книги / Сборник задач по аналитической геометрии

нений имеют единственное решение, и найти его.

1236 . я + у -

z = 36,

1237 .

х + 2у+

г = 4,

х + z -

у = 13,

3 x - 5 y + 3z = 1,

у + z - я = 7.

2х + 7у - z = 8.

•1238 . 2я -

4у + 9z = 28,

1239 . 2 х +

у =

5,

7х +

Зу -

6z = - 1 ,

x + 3z = 16,

7х + 9у -

9z = 5.

b y -

z =

10.

1240 . x + y + z = 36,

1241 .

7х +

2у + 3z =

15,

2х - 3 z =

- 1 7 ,

bx -

Зу + 2z =

15,

6х -

5z = 7.

1 0 i — lly

+ bz =

36.

1242 . х + у + z = а,

1243 . x - у + z = a,

х - у + z = Ь,

x + у - z = b,

x + y —z — c.

у + z - x = c.

1244 . Найти все решения системы

х +

2у -

4z

=

1,

2 х +

у —bz

— - 1 ,

х —

у —

z = —2.

1245 .

Найти

все решения системы

2 х -

у +

z = -2,

я + 2у + Зг = -1,

х — Зу —2z =

3.

1246 .

Найти

все решения системы

Зх — у + 2z

=

5,

2х -

у -

г

=

2,

4х -

2у -

2z

— - 3 .

1247 .

Определить, при каких значениях а и Ь система урав­

нений

Зя -

2у +

z =

Ь,

5я -

8у + 9z =

3,

2я +

у -f az =

— 1

1248.

Доказать, что если система уравнений

aix + biy = ci,

<L2X+ Ъгу = с2,

азх + Ьзу = с3

совместна, то

h

а1

ci

0.

а>2

Ьз

С2 =

Аз

&3

Сз

1249.

Найти все решения системы

2х +

у -

z =

0,

х + 2у +

2 =

0,

2х -

у + 32 =

0.

1250.

Найти все решения системы

х -

у -

2 =

0,

х + 4у + 22 = 0,

За; + 7у + Зг = 0.

1251.

Определить, при каком значении а система однородных

уравнений

За: -

2у +

2 = 0,

ах -

14у + 152 = 0,

х +

2у -

3z = 0

имеет нулевое решение.

вертого порядка.

- 3

0

0

0

2

- 1

3

4

1252.

2

2

0

0

1253.

0 - 1 5 - 3

1

3

-

1

0

0

0

5

- 3

-

1

5

3

5

0

0

0

2

2

-

1

1

0

2

3

-

3

4

0

1

2

-

1

1255.

2

1

-

1

2

1254.

-

1

2

3

6

2

1 0

3

3

1

6

1

2

3

0

- 5

1 . См. рис. 54.

2. У к а з а н и е . Уравнение |х| = 2 эквивалентно двум урав­

нениям: х

= - 2

и х = 2; соответственно имеем две точки: А\ (—2) и А2 (2)

(рис. 55).

Уравнение |х - 1 1 =

3 эквивалентно двум уравнениям: х — 1 = —3

и х - 1 =

3, откуда находим х

= - 2 и х = 4 и соответствующие им точки

3)

справа от точки М з(12);

4) слева от точки Ма (3/2), включая точку М4;

5)

справа от точки M s(5/3); 6) внутри отрезка, ограниченного точками

М в( 1)

и А/г(3); 7) внутри отрезка,

ограниченного точками Мт{—2) и М2 {3),

вклю­

1

а2 в 2

и Q(2); 10) вне отрезка, ограниченного точ­

-4 L .

ками А (1) и В (2); 11) внутри отрезка, огра­

ниченного

точками Р ( - 1 ) и

Q (2); 12) вну­

в>

три отрезка, ограниченного точками М (3) и

Рис. 55

N (5), включая точки М и JV; 13) вне отрезка,

ограниченного точками М (3) и N (5); 14) вне

отрезка,

ограниченного

точками Pi ( - 4 ) и

Q\ (3);

15) внутри

отрезка, огра­

ниченного точками Pi (—4)

и Qi (3),

включая точки Р\ и Q\.

4 . 1) АВ — 8 ,

\АВ\ = 8; 2) АВ = - 3 ,

\АВ\ = 3; 3)

АВ =

4, |ДВ| = 4; 4) АВ =

2, |АВ\ = 2;

5)

АВ =

- 2 , |АВ| = 2; 6)

А В = 2, |АВ|

=

2.

5. 1) - 2 ; 2)

5;

3) 1; 4) - 8 ;

5)

- 2 и 2; 6) - 1 и 5; 7)

- 6

и 4; 8) - 7

и - 3 .

в.

1) Внутри отрезка, ограничен­

О ТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

165

три отрезка, ограниченного точками Л ( - 4)

и В (2); 10) вне отрезка, ограни­

ченного точками

А ( - 3 ) и В ( —1);

11) внутри отрезка, ограниченного точками

Л ( - 6) и В ( - 4 ) ,

включая точки

А и В ; 12)

вне отрезка, ограниченного точ­

ками Л ( - 3 ) и

В (1 ), включая

точки

А к В. 7 .

1)

1;

2) - 5 /3 ; 3) 2;

4)

1/2;

5) -1 0 /3 . 8 . Ai =

А В /В С =

3; А2

= С В /В А

=

1/3;

А3 =

АС/СВ =

- 4 ;

А4 = В С /С А =

- 1 / 4 ;

А5 = В А/АС = -

3 / 4 ; А6 = СА/АВ = - 4 / 3 .

9 . А =

ю. I

= g y f fi'

U* 1 = ~ t~~- 12‘ х) 4; 2) 2; 3) “2: 4) “2*. 5) _1/2.

13.

1)

17/3;

2)

- 1 3 /4 ; 3)

1/3; 4)

7;

5)

3;

6) 0.

14 .

1) М ( - 11);

2) АГ(13).

16. (5) и (12).

16 . А (7) и В ( - 4 1 ) .

17. См. рис. 56.

18 . Ах (2; 0),

В *(3 ;

0),

С* ( - 5 ; 0), Dx ( - 3 ; 0),

Е х ( - 5 ; 0).

19 . Ау (0;

2), B v (0;

1), С„ (0; - 2 ) ,

В * (0;

1),

(0;

- 2 ) . 20 .

1)

(2;

- 3 ) ;

2) ( - 3 ;

- 2 ) ;

3)

( - 1 ;

1); 4)

( - 3 ; 5);

5)

( - 4 ; -

6);

$ )

(о;

-Ь ).

2 1 .

1)

(1;

2);

2) ( - 3 ;

- 1 ) ;

3)

(2; - 2 ) ;

4)

(2; 5);

5)

( - 3 ; - 5 ) ;

6 ) ( - о ;

Ь).

2

2 . 1) ( - 3 ;

- 3 ) ;

2) ( - 2 ; 4); 3) (2; - 1 ) ; 4) ( - 5 ;

3); 5) (5; 4); 6)

( - а ; -Ь ).

$ 3 .

1)

(3;

2); 2)

( - 2 ;

5);

3) (4; - 3 ) .

24 .

1)

( - 5 ;

- 3 ) ;

2) ( - 3 ; 4); 3) (2; - 7 ) .

рой, третьей и четвертой; 7)

в первой, третьей и

четвертой; 8) в

первой,

Второй

и третьей.

26 . См. рис. 57.

27 . (3;

-тг/4 ),

(2; тг/2),

(3;тг/3),

(1; - 2 ) ,

(5; 1). 28 . (1; Зтг/4),

(5; -т г/2),

(2;

2тг/3),

(4;

-т г/6), (3; тг - 2 ) . 29 . С (3; 5тг/9) и

D (5; -11тг/4).

3 0 . (1;

-2тг/3).

31 .

А {3;

-тг/2),

В (2; Зтг/4), С ( 1; 0), В (5; тг/4),

Е (3; 2 -

тг), F (2; тг -

1).

3 2 . Mi (3;

0),

М2 (1;

тг/3), М3

(2; -тг/3), М4 (5;

-т г /12),

Ms (3;

тг),

Мв (1; 7тг/12).

33 .

(6; тг/9).

3 4 . d

=

у/р\ + р \ - 2Plp2 cos (02 -

0 i ) .

36 . d =

7.

36 .

9 (17

-

4 /3 " ) .

3 7 .

2 (13+

6 y /J ).

3 8 . 28 %/з\

39 . S

=

5

x

X sin ($i — 02)> 4 0 .

5.

4 1 .

3 ( 4 V T - 1 ) .

4 2 . Mi (0; 6),

M2 (5; 0), M3 ( A

;

v/T ),

M4 (5;

- 5 V T ),

M5 ( - 4 ;

4 / T ) ,

M6 (6 \/T;

- 6).

4 3 . Mi (5; тг/2),

M2 (3; тг),

M3 (2 ; TT/6), M4 (2 ; -Зтг/4);

Ms (2;

-т г/3).

4 4 .

1) 3;

2) - 3 ;

3)

0;

4)

5;

5) - 5 ;

6) 2.

4 7 . 1) X = 1, У = 3; 2) X = - 4 , Y = - 2 ; 3) X = 1, Y = - 7 ;

4)

X

=

5, У

=

3.

4 8 . (3;

- 1 ) .

4 9 . ( - 3 ;

2).

52 .

1)

X

=

- 6 ,

Y

= 6 v/T ;

2)

X

=

Зч/Т ,

Y

-

- 3 ;

3) X

=

v/T ,

У

=

- < /2 .

63.

1)

5;

2)

13; 3) 10.

64 .

1)

d =

2, 0 =

тг/3;

2)

d =

6, в =

-тг/4;

3) d = 4,

0 =

5тг/6;

55 . 1)

d =

в =

-Зтг/4; 2) d =

5, 0 =

arctg |

- тг; 3) d =

13, в =

тг - arctg

4)

d =

/23<Г,

5 =

-a rc tg 5. 56.

1)

3;

2) - 3 .

57.

1) ( - 9 ;

3); 2) ( - 9 ; - 7 ) .

58 .

1)

( - 1 5 ; -1 2 );

2)

(1;-1 2 ). 59. - 2 .

60 .

61 .

4.

62 .

1)

- 5 ;

2)

5. 6 3 .

1)

5;

2)

10;

3)

5; 4)

л/5~; 5) 2 / 7 ;

6) 13. 64 .

137.

65 .

34.

6 6 .

8 / 7 .

6 7 .

13

и

15.

6 8 . 150.

69. 4 / 2 .

73 . ZM 2MiM 3

тупой.

75 . 1.ВАС = 45°,

Z Л В С

=

45°,

Z.ACB = 90°. 76. 60°. У к а за н и е .

Вычислить длины сторон треугольника, а

затем применить теорему косинусов.

77. Mi (6; 0) и М2 ( —2; 0).

7 8 . M i (0; 28)

и

М2

(0; —2).

79. P i ( l ;0 )

и

Р2 (6 ;0 ).

80. Сх (2; 2),

Ri

=

2 ;С2 (10;

10),

Я2

=

10.

81. Ci ( - 3 ; - 5 ) , С2 (5;

- 5 ) . 82 .

М2 (3; 0).

83 . В (0 ; 4) иD ( - l ;

- 3 ) .

84. Условию задачи удовлетворяют два квадрата, симметрично расположен­

ных относительно стороны АВ. Вершины одного квадрата— точки Ci ( —5; 0),

D\ ( - 2 ;

- 4 ), вершины другого— точки С2 (3; 6), D2 (6; 2).

85 . С ( 3; - 2 ) , R =

10.

Рис. 58

Р и с. 59

8 6 . (1; - 2 ) .

87

. Q (4; 6).

8 8 . Середины

сторон

АВ,

ВС, АС соответствен­

но суть (2;

- 4 ) ,

( - 1 ; 1),

( - 2 ; 2).

89 .

1)

М (1;

3); 2)

N (А) - 3 ) .

9 0 . (1; - 3 ) ,

(3; 1) и ( - 5

;

7).

91. D { - 3; 1). 92 .

(5;

- 3 ) , (1

;

-

5 ) .

93 , Di (2 ; 1),

D2 ( - 2 ; 9),

D3 (6; - 3 ) .

У к азан и е .

Четвертая вершина

параллелограмма может быть

противоположной любой из данных.

Таким образом, условию задачи удовле­

творяют три параллелограмма. 94 .

13. 95 . (2; - 1 ) и (3; 1). 9 6 . (5 /2 ; —2).

Аз

= ВА/АС =

- 2 /3 .

101 . >1(3;

- 1)

и В (0 ; 8).

102 . (3;

- 1 ) .

ЮЗ. (4;

- 5 ) .

104. (—9; 0).

105. (0; —3).

106.

1 : 3, считая от

точки

В .

1 0 7 . (9 /2 ; 1).

108. х -

Д1-~ Xj - + - 3 , У =

У1±Ш ±Л 1' Ю9 . М ( —1; 0),

<7(0; 2).

1 1 1 . (5; 5).

1 1 2 . (5а/12; 56/12).

113. (19а/21;

19а/21).

114 . х

=

тД1т ++ПД2++/

— »

У =

=

ту\^+%2+ рт

• 115 . (4; 2).

У к а з а н и е .

Масса однородной

проволоки

пропорциональна ее длине.

116. 1)

14; 2)

12; 3)

25.

117 .

5.

1 1 8 .

20. 1 1 9 .

7,4.

120 . х

=

-6 /1 1 ,

у =

45/11.

121 . х

=

7/17,

у =

10/3.

122 . (0; - 8)

или

(0;

- 2 ) .

123 . (5;0) или ( - 1 /3 ; 0).

124 . (5; 2)

или (2; 2).

125 . Сх ( - 7 ; - 3 ) ,

D\ ( - 6 ;

- 4 )

или Сг (17; - 3 ) ,

D2 (18;

- 4 ) .

126. Ci ( - 2; 12),

Di ( - 5; 16) или

С2 ( —2 ; 2 /3 ),

D2 { - 5;

14/3).

127 .

1)

х

=

х' +

3,

у

=

у' + 4; 2)

х

=

х' -

2,

у

=

у'

+ 1;

3)

х =

х'

— 3,

у =

/

+

5.

128 . Л (4;

-

1),

В ( 0; - 4 ) ,

С (2; 0).

1 2 9 .

1)

А(0; 0),

В ( - 3 ;2 ) ,

С (—4;

4);

2) Л ( 3 ;- 2 ) ,

В (0 ;0 ), С ( - 1 ;2 ) ;

3)

Л (4 ; - 4 ) ,

В ( 1 ;

- 2 ) ,

С (0| 0).

130 .

1)

(3; 5);

2) ( - 2 ;

1);

3)

(0; - 1 ) ; 4)

( - 5 ;

0).

1 3 1 . X =

.

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

167

у -

Х ^ 2 + У :

2)

®

-

3)

х =

- у ', 7/

=

х'; 4)

х = 2/',

у =

- х ' ;

5)

х

=

-

х ',

у

= - у '.

132 . Л (3\ /Т ;

1),

5 (V Т /2 ;

3/2),

С (3;

—ч/Т).

1 3 3 .1 )

М (% /Т; 2 ч/2"),

W

( - 3 V^T; 2у /2),

Р {- ^ 2 \

- 2 y /j) ;

2)

М ( 1; —3),

N (5;

1), Р ( - 1 ;

3);

3) М

( - 1; 3), N ( - 5 ; - 1),

Р ( 1;

- 3 ) ;

4) М ( - 3 ;

- 1), ЛГ(1; - 5 ) ,

Р (3;

1).

134 .

1)

60°;

2)

- 3 0 ° .

135 . 0 '( 2 ; - 4 ) .

136 . х

= х'

+

1,

у =

у'

- 3.

137 . х =

| х' +

I

У ,

у =

х'

+

| у'.

138 . Mi ( 1; 5),

М2 (2; 0),

М3 (16;

- 5 ) .

139 . Л (6; 3),

В (0;

0),

С (5;

-1 0 ) .

140 .

1)

0 '(3 ;

- 2 ) ,

а

=

90°;

2) 0 ' ( - 1; 3),

: 1 8 0 °;3 )О , (5;

- 3 ) , а

=

- 4 5 ° .

141 . х =

—

х ' - А

^ + 9; у

: 17 х

3.

142 . M j(l; 9), М2 (4; 2), М3 ( 1; - 3 ) , М4 (0; 2+V3"), М5 (l-h /T ;

1).

143 . Мх (0; 5),

М2 (3; 0),

М3 ( - 1; 0),

М4 (0; - 6),

М5 (V T ;

1).

144 . Мх (2; 0),

М2 (1;

—тг/2),

Мз (3; тг/2),

М4 (2 ; -т г/4),

М5 (2; тг/6).

14 5 . Мх 0 / 2 ;

тг/2),

М2 (2; -т г/2),

М3 (2; 7г /12),

М4 (2; 7тг/12),

Ms (4; —57г /12).

1 4 6 . / ( х , у)

=

2ах

—

а2.

147 . 1) / ( х , у) = 2ах;

2) / ( х , у) =

- 2 а х

- а2.

148 . / ( х , у) =

4х2 + 4у2 +

2а2.

149 . / ( х , у)

=

4х 2 +

4у2 -

4ах

-

4ау +

4а2 .

150 . / ( х , у)

=

х2 + у2 -

25.

151 . / (х, у)

=

2ху — 16.

152 . При повороте

координатных

осей

выражение

функции не меняется.

153 . (3; 1).

154 . Такой точки не существует.

155 . ± 4 5 °

или ± 1 3 5 ° .

1 5 6 . 30°,

120°,

- 6 0 ° ,

-1 5 0 ° .

157 . Точки

Мх, М4 и М5 лежат на

су второго и четвертого координатных углов (рис. 58).

158. 1) (0; - 5 ) , (0; 5);

2) (—3; —4), (—3; 4);

3) (5; 0); 4) на данной линии такой точки нет; 5) ( - 4 ; 3),

(4; 3); 6) (0; —5); 7)

на данной линии такой точки нет.

Уравнение определя­

ет окружность с центром О (0; 0) и радиусом 5 (рис. 59).

159 . 1) Биссектриса

отрицательной полуоси Ох, считая от начала ко­

У

у — 5 = 0

ординат, отрезок, равный 3 (рис. 60); 5) прямая,

х>

0

параллельная оси Ох, отсекающая на положи­

II

II

тельной полуоси Оу, считая от начала коорди­

м

+

1

нат, отрезок, равный 5 (рис. 60); 6) прямая, па­

н

X

раллельная оси Ох, отсекающая на отрицатель­

ной полуоси Оу, считая от начала координта, от­

У + 2 = 0

резок, равный 2 (рис. 60); 7) прямая, совпада­

ющая с осью абсцисс; 9) линия состоит из двух

прямых:

биссектрисы первого и третьего коор-

р ис @д

динатных углов и прямой, совпадающей с осью

ординат;

10) линия состоит из двух прямых: биссектрисы

второго и четвер­

состоит из двух биссектрис координатных углов (рис. 61);

12) линия

состо­

ит из двух прямых; прямой, совпадающей с осью абсцисс,

и прямой,

совпа­

168

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

Р и с . 61

Р и с . 6 2

Р и с . 6 3

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

160

начало координат. 161 .

1) а)

(7; 0), ( - 7 ;

0);

б)

(0; 7),

(0; - 7 ) ; 2) а) (0; 0),

(6; 0);

б)

(0;

0),

(0 ;

- 8);

3) а) ( - 10; 0),

( - 2

; 0);

б)

линия

кается; б) (0; - 1 ) ,

(0; - 7 ) ; 7) линия с

координатными

осями не пересекается.

162 . 1) (2; 2), ( - 2 ;

- 2 ) ; 2) (1;

- 1 ) , (9;

- 9 ) ; 3) (3; - 4 ) ,

(7/5; -2 4 /5 ); 4) линии

не пересекаются.

163 . Точки Mi, М2 и М\ лежат на данной линии; точ­

ки Мз и Ms не лежат на ней.

Уравнение определяет окружность (рис. 68).

усы

которых г определяются по формуле г = ( —1)” ^ + яп,

где п — любое

целое положительное число или нуль.

167 . Рис. 72 и рис. 73.

168 . Рис. 74 и

рис.

75. 169 . Рис. 76. 170 . Отрезок,

примыкающий к полюсу, имеет длину,

171

. Напять частей (рис. 78). 172 . Р (1 2 ; 1/2) (рис. 79). 173. Q (81; 4)

(рис. 80).

174

. Прямые х ±

у = 0. 175 . Прямые х

±

а =

0. 176 . Прямые у

± 6 =

0.

177

. у + 4 = 0.

178 . х —

5 = 0. 179 .

1)

Прямая х - у — 0; 2)

прямая

х + у = 0 ; 3) прямая х — 1 =

0 ; 4) прямая у —2 =

0. 180 . Прямые 4ах

± с =

0 .

181 . х2+у2 = г2. 182 . (х—а )2+ (у —0 )2 = г2. 183 .

х2+у2 = 9. 184. х2+у2 =

16.