книги / Сборник задач по аналитической геометрии

Г л а в а в т о р а я

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ

§ 8 . Ф ункция д в у х переменных

Если указано правило, согласно которому с каждой точкой М плоскости (или какой-нибудь части плоскости) сопоставляется некоторое число и, то говорят, что на плоскости (или на части плоскости) «задана функция точки»; задание функции символически выражают равенством вида и = f(M ). Число и, со­ поставляемое с точкой М , называется значением данной функции в точке М. Например, если А — фиксированная точка плоскости, М — произвольная точка, то расстояние от А до М есть функция точки М. В данном случае / (М ) = AM.

Пусть дана некоторая функция и = / (М ) и вместе с тем введена система координат. Тогда произвольная точка М определяется координатами х, у. Со­ ответственно этому и значение данной функции в точке М определяется коор­ динатами х, у, или, как еще говорят, и = / (М) есть функция двух переменных

ции в выбранной системе координат. Так, в предыдущем примере / (М) — АМ\ если ввести декартову прямоугольную систему координат с началом в точке А, то получим выражение этой функции:

и = у/ X2 + у2 .

146. Даны две точки Р и (?, расстояние между которыми равно а, и функция / (М ) = d\ —(Ц, где d\ — М Р и do = MQ. Определить выражение этой функции, если в качестве начала координат принята точка Р , а ось Ох направлена по отрезку PQ.

147. При условиях задачи 146 определить выражение функции / (М ) (непосредственно и при помощи преобразования координат,

направлена по отрезку PQ.

2) начало координат выбрано в точке Р , а ось Ох направлена

Определить выражение этой функции, если за оси координат при­ няты диагонали квадрата (причем ось Ох направлена по отрезку

А С , ось Оу — по отрезку BD ).

22 УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ [Гл. 2

149. При условиях задачи 148 определить выражение для / (М ) (непосредственно и при помощи преобразования координат, ис­ пользуя результат задачи 148), если начало координат выбрано в точке А, а оси координат направлены по его сторонам (ось О х— по отрезку А В Уось Оу— по отрезку AD).

150. Дана функция / (ж, у) = х2 + у2 —6х + 8у. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку 0'{3; - 4 ) .

151. Дана функция / (х , у) = ж2 — у2 —16. Определить выраже­ ние этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на угол —45°.

152. Дана функция / (х , у) = х2 + у2. Определить выражение этой функции в новой системе координат, если координатные оси повернуты на некоторый угол а.

153. Найти такую точку, чтобы при переносе и нее начала координат выражение функции f( x , у) = ж2- 4 ?/2—6 я + 8 у + 3 после преобразования не содержало членов первой степени относительно новьрс переменных.

154. Найти такую точку, чтобы при переносе в нее начала координат выражение функции / (ж, у) = х2 - 4ху + 4у2+ 2х + у —7 не содержало членов первой степени относительно новых пере­ менных.

155. На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции / (ж, у) = ж2 - 2жу + у2 —6ж + 3 после преобра­ зования не содержало члена с произведением новых переменных?

156. На какой угол нужно повернуть координатные оси, чтобы выражение функции / (ж, у) = Зж2 + 2 у/З ху + у2 после преобразо­ вания не содержало члена с произведением новых переменных?

§ 9. Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения

если при подстановке этих чисел вместо переменных х и у в уравнение его левая часть обращается в нуль.

Уравнением данной линии (в назначенной системе координат) называется такое уравнение с двумя переменными, которому удовлетворяют координаты каждой точки, лежащей на этой линии, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на ней.

В дальнейшем вместо выражения «дано уравнение линии F (х, у) = 0» мы часто будем говорить короче: «дана линия F (х, у) = 0». Если даны уравнения

двух линий F (х, у) = 0 и Ф (х, у) = 0, то совместное решение системы

F (х, у) = О, Ф (х, у) = 0

дает все точки их пересечения. Точнее, каждая пара чисел, являющаяся со­ вместным решением этой системы, определяет одну из точек пересечения.

М5 (5; —5), Мб (3; —2). Установить, какие из данных точек лежат на линии, определенной уравнением т + у = 0, и какие не лежат на ней. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

158. На линии, определенной уравнением х2 + у2 = 25, найти точки, абсциссы которых равны следующим числам: 1) 0; 2) - 3; 3) 5; 4) 7; на этой же линии найти точки, ординаты которых равны следующим числам: 5) 3; 6) - 5 ; 7) —8. Какая линия определена данным уравнением? (Изобразить ее на чертеже.)

159 . Установить, какие линии определяются следующими урав­ нениями (построить их на чертеже): 1) х - у = 0; 2) х + у = 0; 3) 1 - 2 = 0; 4) т + 3 = 0; 5) у - 5 = 0; 6) у + 2 = 0

какие из этих точек лежат на линии, определенной в полярных

*) В тех случаях, когда система координат не названа, подразумевается, что

она декартова прямоугольная.

(Построить ее на чертеже.)

166. Установить, какие линии определяются в полярных ко­ ординатах следующими уравнениями (построить их на чертеже):

170. Определить длины отрезков, на которые рассекает спи­ раль Архимеда р = 30 луч, выходящий из полюса и наклоненный к полярной оси под углом 0 = 7г/6. Сделать чертеж.

171. На спирали Архимеда р = 50/7Г взята точка С, полярный радиус которой равен 47. Определить, на сколько частей эта спираль рассекает полярный радиус точки С. Сделать чертеж.

172. На гиперболической спирали р = 60 найти точку Р , по­ лярный радиус которой равен 12. Сделать чертеж.

173. На логарифмической спирали р = 3° найти точку Q, по­ лярный радиус которой равен 81. Сделать чертеж.§

§ 10. В ы во д уравнений заран ее дан ны х линий

В задачах предыдущего параграфа линия определялась при помощи данного уравнения. Здесь мы будем иметь задачи противоположного характера: в каж­ дой из них линия определяется чисто геометрически, а уравнение ее требуется найти.

П ри м ер 1. В декартовой прямоугольной системе координат вывести урав­

нение геометрического места точек, сумма квадратов расстояний которых до двух данных точек А\ (—а; 0) и А2 (а; 0) есть величина постоянная, равная 4а2 .

Р е ш е ни е . Обозначим буквой М произвольную точку линии, буквами х и у обозначим координаты этой точки. Так как точка М может занимать на линии любое положение, то х и у являются переменными величинами; их называют

В этом соотношении при движении точки М могут меняться длины МА\ и МАч. Выразим их через текущие координаты точки М:

МА\ — y j(х + а)2 + у2 , МАч = \J {х —а)2 + у2 .

Подставив полученные выражения в равенство (1), найдем уравнение, свя­ зывающее координаты х, у точки М:

Это и есть уравнение данной линии.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на этой линии, выполняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М будут удовлетворять урав­ нению (2); для каждой точки А/, не лежащей на линии, не будет выполняться условие ( 1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравне­ нию (2).

Таким образом, задача решена. Однако уравнение (2) можно упростить; рас­ крывая скобки и приводя подобные члены, получим уравнение данной линии в виде

х2 + у2 = а2.

Теперь легко понять, что данная линия есть окружность с центром в начале координат и радиусом, равным а.

П р и м е р 2. В полярной системе координат вывести уравнение окружности, которая имеет центр С (р 0; 0о) и радиус г (рис. 7).

Р е ш е н и е . Обозначим буквой М произвольную точку окружности, буквами р и 0 — ее полярные координаты. Так как точка М может занимать на окруж­

Выразим СМ через текущие координаты точ­ ки М (воспользуемся теоремой косинусов; рис. 7):

СМ = У р2 + р% ~ 2р0р cos (0 - Оо) .

Подставив полученное выражение в равенство (1), найдем уравнение, связы­ вающее координаты р, 0 точки М:

Это и есть уравнение данной окружности.

Действительно, для каждой точки М, лежащей на данной окружности, вы­ полняется условие (1) и, следовательно, координаты точки М будут удовлетво­ рять уравнению (2); для каждой точки М, не лежащей на данной окружности, не будет выполняться условие (1) и, следовательно, ее координаты не будут удовлетворять уравнению (2).

Таким образом, задача решена. Можно лишь несколько упростить получен­ ное уравнение и представить его в виде, свободном от радикала:

р2 - 2р0р соз (0 - 0О) = г2 - р%.

174. Вывести уравнение геометрического места точек, одинако­ во удаленных от координатных осей.

175. Вывести уравнение геометрического места точек, находя­ щихся на расстоянии а от оси Оу.

176. Вывести уравнение геометрического места точек, находя­ щихся на расстоянии Ь от оси Ох.

УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ [Гл. 2

177. Из точки Р (6; —8) проведены всевозможные лучи до пе­

4)А(3; - 1 ) и В ( 3; 5).

180. Составить уравнение геометрического места точек, раз­

ность квадратов расстояний которых до точек А ( - а ; 0) и В (а; 0) равна с.

181. Вывести уравнение окружности, имеющей центр в начале координат и радиус г.

182. Вывести уравнение окружности, имеющей центр С (а;/ 3) и радиус г.

183. Дано уравнение окружности х2 + у2 = 25. Составить урав­ нение геометрического места середин тех хорд этой окружности, длина которых равна 8.

184. Составить уравнение геометрического места точек, сум­

чек, сумма квадратов расстояний которых до сторон этого квад­ рата есть величина постоянная, равная 6а2.

186. Через начало координат проведены всевозможные хорды окружности (х - 8)2 + у2 = 64. Составить уравнение геометриче­ ского места середин этих хорд.

187. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма расстояний которых до двух данных точек F\ ( - 3 ; 0) и F2 (3; 0) есть величина постоянная, равная 10.

188. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек Fi ( - 5; 0) и F2 (5; 0) есть величина постоянная, равная 6.

189. Вывести уравнение геометрического места точек, для ко­ торых расстояние до данной точки F (3; 0) равно расстоянию до данной прямой х + 3 = 0.

190. Вывести уравнение геометрического места точек, сумма

191. Вывести уравнение геометрического места точек, разность расстояний которых до двух данных точек Fi ( - с ; 0) и F2 (с; 0)

192. Вывести уравнение геометрического места точек, для ко­ торых расстояние до данной точки F ( p / 2; 0) равно расстоянию до данной прямой х = —р/2. Это геометрическое место называет­ ся параболой, точка F — фокусом параболы, данная прямая— ее директрисой.

193. Вывести уравнение геометрического места точек, для ко­ торых отношение расстояния до данной точки F ( - 4 ; 0) к рассто­ янию до данной прямой Ах + 25 = 0 равно 4/5.

194 . Вывести уравнение геометрического места точек, для ко­ торых отношение расстояния до данной точки F ( - 5 ; 0) к рассто­ янию до данной прямой 5х + 16 = 0 равно 5/4.

195. Вывести уравнение геометрического места точек, для

196 . Вывести уравнение геометрического места точек, для

197 . Вывести уравнение геометрического места точек, для кото­ рых кратчайшие расстояния до данной окружности (х - 5 )2+ у2 = 9 и до данной прямой х + 2 = 0 равны между собой.

198. Прямая перпендикулярна полярной оси и отсекает на ней отрезок, равный 3. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

199. Луч выходит из полюса и наклонен к полярной оси под углом тг/З. Составить уравнение этого луча в полярных коорди­ натах.

200 . Прямая проходит через полюс и наклонена к полярной оси под углом 45°. Составить уравнение этой прямой в полярных координатах.

201 . В полярных координатах составить уравнение геометриче­ ского места точек, расстояния которых от полярной оси равны 5.

202. Окружность радиуса R = 5 проходит через полюс, ее центр лежит на полярной оси. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.

203 . Окружность радиуса R = 3 касается полярной оси в по­ люсе. Составить уравнение этой окружности в полярной системе координат.§

§ 11. Параметрические уравнения линии

Обозначим буквами х и у координаты некоторой точки М; рассмотрим две

28 УРАВНЕНИЕ ЛИНИИ [Гл. 2

При изменении t величины х и у будут, вообще говоря, меняться, следова­ тельно, точка М будет перемещаться. Равенства (1) называются параметриче­ скими уравнениями линии, которая является траекторией точки М; аргумент t носит название параметра. Если из равенств (1) мож­ но исключить параметр t, то получим уравнение тра­

цами А и В по координатным осям. Точка М делит стержень на две части AM = а и ВМ = 6. Вывести параметрические уравне­ ния траектории точки М , приняв в качестве

параметра угол t = ZОБА (рис. 8). Исключить затем параметр £

инайти уравнение траектории точки М в виде F (я, у) = 0.

205. Траекторией точки М является эллипс, уравнение кото­

рого ^2 + = 1 (см. заДачУ 190). Вывести параметрические

уравнения траектории точки М , принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

206. Траекторией точки М является гипербола, уравнение ко­

торой = х (см. задачу 191). Вывести параметрические

уравнения траектории точки М , принимая в качестве параметра t угол наклона отрезка ОМ к оси Ох.

207 . Траекторией точки М является парабола, уравнение ко­ торой у2 = 2рх (см. задачу 192). Вывести параметрические урав­ нения траектории точки М , принимая в качестве параметра £:

параболы.

208 . Даны полярные уравнения следующих линий:

1)р = 2R cos0; 2) р = 2R sin0; 3) р = 2р

Составить параметрические уравнения этих линий в декарто­ вых прямоугольных координатах, совмещая положительную по­ луось абсцисс с полярной осью и выбирая в качестве параметра

Г л а в а т р е т ь я

ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА

§12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой

сугловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых

В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.

Уравнение вида

называется общим уравнением прямой.

Угол а , определяемый, как показано на рис. 9, называется углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона прямой к оси Ох называется угловым коэффициентом прямой; его обычно обозначают буквой к:

k = tga.

Уравнение у = кх + Ь называется уравнением прямой с угловым коэффициен­ том; к — угловой коэффициент, b— величина отрезка, который отсекает прямая на оси Оу, считая от начала координат.

Если прямая задана общим уравнением

Ах + By + С = О,

то ее угловой коэффициент определяется по формуле

fлc-= - Aв .

Уравнение у - у о = к (х —хо) является уравнением прямой, которая проходит

через точку Мо (то; Уо) и имеет угловой коэффициент к.

Если прямая проходит через точки М\ (x i; у\) и Л/о ( i 2; уг), то ее угловой

коэффициент определяется по формуле

30 ЛИНИИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА [Пп. 3

является уравнением прямой, проходящей через две точки M I (X I ; J/I ) и

М2 (х2; уг)- Если известны угловые коэффициенты к\ и к2 двух прямых, то один из уг­

лов <р между этими прямыми определяется по формуле

Признаком параллельности двух прямых является равенство угловых коэф­

фициентов:

кл = к2.

Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение

к\к2 = — 1 или к2 — .

Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.

210. Определить, какие из точек М\ (3; 1), М2 (2; 3), Мз (6; 3),

215. Стороны АВу ВС и АС треугольника АВС даны соответ­ ственно уравнениями 4х + Зу —5 = 0, х —Зу + 10 = 0, х — 2 = 0. Определить координаты его вершин.

+ 3 = 0 . Определить координаты вершин этого параллелограмма.

218. Площадь треугольника 5 = 8, две его вершины суть точ­

219. Площадь треугольника 5 = 1, 5, две его вершины суть

*) Здесь и везде в дальнейшем под уравнением сторон мы будем понимать уравнения прямых, на которых лежат стороны.