

5 5 4 .

1)Касается гиперболы; 2) пересе­

кает гиперболу в двух точках; 3) проходит вне

Р и с .

111

гиперболы.

5 5 5 . 1)

При |т| >

4,5 пересекает

182

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

гиперболу,

2) при т = ±4,5 касается гиперболы; 3)

при |т| < 4,5 проходит вне

гиперболы.

556. к2а2 - Ь2 = т2.

557 . Д у -

= 1. 559 . Зх - 4у -

10 =

0,

Зх - 4у + 10 = 0. 560 . 10х - 3у -

32 = 0, 10х -

Зу +

32 = 0.

561

. х + 2у -

4 =

0,

х^-2у+4 =

0; d = 8 у/Ъ /5 . 562 . М\ ( —6; 3); d ~

11 V 13 /13.

563 .

5х —Зу —16 =

0,

Р и с . 1 1 2

Р и с . 1 1 3

13х + 5у + 48 = 0. 564 . 2х + 5 у - 1 6

= 0.

565 . d =

17'/Т О /10.

566 .

^

=

1,

^

^

=

1-

567 .

-

£

=

1.

568 . х

=

- 4 ,

х

=

4, у

=

- 1

и

у =

1.

572.

^

=

1.

573 .

^

=

1.

575 . 2х

+ 11у +

6

=

0.

У к азан и е .

Воспользоваться свойством гиперболы, сформулированным в за­

даче 574 . 577.

х 2 -

у2 =

16.

5 7 8 . yjl -

^

1.

57 9 . § 5 -

^

=

1. 5 8 0 . g = 2/3 .

581. q

- 2.

582 .

=

2,

q2

=

5/7.

583 .

1) у2 =

6х; 2) у2 = - х ;

3) х 2 =

| у;

Р и с .

1 1 5

=

1/ 2,

в нижней

полуплоскости

симметрично оси Оу.

585 .

1) у2 =

4Ж.

2) у2 =

—9х; 3) х 2 =

у; 4) х 2 = - 2у.

58 6 . 40см .

587 . х 2 =

- 12у.

5 8 8 . 1) Часть

параболы

у2 = 4х,

расположенная в первом координатном углу (рис.

116)-

2)

часть

параболы

у2 = - х , расположенная

во втором

координатном

углу

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

183

(рис. 117); 3) часть параболы у2 = —18®,

расположенная

в третьем коорди­

натном углу (рис. 118); 4) часть параболы

у2 = 4х, расположенная в четвер­

том

координатном углу (рис. 119); 5) часть параболы

х 2

= 5у,

расположен­

ная

в первом координатном углу (рис. 120); 6) часть

параболы

х 2

= -25у ,

расположенная в третьем координатном углу (рис. 121);

7) часть

параболы

х2 =

Зу, расположенная во втором координатном углу (рис. 122); 8) часть па­

раболы х 2 =

—16у, расположенная в четвертом координатном углу (рис. 123).

5 8 9 . F ( 6; 0),

х +

6 = 0.

59

0 .

12. 591 .

6 .

59 2 . (9;

12), (9; -1 2 ). 593 . у2 =

-2 8 х .

59 4 .

1) (у -/?)2 =

2 р (х —а ); 2) (у -/?)2 =

- 2 р ( х - а ) .

595 .

1) ( х - а )2 =

2р (у - 0 );

2)

(х

- а )2

=

—2р(у

- Р).

596 .

1)

А (2; 0), р

=

2,

х

-

1

= 0; 2)

А (2/3; 0),

р =

3,

6х

-

13

=

0 ; 3)

А (0;

- 1 / 3 ) ,

р

= 3, 6у +

11

=

0;

4)

А (0; 2),

р

= 1/2,

4у -

9

=

0.

5 9 7 .

1) А ( - 2

; 1), р =

2;

2) А ( 1; 3), р

=

1/ 8;

3) А (6; -

1),

р = 3.

5 9 8 .

1) А ( - 4 ; 3),

р = 1/4;

2)

А (1; 2), р = 2; 3) А (0; 1), р =

1/2. 599 .

1)

Часть

параболы (у — З)2 = 16

(х — 1), расположенная под прямой у — 3 = 0 (рнс. 124);

расположенная

под прямой у + 5 = 0 (рис.

127).

600 . х

=

^ у2 - У +

7.

6 0 1

. у = | х 2 -

х + 3. 602 . х 2 +

2ху + у2 -

6х + 2у + 9 =

0.

60 3 . F ( 9; -

8).

604

. 4х2 -4 х у + у 2+32х+34у+89 =

0. 605 . (2; 1), ( - 6

; 9). 606 . ( - 4 ; 6) — прямая

касается параболы. 607 . Прямая и парабола не пересекаются.

6 0 8 . 1) Каса­

Ри с. 126

609 .

1) к < 1/ 2;

2)

к =

1/ 2;

3)

к >

1/ 2.

610 . р =

2Ьк. 612 . yiy =

р (х +

x i).

61 3 .

х + у + 2 =

0.

614 . 2х -

у - 16 =

0.

61 5 . d =

2 \ЛТ.

6 1 6 . Mi (9; -2 4 );

d =

10.

617 . Зх -

у +

3

=

0

и Зх - 2у +

12

=

0.

619 . 5х

-

18у +

25

=

0 .

62 0 . d =

174/13.

621 . (6; 12),

(6; -1 2 ).

622 . (10;

>/30"),

(10;

-\/Ш Г),

(2; х/<Г),

(2; - v ^ ) .

623 . (2; 1), ( - 1 ; 4),

и

1 ^ Ж

) .

6 2 5 . у -

18 =

0.

У к а з а н и е .

Воспользоваться свойством параболы, сфор-

мулировадным .

задаче

624.

628 . 1)

р =

g . j A

g g ;

2)

р

=

5 + j 6cos „ .

Ч "

=

2>

'

=

- Г Г Г Ш З -

в30- Ч

р

= S + lT c o s ^

.

Р

=

144

3

2)

~5~+Тз cos0 *

в 31'^

=

1 -

cos 0 •

6 3 2 ‘

Эллипс:

2)

парабола;

3)

ветвь

гиперболы; 4)

эллипс; 5)

ветвь

гиперболы;

6)

парабола.

6 3 3 .

13

и

12.

634 . 8

и 6.

635 . р ■

21

29

636 . Уравнения дирек-

” 2 cos в ’

2 cos 0 ‘

трис: р =

=

16

Г '

УР^нения асимптот: р =

3 sin-

20

20

~ГЕБ5

4 cos g

'

=

637 . (6; тг/4),

(6; -тг/4).

638 .

(3; 2тг/3),

( 3 ; -2тг/3).

~ Я1 Гп6>+Ц4 costf-

6 3 9 .

1) (р/2; 7г);

2)

(р; тг/2),

(р;

-тг/2).

6 4 0 . р2

=

------- £12cos2 0 .

6 4 1 . д2

=

_______Ь2

Г.

642 . р =

-

-

643 .

8х +

25у =

1 - £

с

32у -

73 =

0.

е2

сов2 0

-

в т г 0

- .

0.

6 4 4 . 9х -

— 1 ’

6 4 5 . х -

у

=

0, х +

4у

=

0.

646 . х + 2у

=

0,

8х

-

9у

=

0.

6 4 7 . х +

2у

=

0,

2х

-

3у

=

0.

654 .

2х

— 5у

=

0.

65 5 .

7х +

у -

20

=

0.

6 5 6 . х

-

8у

=

0 ,

6 6 2 . 2х - у + 1 =

о.

665 . Линии 1), 2), 5)

и 8)

имеют единственный

центр,

3), 7) не имеют центра, 4), 6) имеют бесконечно много центров. 6

6 6 . 1) (3;

- 2 ) ;

2)

(0;

- 5 ) ; 3) (0; 0);

4) ( - 1; 3).

667 . 1) х -

Зу -

6

=

0; 2)

2х

+ у -

2

=

0;

3)

5х -

у + 4 = 0.

6 6 8 . 1) 9х2 -

18ху + бу2 +

2 =

0;

2)

6х 2 +

4ху + у2 -

7 =

0;

3 )4 х + 6х у + у 2 _ 5

= 0; 4) 4х2 + 2 х у + 6 у 2 + 1 =

0. 66 9 . 1) т ф 4, п — любое зна­

чение; 2) m s 4, п ф 6; 3) m = 4, п = 6. 6 7 0 . 1) fc =

2; 2) A:i =

- 1 ,

к2 = 5; 3) при

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

185

к > 5. 6 7 1 . х 2 — 8у2 —4 = 0 . 6 7 2 . х2 + ху + у 2 +3у = 0.

673 . 1) Эллиптическое

уравнение, определяет эллипс х12 + v'2 =

1, 0 '(5 ;

- 2 ) — новое начало; 2) гипер-

х ' 2

V12

= 1, 0'(3; —2) — новое

болическое уравнение, определяет гиперболу -jg—

х ' 2

+

V 12

= 1, не определяет никакого гео­

начало; 3) эллиптическое уравнение —

У У

чУ

—

/V

/

nN

/

i

1

~ /

О \ У

ж

Р и с . 130

Р и с. 131

6 7 4 * ) .

х /2

V12

1)Г и п е р б о л и ч е с к о е у р а в н е н и е , о п р е д е л я е т г и п е р б о л у -д-------- =

1,

tg a =

—2, co sa =

1/\ /1Г, sin a =

—2/\ /1Г; 2) эллиптическое уравнение, опреде-

ляет эллипс ^ +

= 1, a = 45°; 3) эллиптическое уравнение, определяет вы­

186

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

sin а =

2/ у/Ь\ 4) гиперболическое уравнение определяет вырожденную гипер­

нение которой приводится к виду х'2 — V12

1 путем двух последовательных

преобразований координат: х = х + 2, у =

у — 1 и х ;

*'

ц -

х‘ + У'

^ 72

• » -

V J

го приводится к виду

^ j- +

= 1 путем последовательных преобразований

координат: х = х - 1,

у = у + 1 и х = х

■, у = Х ^

(рис. 129); 3) гипер-

виду

х '2

v'2

1 путем двух последовательных преобразований координат:

-д-----^g- =

д,/ __ 2 ,

Лд,/ *

*./

х =

х + 3,

у =

у — 4 и х = —

, у = —^ 5

" (РисI39); 4) гиперболи­

х = х —1, у = у и х = —-Ф ^

, у = ~ 3д + У. . б) эллиптическое уравнение;

v lO

v 10

дится к виду 2х,г + Зу' 2 =

0 путем двух последовательных преобразований

координат: х =

х, у =

у - 2 и х =

~^

ш. У =

*

• 677 • fo

+

V

=

1 ~ '

эллипс; 2) 9х2 -

16у2 = 5 — гипербола; 3) х 2 - 4 у 2 = 0 — вырожденная гипербо­

л а — пара пересекающихся прямых, уравнения которых х -

2у = 0 , х + 2у =

0;

4) 2х2 + 3у2 =

- 1 — «мнимый эллипс», уравнение не определяет никакого гео­

метрического образа; 5) х 2 + 2у2 =

0 — вырожденный эллипс, уравнение опре-

деляет

единственную

точку — начало

ч х 2

V2

=

1 — эллипс;

координат, 6) "д" +

4

7)

^ --- у2

=

1 — гипербола;

8)

+

у2 = 1 — эллипс.

67 8 .

1)

3

и

1;

2)

3

и 2; 3)

1 и 1/2; 4) 3 и 2. 679 .

1) х =

2, у = 3; 2) х =

3, у =

- 3 ; 3) х =

1, у =

- 1 ;

4) х =

—2, у =

1.

680 .

1) 2 и 1; 2) 5 и 1; 3) 4 и 2; 4)

1 и 1/2.

68 1 .

1 )х + у - 1

=

0,

Зх +

у

= 1

=

0;

2) х -

4у -

2 = 0,

х -

2у + 2 =

0;

3) х

-

у =

0,

х

-

Зу

=

0;

4 ) х + у - 3

= 0, х + Зу —3 = 0.

6 8 2 .

1) Эллипс; 2) гипербола; 3) пара пересекаю­

приводится к виду у" 2 = 2х"

путем двух последовательных преобразований

координат: х =

— 5+ Зу> , у =

и х ' = х', - 3 , у ' = у " - ( - 2 (рис. 132);

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

187

последовательных преобразований координат: х =

, у =

и

s ' = х " +

, у' = у" (рис. 133); 3) параболическое уравнение, не определяет

никакого геометрического образа; приводится к виду у"2 + I = 0

путем двух

последовательных преобразований координат: х =

, у =

и

х' = х", у1 = у" —4. 6 9 0 . 1) у2 = 6х — парабола; 2) у2 — 25 —

вырожденная

парабола— пара параллельных прямых, уравнения которых у —5

= 0, у + 5 = 0;

осью абсцисс. 69 3 .

1) (а; + 2у)2 + 4х + у — 15 =

0; 2) (Зх — у)2 - х + 2у - 14 = в;

3) (5 х - 2 у )2+ З х -у + 1 1

=

0; 4) (4х+ 2у )2- 5 х + 7 у =

0; 5) (З х -7 у )2+ З х -2 у -2 4

= 0.

69 7 . 1)

3;

2) 3;

3)

у/2\

4) л/То"/2.

699 .

1)

2х +

у -

5

=

0,

2х + у - 1

=

0;

2) 2х — Зу — 1 =

0, 2х — Зу + И

=

0;

3)

5х — у — 3

=

0,

5х — у + 5

=

0.

7 0 0 . 1) х - З у + 2 =

0;

2)З х + 5у + 7 =

0;

3 ) 4 х - 2 у - 9

=

0. 701 . (х 2 + у2)2 -

- 2с2 (х2 -

у2)

=

а4 -

с4 .

7 0 2 . (х 2 +

у2)2

=

2а2 (х 2 -

у2);

р2 = 2а2 cos 20.

7 0 3 . р2 =

S sin20; (х 2+ у 2)2 = 25ху . 7 0 5 . р = ^ 0 н р =

- ^ 0 .

706 . (2г - х ) у 2 =

= х 3.

707 . х (а2 +

у2) =

а3 .

7 0 8 . р =

^

±

6; х 2у2 +

(х + а)2 (х 2 - Ь2) =

0.

709 . р

=

±

а tg 0;

х 2 [(* +

о)2 + у2]

= а2у2.

710 . р

=

2а cos0

±

Ь;

(а2 + у2 -

2ох)2 =

62 (х 2 +

у2).

7 1 1 . р

=

а I sin 2 0 1;

(х 2 +

у2)3 = 4а2х 2у2.

7 1 2 . x = ocos3 t, у = asin3 t; х 2/3 +

у2/3 = а2/3.

7 1 3 .р = асов3 0;

(х 2 + у2)2 = ох3

7 1 4 . х

= a (cos i-H

sin t); у =

a (s in t - t

sint).

71 5 . x = a (t -s in t), у = a (1 -c o s t);

x + у/ у (2а — у) — a arccos

7 1 6 . x = a ( 2

cost -

cos 2t), y = a (2

s in t-s in 2 t);

p = 2a (l —cos0).

717 . x =

(a+ b) co st-a co s^ -j^ i, у =

(a+b) s i n t - a sin

t.

718 . x = (b - a)

cost +

a cos

t, у =

(6 -

a) sint - a sin

t.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

189

М гС -ч/Т ; —/ Т ;

—/ Т ) . 7 6 1 . См. рис. 134. 76 2 .

| а - 6 |= 22. 763 . |а+Ь| = 20.

764 . |а

+

Ь | =

|а — 6 | = 13. 765 . |а

+

Ь| =

-/129 и 11,4, |а - Ь| = 7.

766 . |а

+

Ъ|= v/IsT та4,4, |а — Ь|= 7. 7 6

7 .

1) Векторы а и Ьдолжны быть вза­

3) угол между векторами а и Ъдолжен быть тупым. 768 . |а |=

|6 1. 769 . См.

рис.

135.

774 .

|Д| =

15 Н.

77 5 . 1)

{1; - 1 ; 6}; 2) {5; - 3 ;

6};

3)

{ 6; - 4 ; 12};

4)

{1; - 1 / 2 ; 0 };

5)

{0; -

1; 12}

6) {3;

—5/3; 2}.

776 . Вектор

Ь длиннее векто­

ра

а

в три раза;

они направлены в противоположные стороны.

777 . а = 4,

Р =

- 1 .

77 9 . Вектор ~АВ в два раза длиннее вектора CD; они направлены

в одну сторону.

7 8 0 . а0 = {6 /7 ; - 2 / 7 ; - 3 / 7 } .

781 . а 0 = {3/13; 4/13; - 1 2 /1 3 }.

78 2 .

|а + 6 |= 6, |о — 6 |=

14.

78 3 . d = -4 8 * + 4 5 j-3 6 fc .

784 . с =

{ - 3 ; 15; 12}.

785 .

AM = { 3; 4; -

3}, Ш

=

{0;

- 5 ; 3 }, CP = { - 3 ;

1; 0 }. 787 .

а =

2р + 5g.

788 . а = 2Ь + с, Ь =

| а - ^ с, с =

а - 2 Ь. 789 . р = 2а -З Ь .

790 . AM =

\ Ь+ ^ с,

BN = ^ с - Ь, СР =

^ Ь -

с,

где М, N и Р — середины сторон треугольни­

ка АВС . 791 . AD =

11АВ - 7АС, ~BD = 10АВ - 7АС, CD =

ПАВ - 8АС,

AD + BD + CD = 32~АВ -

22ЛС.

793 . с = 2р - 3 q + г.

794 . d =

2а - 36 + с,

с =

—2а + ЗЬ + d, 6 =

| а +

1 с -

J

d, а = | 6 - j с + j

d.

795 . 1) - 6; 2) 9; 3) 16;

4)

13; 5) - 6 1 ; 6) 37; 7) 73.

79 6 .

1) -6 2 ; 2) 162; 3) 373.

797 . Сумма квадратов диа­

гоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 798 . -ab = ab,

ab =

ab, когда векторы а

и b коллинеарны и имеют одинаковые направле­

ния.

79 9 . При условии, что Ь перпендикулярен к векторам а и с, и также в

том

случае, когда векторы

а и с коллинеарны.

80 0 . ab =

Ьс +

са =

—3/2.

8 0 1 .

аЬ А-Ьс + са =

- 1 3 .

8 0 2 . |р|

= 10.

80 3 .

а = ± 3 /5 .

80 4 .

|а|

= |Ь|.

8 0 7 .

BD = Щ с - Ь .

8 0 8 .

а = arccos

-^==.

8 0 9 .

tp = arccos ( - ^ ) -

81 0 .

Плос­

осях

отрезки, величины которых, считая от точки А, равны

а / |а| и /?/| Ь|.

812 .

1)

22;

2) 6;

3)

7;

4) -2 0 0 ;

5)

129;

6) 4 1 ._ 8 1 3 J .7 -

814 .

-5 2 4 ;

2)

13;

3)

3;

4)

(АВ

АС )ВС =

{ - 7 0 ;

70;

-3 5 0 }

и

А В{А С ■ВС) = { - 7 8 ; 104;

- 3 1 2 }.

815 .

31. 816. 13. 818 . а

= - 6.

819 . cosy» =

5/21. 820 . 45°.

821 . arccos( - 4 /9 ) .

823 .

х

=

{- 2 4 ;

32; 30}.

824 . х

=

{1;

1/2;

- 1 / 2 } .

825 . х

=

- 4 г -

6j

+

12k.

826 .

х

=

{ - 3 ; 3; 3}.

827 . z

=

{2;

- 3 ;

0}.

828 .

х =

2i +

3j - 2k.

8 2 9 .

y/J.

830.

- 3 .

831 . - 5 .

832 .

6.

833 .

- 4 .

834 . 5.

835 . -

11.

836 . X

=

- 1 4 /3 ,

Y =

-1 4 /3 ,

Z =

- 7 /3 .

837 . 3.

838 . -4 7 /7 .

839 .

|[oft] |=

15. 8 4 0 . |[ab] |=

16.

841 . ab

=

±30.

842 .

1)

24;

2)

60.

843 .

1) 3;

2) 27;

3)

300.

844 . Векторы

а и b должны быть коллинеарны.

846 . В случае перпендикулярности векто­

ров

о и Ь.

850 . 1) {5; 1; 7};

2)

{10;

2; 14};

3) {20;

4; 28}.

851 .

1)

{ 6; - 4 ;

-

6};

2)

{ - 1 2 ;

8; 12}.

852 . {2; 11; 7}.

853 . { - 4 ; 3; 4}.

854 .

15;

cos а

=

2/3,

cos /? =

=

-2 /1 5 ,

cos 7

=

11/15.

855 . 28;

cos а

=

- 3 / 7 ,

cos/3

=

- 6 / 7 ,

cos 7

=

2/7 .

856 .

4/ 66"; cosa

=

1/ 4/ 66*, cos/?

=

- 4/ 4/ 66*, COS7

= -

7/ 4/бёГ.

85 7 .

14.

8 5 8 .

5.

859 . sin ip =

5 4/T 7*/21.

860 . { - 6; - 2 4 ;

8}.

861 .

m

=

{45; 24; 0}.

8 6 2 . x

=

=

{7; 5; 1}.

864 . [[ab] c] = { - 7 ;

14;

- 7 } ;

[a[bc\] =

{ 10;

13;

19}.

8 6 5 .

1) Правая;

и минус, когда эта тройка левая.

8 6 8 . В том

случае, когда векторы а, Ь, с

взаимно перпендикулярны.

873 . abc = —7.

874 . 1) Компланарны; 2) не ком­

планарны; 3) компланарны.

87 6 .

3.

877 .

11.

878 . D i (0; 8 ; 0),

Х>2 (0; —7; 0).

8 8 1 . X = - 6, Y = - 8; Z = - 6. 8 8 2 . Векторы а и с должны быть коллинеарны

или вектор b должен быть перпендикулярен

к векторам а и с.

8 8 5 . Точки

M i, М2, М4 лежат на поверхности,

точки М3, М5, Me не лежат на ней.