книги / Сборник задач по аналитической геометрии
..pdfОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ |
191 |
сти Oyz и лежащая в ближнем полупространстве на расстоянии четырех единиц от нее; 19) плоскость Oxz и плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плоскостями Oxz, Oyz и проходит в I, III, V и VII октантах; 20) плос кость Оху и плоскость, которая делит пополам двугранный угол между плос
костями Оху, Oxz и проходит в III, IV, V и VI октантах. 889 . х 2 + у2 + z2 = г2. |
|||||||||||
8 9 0 . (х - а )2 + |
(у - |
0 )2 + |
( z - |
7 )2 = |
г2. |
89 1 . у - |
3 |
= 0. |
892 . 2г - 7 = |
0. |
|
8 9 3 . 2х + 3 = |
0. |
8 9 4 . |
20у + 53 = |
0. 8 9 5 . |
X 2 + |
T/ 2 + Z 2 = |
а2. 896 . x 2 + y 2 + z 2 = |
а2. |
|||
897 . х + 2z = |
0. |
89 8 . |
^ |
^ |
= |
1. 8 9 9 . fjj |
^ |
+ fjj |
= “ 1- 900 . Точки |
||
Мь Мз лежат на данной линии; точки Мг, М\ не лежат на ней. 901 . Линии 1)
и 3) проходят через начало координат. 90 2 . 1) (3; 2; 6) и (3; - 2 ; 6); 2) (3; 2; 6)
и ( —3; 2; 6); 3) на данной линии нет такой точки. 903 . 1) Ось апликаг, 2) ось
ординат; 3) ось абсцисс; 4) прямая, проходящая через точку (2; 0; 0) параллель но оси Oz; 5) прямая, проходящая через точку ( —2; 3; 0) параллельно оси Oz;
6) прямая, проходящая через точку (5; 0; —2) параллельно оси Оу; 7) прямая,
проходящая через точку (0; —2; 5) параллельно оси Ох; 8) окружность, лежа
щая на плоскости Оху, с центром в начале координат и радиусом, равным 3; 9) окружность, лежащая на плоскости Oxz, с центром в начале координат и радиусом, равным 7; 10) окружность, лежащая на плоскости Oyz, с центром в
начале координат и радиусом, равным 5; 11) |
окружность, лежащая на плоскости |
|||||||
z —2 = |
0, с центром в точке (0; 0; 2) и радиусом, равным 4. 904 . x2+y2+ z2 = 9, |
|||||||
У = |
|
0. |
9 0 5 . х 2 + у2 + z2 = 25, у + 2 = 0. |
906 |
. (х - |
5)2 + |
(у + 2)2 + (z - I)2 = 169, |
|
х = |
|
0. |
90 7 . х 2 + у2 + л2 = |
36, (х - I )2 + |
(у + |
2)2 + |
(z - |
2)2 = 25. 908 . (2; 3; - 6), |
( - 2 |
; |
3; |
- 6). 90 9 . (1; 2; 2), |
( - 1 ; 2; 2). |
910 . |
1) Цилиндрическая поверхность с |
||
образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей окружность, которая на плоскости Oxz определяется уравнением x 2+ z 2 = 25; 2) цилиндриче
ская поверхность с образующими, параллельными оси Ох, имеющая направля-
V2 Z2
ющей эллипс, который на плоскости Oyz определяется уравнением ^ + •jg = 1;
3) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Oz, имею щая направляющей гиперболу, которая на плоскости Оху определяется уравне нием fg — g = 1; 4) цилиндрическая поверхность с образующими, параллель ными оси Оу, имеющая направляющей параболу, которая на плоскости Oxz определяется уравнением х 2 = 6z; 5) цилиндрическая поверхность с образую
щими, параллельными оси Oz, имеющая направляющей пару прямых, которые на плоскости Оху определяются уравнениями х = 0, х — у = 0; эта цилиндриче ская поверхность состоит из двух плоскостей; 6) цилиндрическая поверхность с
образующими, параллельными оси Оу, имеющая направляющей пару прямых,
которые на плоскости Oxz определяются уравнениями х - z = 0, х + z = 0; эта цилиндрическая поверхность состоит из двух плоскостей; 7) ось абсцисс;
8) уравнение никакого геометрического образа в пространстве не определяет,
9) цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными оси Оу, имею щая направляющей окружность; направляющая на плоскости Oxz определяется уравнением х 2 + (z — I )2 = 1; 10) цилиндрическая поверхность с образующими,
192 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
параллельными оси Ох; направляющая на плоскости Оуг определяется уравне
нием у2 -!- (z + |
|
= |
^ . |
91 1 . 1) х 2 + 5у2 — 8у —12 = |
0; 2) 4х2 + 5z2 + 4z — 60 = |
0; |
|||||||||||||||||||||
3) |
2у — z — 2 = |
0. |
912 . |
1) 8х 2 + 4у2 - |
36х + |
16у - 3 = 0, z = |
0; 2) 2х - 2z - |
7 = 0, |
|||||||||||||||||||
у = |
0; 3) 4у2 + |
8z2 + 16у + |
20z - |
31 |
= 0, |
х |
= |
0. |
91 3 . х - |
2у + |
3z + |
3 |
= |
0. |
|||||||||||||
914 . 5х — 3z = |
0. |
|
915 . 2х — у — z |
— 6 |
= |
0. |
916 . х — у — 3z + |
2 |
= |
0. |
|||||||||||||||||
917 . х + 4у + 7z + |
16 = |
0. |
919 . х - |
у - |
z |
= |
0. |
921 . Зх + Зу + z - |
8 |
= |
0. |
||||||||||||||||
923. 1) п = {2; - |
1; - 2 } , |
n |
= |
{2А; -А ; -2 А }; |
2) |
п = |
{1; 5; - 1}, n |
= |
{А; 5А; |
- А }; |
|||||||||||||||||
3) п |
= |
{3; - 2 ; 0}, |
п = |
|
{ЗА; |
-2А ; 0 }; |
4) |
п |
= |
{0; |
5; |
- 3 } , |
п |
= |
|
{0; 5А; -З А }; |
|||||||||||
5) |
п |
= |
{1; 0; 0}, |
п |
= |
{А; 0; 0}; 6) п = |
{0; |
1; 0}, |
п |
= |
|
{0; |
А; 0 }, где |
А — лю |
|||||||||||||
бое число, не равное нулю. |
924 . |
1) и 3) |
определяют параллельные |
плоско |
|||||||||||||||||||||||
сти. |
925 . 1) и 2) |
определяют |
перпендикулярные |
плоскости. |
926 . 1) |
I |
= |
3, |
|||||||||||||||||||
т = |
- 4 ; |
2) I = |
3, |
т = |
- 2 /3 ; 3) |
I = |
- 1 0 /3 , |
т = |
- 6 /5 . |
927 . 1) 6; 2) |
-1 9 ; |
||||||||||||||||
3) —1/7. 928. 1) 7г/3 |
и 27г/3 ; |
2) |
7г/4 и 37г/4 ; 3) 7г/2; 4) arccos |
^ |
|
и |
7r -a rc c o s yjr. |
||||||||||||||||||||
929 |
. 5х —3y+2z = 0. 930 . 2 x - 3 z - 2 7 |
= |
0. 931 . |
7 x - y - 5 z = |
0. |
932 . x + 2 z - 4 |
= |
0. |
|||||||||||||||||||
934 |
. 4x —у —2z —9 = |
0. 93 6 . x = 1, у = |
- 2 , z = 2. 939 . |
1) а ф 7; 2) a = 7, b = |
3; |
||||||||||||||||||||||
3) a = |
7, b ф 3. 940 . |
1) z - |
3 = |
0; 2) у + 2 = |
|
0; 3) x + 5 = |
0. |
941 . |
1) 2y + z = |
0; |
|||||||||||||||||
2) 3x+ z = 0; 3) 4x+3y = 0. |
942 . |
1) y+ 4z+ 10 = 0; 2) x - z - 1 |
|
= |
0; 3) 5 x + y - 1 3 |
= |
0. |
||||||||||||||||||||
943 |
. (12; 0; 0), (0; - 8; 0), (0; |
0; |
- 6). |
944 . | |
+ |
\ + = 2 |
= |
L |
9 4 5 * |
a |
= - 4 , b = |
3, |
|||||||||||||||
c = |
1/2. 946 . 240. |
947 . |
8. |
948 . |
+ |
-2L + | = 1. |
949 . ^ |
|
| |
|
|
= |
L |
||||||||||||||
950 |
. x + |
y + z + |
5 |
= |
0. |
951 . |
2x - |
21y + 2z + |
88 = |
0, |
2x - |
3y - |
2z + |
12 |
= |
0. |
|||||||||||
952 |
. i |
+ y + z — 9 = |
0, x — y — z + |
l = |
0, x — y + z — 3 = |
0, x + y — z — 5 = |
0. |
||||||||||||||||||||
953 |
. 2x — у — 3z — 15 = 0. |
9 5 4 . 2x — 3y + z — 6 = 0. 95 5 . x — 3y — 2z + 2 = |
0. |
||||||||||||||||||||||||
956 . Плоскости 1), 4), 5), 7), 9), 11) и 12) заданы нормальными уравнениями.
957 . 1) | x - | y + i z - 6 = 0 ; 2 ) - | x + | y - ^ z - 3 = 0; 3) | x - | y - | z - ^ = 0;
4>Т 1+ ! у - 5^*-5=0; 5>- h »+!3 г - 2 = 0;«)! |
|
ъ |
у - \ = °;7) - у |
- 2 |
= °; |
||||||||||||||||||||||||||
8) х - |
5 = |
0; 9) |
z - |
3 |
= 0; 10) z - |
|
j = |
0. |
958 . |
1) |
а = |
60°, |
Р = |
45°, |
7 |
= |
60°, |
||||||||||||||
р = |
5; |
2) a |
= |
120°, 0 |
= |
60°, 7 |
= |
45°, р |
= |
8 ; |
3) |
a |
= |
45°, |
0 |
= |
90°, |
7 |
= |
45°, |
|||||||||||
р = |
3 N/T ; |
4) |
а |
= |
90°, |
0 |
= |
135°, |
7 = |
45°, |
р |
= |
< /2; |
5) a |
|
= |
150°, |
0 |
= 120°, |
||||||||||||
7 = |
90°, р |
= |
5; |
6) |
a |
= |
90°, |
0 |
= |
90°, |
7 = |
0°, |
р |
= |
2; |
7) |
а |
= 180°, |
0 |
= |
90°, |
||||||||||
7 = 90°, р = |
1/2; |
8) о |
= |
90°, |
/? = |
180°, |
7 |
= |
90°, |
р = |
1/2; |
9) |
a = |
arccos |
| , |
||||||||||||||||
0 = тг —arccos |
| , 7 = |
arccos ^ , р = |
2 . |
10) |
а |
= |
7Г — arccos j |
|
, /? = |
7Г — arccos |
у , |
||||||||||||||||||||
7 = arccos у , р = 4/7 . |
959 . 1) 5 = |
|
- 3 , |
d = |
3; 2) |
|
= |
1, d = |
1, 3) S = |
0, d. = |
0 — |
||||||||||||||||||||
точка Mz лежит на плоскости; 4) 6 = - 2 , |
d = |
2; 5) 6 = |
—3, d = |
3. |
9 6 0 . d = |
A. |
|||||||||||||||||||||||||
961 . |
1) По одну сторону; 2) по одну сторону; 3) по разные стороны; 4) по одну |
||||||||||||||||||||||||||||||
сторону; 5) по разные стороны; 6) по разные стороны. |
964 . |
|
1) d = 2; 2) d = |
3,5 ; |
|||||||||||||||||||||||||||
3) d = |
6,5; |
4) |
d = |
1; |
5) |
d = |
0,5 ; |
6) d = |
5/6 . |
|
9 6 5 . 8. |
9 6 6 . Условию |
задачи |
||||||||||||||||||
удовлетворяют точки (0; 7; 0) и (0; —5; 0). |
9 6 7 . Условию задачи удовлетворя |
||||||||||||||||||||||||||||||
ют точки (0; 0; —2) и (0; 0; —82/13). |
968 . Условию задачи удовлетворяют точки |
||||||||||||||||||||||||||||||
(2; 0; 0) и (11/43; 0; 0). |
|
9 6 9 . 4х - |
4у - |
2z + |
15 = |
0. |
97 0 . 6х + |
Зу + 2z + |
11 |
= |
0. |
||||||||||||||||||||
9 7 1 . 2х - 2у - z - 18 = 0, 2х - 2у - z + 12 = 0 . 9 7 2 . 1) 4х - у - 2z - 4 = 0;
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
193 |
|
|||||||||||||||
2) З х + 2 у - z + 1 = 0; з ) 2 0 х - 12у + 4 z + 13 = 0.9 7 3 . 1) 4 х - Ъу - z - . 2 = 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 х + у - З г + 8 = 0; 2) х — Зу — 1 = 0, З х + у2z—- 1 = 0; 3) З х — 6у+ 7z + 2 = О, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
z + 4 y + 3 z + 4 =о. |
9 7 4 .1) Т о ч к а |
|
М |
|
и н ачало координат л е ж а т в смеж ны х у гл а х ; |
|
||||||||||||||||||||||||||
2) т о ч к а М и н ачало |
ко ордин ат л е ж а т в одном угл у; 3) то чМк а и начало коор |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
д ин ат л е ж а т в в е р ти ка л ьн ы х у гл а х9. 7 5 . 1) Т о ч к и М и N располож ены в смеж |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
ны х |
у гл а х ; 2) |
то ч к иМ и N располож ен ы в ве р тикал ьн ы х |
|
у гл а х9. 7 6 . Н а ча л о |
|
|||||||||||||||||||||||||||
координат |
л е ж и т |
вн у тр и |
остр ого |
|
у гл а9. 7 7 . Т о ч к а |
л е ж и т |
внутри |
туп о го у гл а . |
|
|||||||||||||||||||||||
9 7 8 . 8 х - 4у - 4 г +5 = 0. 9 7 9 . 23 х - у - 4 z - 24 = 0.9 8 0 . x - y - z - l= 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9 8 1 . x+y+2z = |
0. |
9 8 2 . 5 х - 7 у - 3 = |
|
0, г = 0; 5 x + 2 z - 3 |
= |
у0,= |
0; |
7 y - 2 z + 3 |
= 0, |
|
||||||||||||||||||||||
х = |
0. 9 8 3 . З х |
- |
у - |
7z + |
9 |
= |
0, |
5у |
+ |
2 z |
= |
0.9 8 4 . (2; |
- 1 ; |
0), |
|
(4/3; |
0; |
- 1 / 3 ) , |
|
|||||||||||||
(0; 2; - 1 ) . |
9 8 6 . D1) = |
- 4 |
; 2) |
D = |
9; |
3) |
D = |
3. |
9 8 7 . |
1)Аг = |
А2 = |
0, |
и |
|
||||||||||||||||||
хотя бы одно из чисел |
D i, |
Г>2 |
отлично от |
нуля; |
2) В\ = |
Вг = |
0, и хотя бы |
|
||||||||||||||||||||||||
одно из чисел D\, D2 отлично от нуля; 3) |
С\ = Сг = 0, |
и хотя бы одно из |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
чисел Di, D2 отлично от нуля. |
|
9 8 8 . 1) Л 1 /Л2 = |
D 1/D2 ] 2) |
В1 /В2 |
= |
D1/D2 ] |
|
|||||||||||||||||||||||||
3) С1 /С2 |
= |
D i/ D 2; 4) Ai = Di = |
0, A2 = D2 = 0; 5) Bi = |
|
Di = 0; B2 = |
D2 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||
6) Су = D: = 0, C2 = D2 = 0. 9 8 9 . 1) 2x + 15y + 7z + 7 = |
0; 2) 9y + 3z + 5 = |
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
3) 3x + 3z |
- 2 |
= |
0; |
4) |
3x - |
9y |
- |
7 = 0. |
9 9 0 . 1) |
23x |
- |
2y + 21z |
- |
33 |
= |
0; |
|
|||||||||||||||
2) у + z - 18 = 0; 3) x + z — 3 = 0; 4) x - у + 15 = 0. 9 9 1 . 5x + 5z - 8 = 0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
9 9 2 . o:(5x |
- 2y - |
z - |
3) + /?(x + 3y - |
2z + 5) |
= |
0. |
У к а з а н и е . |
Прямая пе |
|
|||||||||||||||||||||||
ресечения |
плоскостей 5х - 2у - |
|
z — 3 |
= |
0, |
х + З у |
- 2z + 5 |
= |
0 |
параллельна |
|
|||||||||||||||||||||
вектору I = {7; 9; 27}; следовательно, условию задачи будут удовлетворять все |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, проходящих через эту прямую. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
99 3 . И х — 2у — 15z — 3 = |
0. |
9 9 4 . а (5х - |
у - |
2z - |
3) + /3 (Зх - 2у - 5г + 2) = |
0. |
|
|||||||||||||||||||||||||
У к а з а н и е . Прямая пересечения плоскостей 5 x - y - 2 z - 3 = 0 ,3 x - 2 y - 5 z + 2 = 0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
перпендикулярна к плоскости х + 19у — 7z —И = 0; следовательно, условию за |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
дачи будут удовлетворять все плоскости, принадлежащие пучку плоскостей, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
проходящих через эту прямую. 9 9 5 . 9x + 7y + 8z + 7 = 0. 996 . х —2y + z —2 = 0, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
х - |
5у + 4г - 20 = |
0. |
9 9 7 . Принадлежит. 9 9 8 . Не принадлежит. |
999 . I = - 5 ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||
т = |
-1 1 . |
100 0 . Зх —2y + 6z + 21 = |
0, 189х + 28у + 4 8 г - 5 9 1 |
= |
0. |
1001 . 2 х - 3 у - |
|
|||||||||||||||||||||||||
- 6 z + 1 9 = |
0, 6х —2у—Зг+18 = |
0. |
1 0 0 2 . 4 х -З у + 6 г -1 2 = 0 , 12x-49y+ 38z+84 = |
0. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
100 3 . 4х+ 3у —5 = |
0, 5х+ 3л —7 = |
0. |
100 4 . |
7 х -у + 1 = |
0, z = |
0; 5 x - z - l |
= |
0, у = |
0| |
|
||||||||||||||||||||||
5у — 7х - |
12 = |
0, х — 0. 1 0 0 5 . х - |
8у + 5z - |
3 = 0. 1006 . |
|
2х - |
4у - |
8z + |
1 = |
0 |
|
|||||||||||||||||||||
2х — у + |
2 — 1 |
= |
0- |
10О Т . 1 ) ^ |
|
= |
^ |
= |
^ |
2 |
; 2 |
|
) ^ |
= |
|
| |
= |
^ |
|
|
||||||||||||
3) Sf2 = о |
= Ч*' “) Ч1 = 1= |
|
|
5) Ч1 = I - |
^Т1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Х - 1 |
= |
у + 2 |
|
z |
1 . |
|
|
х — 3 _ у + 1 - |
|
|
X _ |
3 |
y + 2 _ z ~ 3 |
0 ^ ~ |
|||||||||||||||
1 0 0 8 . 1)- у - |
|
|
|
|
|
' 2 ) |
|
|
2 |
|
“ |
|
|
|
“ |
|
' |
|
3 “ |
|
||||||||||||
4) £ + 1 |
- |
|
|
|
|
|
. Ю09. 1) х = |
2t + 1, у = |
|
-3 t - |
|
1, z |
= |
4t - |
3 |
|
||||||||||||||||
2) x = 2t + 1, у = |
U — 1 , |
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
= -3 ; 3) |
|
|
x = 3t + 1, у = —2t - |
|||||||||||||||||
1010. 1) |
x |
= |
t + 2, |
у |
= |
- 2 1 + |
1, |
z |
= |
t |
+ 1; |
2) |
x = |
t |
+ 3, |
у |
= - t - 1 |
|
||||||||||||||
z = t; 3) x = |
0, |
у |
= |
e, |
z = - 3 t |
+ |
1. |
ЮН. (9; -4 ; 0), |
|
(3; 0; |
-2), |
(0; 2j -3) |
|
|||||||||||||||||||
1012. x |
= |
5t + 4, у |
= |
- l i t - |
7, z = - 2 . |
|
1013. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1014. |
X - |
2 _ |
У + 1 |
|
z + 3 . |
|
1015. x |
= |
3t + 3, |
у = |
|
15t + |
1, |
z |
|
19t - |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
194 ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ
1016 . а |
= |
{1; 1; 3}; |
а |
= |
{А; А; ЗА}, |
где |
А— любое |
число, |
не равное |
нулю. |
||||||||||||||||||
1017 . а |
= |
-2 » + |
11j |
+ 5к; |
о |
= -2А » + llA j + |
5Afc, где А— любое число, |
не |
||||||||||||||||||||
равное нулю. |
|
1018. х ^ 2 |
|
= |
|
= |
|
|
• |
Ю 19. |
1) |
х 2 2- = |
" = |
|
f • |
|||||||||||||
Р еш ен и е. |
Полагая, например, zo = |
0, находим из данной системы: XQ = |
2, |
|||||||||||||||||||||||||
уо |
= - 1 ; |
таким образом, мы уже знаем одну точку прямой: M Q (2; - 1 ; |
0). Те |
|||||||||||||||||||||||||
перь найдем направляющий |
вектор. |
Имеем |
T»I |
= |
{1; —2; 3 }, |
Пг = |
{3; 2; —5 }; |
|||||||||||||||||||||
отсюда а = [П1П2] = |
{4; 14; 8 }, т.е. I = 4, т = |
14, |
|
п = |
8. |
|
Подставляя |
най- |
||||||||||||||||||||
денные значения хо, 1 , zo и I, т, п в равенства |
“ |
|
“ |
|
|
У ~ Уо |
_ |
Z - |
ZQ |
|||||||||||||||||||
получим канонические уравнения данной прямой: |
х ^_2 |
|
'+ 1 |
_ |
^ |
или |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
|
|
|
+ 1 _ |
|
z — 1 |
|
х — 3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 1,Vу |
|
|
|
|
|||
1020 . |
1) |
х |
= |
|
4 + |
1, |
у |
= |
—7£, |
z = |
—19£ - |
3; |
2) |
|
х = |
- 4 |
= 34 + |
2, |
||||||||||
z |
= |
54 - |
1. |
1023 . 60°. |
1024 . 135°. |
1025 . cosy)= |
± 4 /2 1 . |
10 2 7 . I = |
3. |
|||||||||||||||||||
1029 . |
|
|
|
|
^ |
|
|
|
|
|
. |
1 0 3 0 . |
5 ^ 1 |
= |
U+A = |
£ £ l3 |
|
1031 |
х = 2t - 5, |
|||||||||
у |
= |
- 3 t |
+ 1, |
|
z |
= |
—41. |
|
1032 . v = 13. |
103 3 . d |
= 21. |
|
1034 . х |
= 3 - |
|
61, |
||||||||||||
у |
= |
- 1 |
+ |
18t, |
z |
= |
- 5 |
+ 9t. |
1035 . x |
= |
- 7 |
+ |
4t, |
у = |
12 |
- |
4t, z |
= 5 - |
|
It. |
||||||||
1036 . x |
= |
20 - |
6t, |
у |
= |
- 1 8 |
+ |
8i, z |
= |
- 3 2 |
+ |
24t; |
(2; 6; 40). |
|
10 3 7 . Уравнения |
|||||||||||||
движения точки M: х = - 5 |
+ 6£, у = 4 - 12t, z = - 5 |
+ 4i; уравнения движения |
||||||||||||||||||||||||||
точки |
N: х = |
|
- 5 + 44, у = |
16 — 124, z = |
—6 + 34; 1) (7; —20; 3); 2) |
за |
проме |
|||||||||||||||||||||
жуток времени, равный 2; 3) за промежуток времени, равный 3; 4) |
MQP = 28, |
|||||||||||||||||||||||||||
NQP = 39. |
1040 . |
1) (2; - 3 ; 6); 2) прямая параллельна плоскости; 3) прямая ле- |
||||||||||||||||||||||||||
жит и& плоскости. |
10 4 1 . |
|
|
|
|
|
= |
|
|
1 0 4 2 . |
|
|
= S i i = |
£ + § . |
||||||||||||||
1043 . 2х —3y + 4z — 1 = 0. |
1 0 4 4 . x+ .2y + 3z = 0. |
104 5 . m = |
- 3 . 1 0 4 6 . С = |
|
- 2 . |
|||||||||||||||||||||||
1047 . A = |
3, |
D = |
- 2 3 . |
|
1048 . A = |
- 3 , |
В |
= |
9/2 . |
|
1 0 4 9 . |
4 |
= - 6 , C = 3/2 . |
|||||||||||||||
1050 . (3; - 2 ; 4). Р еш ен и е . |
Искомую точку найдем, решая совместно уравне |
|||||||||||||||||||||||||||
ния данной прямой с уравнением плоскости, проведенной из точки Р перпен дикулярно к этой прямой. Прежде всего заметим, что направляющий вектор данной прямой {3; 5; 2} будет являться нормальным вектором искомой плоско сти. Уравнение плоскости, которая проходит через точку Р (2; - 1 ; 3) и имеет нормальный вектор п = {3; 5; 2} будет иметь вид 3 (х —2 )+ 5 (у + 1 )+ 2 (z —3) = О
или З х + 5 у + 2 г —7 = 0. Решая совместно уравнения х = 34, у = 54 —7, z = 24+ 2,
Зх + 5у + 2z - |
7 = |
0, найдем координаты искомой проекции: х = |
3, у = —2, |
z = 4. 1051 . |
<?(2; |
- 3 ; 2). 105 2 . Q (4; 1; - 3 ) . 1 0 5 3 . (1; 4; - 7 ) . |
Р е ш е н и е . |
Искомую точку найдем, решая совместно уравнение данной плоскости с урав нениями прямой, проведенной из точки Р перпендикулярно к этой плоскости.
Прежде всего заметим, что нормальный |
вектор данной плоскости {2; —1; 3 } |
будет являться направляющим вектором |
искомой прямой. Параметрические |
уравнения прямой, которая проходит через точку Р ( 5; 2; —1) и имеет напра
вляющий вектор а — (2; - 1 ; 3 }, будут иметь |
вид |
х = |
24 + 5, |
у |
= |
- 4 + |
2, |
||||
z = |
34 — |
1. Решая совместно уравнения 2х — у + |
3z + |
23 = |
0, |
х |
= |
24 + |
5, |
||
у = |
—4 + 2, z = 34 — 1, найдем координаты искомой проекции: |
х |
= |
1, у = |
4, |
||||||
г = |
- 7 . |
1054 . С ?(-5; 1; 0). |
105 5 . Р (3 ; - 4 ; 0). |
У к а з а н и е . |
Задача |
может |
|||||
быть решена по следующей |
схеме: 1) устанавливаем, что точки |
А и В рас- |
|||||||||
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ |
195 |
положены по одну сторону от плоскости Оху; 2) находим точку, симметрич ную одной из данных точек относительно плоскости Оху, например точку В\,
симметричную точке В ; 3) составляем уравнение прямой, проходящей через точки А и В ц 4) решая совместно найденные уравнения прямой с уравнени
ем плоскости |
Оху, |
получим |
координаты |
искомой |
точки. |
1056. Р ( - 2 ;0 ;3 ) . |
|||||||
1057 . Р (—2; |
- 2 ; 5). |
105 8 . Р |
( - 1; 3; |
- 2 ) . |
1059 . |
1) |
Р ( - 2 5 ; |
16; 4); 2) за проме |
|||||
жуток времени, равный 5; 3) МоР |
= |
60. |
1060 . х = 28 |
- |
7,54, у = |
- 3 0 + 8t, |
|||||||
z - ~ 27 |
+ 6t; |
1) Р (—2; 2; - 3 ) ; 2) от 4i |
= 0 |
до 42 = 4; 3) М0Р = 50. |
1061 . За |
||||||||
промежуток времени, равный 3. 1062 |
. d = |
7. |
Р еш ен и е. |
Выберем на пря |
|||||||||
мой Х^ |
= |
У ^ |
|
какую-нибудь точку, например Mi (—3; - 2 ; 8); |
|||||||||
будем считать, что |
направляющий |
вектор |
прямой |
о = |
{3; 2; - 2 } |
приложен |
|||||||
к точке |
M i. |
Модуль векторного |
произведения векторов |
а и М\Р опреде |
|||||||||
лит площадь параллелограмма, построенного на этих векторах; высота этого параллелограмма, проведенная из вершины Р , будет являться искомым рас-
стоянием d. |
|
Следовательно, |
для |
вычисления расстояния |
d |
имеем |
формулу |
||||||||||||||||||||
d = |
1 |
|
|
^. Теперь вычислим координаты вектора М\Р, зная координаты |
|||||||||||||||||||||||
его конца и начала: М\Р = |
{4; 1; —10}. Найдем векторное произведение векто |
||||||||||||||||||||||||||
ров a n M iР: [oM iP] = |
i |
j |
|
к |
= |
—18* + 22j — 5к. Определим его модуль: |
|||||||||||||||||||||
3 |
2 - 2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
1 - 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|[oM iP] |= |
V 182 + 222 + 52 |
= |
у /Ш |
= |
7 ч/ТГ. Вычислим модуль вектора а: |
||||||||||||||||||||||
|а |= |
ч/9 + 4 + 4 |
= |
у/ТТ. |
Найдем искомое расстояние: d = |
7 л/Т Г/\[ГГ = |
7. |
|||||||||||||||||||||
1 0 6 3 . |
1) |
21; |
|
2) |
6; |
|
3) |
15. |
1 0 6 4 . d |
= |
25. |
|
1065 . 9х + |
lly |
+ 5z - |
16 |
= |
0. |
|||||||||
1 0 6 8 . |
4 x + 6 y + 5 z - l |
= |
0. |
1 0 7 0 . |
2 x -1 6 y -1 3 z + 3 1 = |
0. |
1072 . |
6 x - 2 0 y - l l z + l |
= |
0. |
|||||||||||||||||
107 4 . |
(2; |
- 3 ; |
- 5 ) . |
1 0 7 5 . Q (l; |
- 2 ; 2). |
10 7 6 . Q (l; |
- 6 ; |
3). 1077 . 1 3 x -1 4 y + llz + |
|||||||||||||||||||
+ 51 = |
0. |
107 9 . x — 8y — 13z + |
9 = |
0. |
10 8 1 . |
|
|
|
|
- |
|
i + 1 . Ю 82. x = |
|||||||||||||||
= |
8 4 -3 , у = |
- 3 4 - 1 , z = |
- 4 4 + 2 . |
1 0 8 3 . 1)13; 2) 3; 3) 7. |
1084 . |
1) x 2+ y 2+ z 2 = |
81; |
||||||||||||||||||||
2) |
(x |
- |
5)2 + |
(у + |
3)2 + |
(z |
- |
7)2 = 4; 3) (x |
- |
4)2 + |
(y + 4)2 + (z + 2)2 = |
36; |
|||||||||||||||
4) |
(x |
- |
3)2 + |
(y + |
|
2)2 + (z |
- |
l ) 2 |
= |
18; |
5) |
(x |
- |
3)2 + (у + |
l)2 + (z - |
l)2 |
= |
21; |
|||||||||
6)x 2+ y 2+ z 2 = 9; 7) (x —3)2+ (y + 5 )2+ (z + 2 )2 = 56; 8) ( x - l ) 2+ (y + 2 )2+ ( z - 3 ) 2 = 49;
9) |
(x + 2)2 + (y - 4)2 + |
(z - |
5)2 = |
81. 108 5 . (x - |
2)2 + (у - |
3)2 + (z + l)2 = 9 и |
|||||||||||||||||
x 2 + (у + |
l ) 2 + |
(z + 5)2 = 9. |
1 0 8 6 . R = 5. |
1087 . (x + |
l)2 + (у - 3)2 + (z - 3)2 = |
1. |
|||||||||||||||||
1088 . (x + l ) 2 + (y - 2)2 + (z - |
l ) 2 = 49. |
1089 . (x - |
2)2 + (у - |
3)2 + (z + 1)2 = |
289. |
||||||||||||||||||
.1 0 9 0 . |
1) |
C (3; |
- 2 ; |
5), |
г |
= |
4; |
2) |
C ( - l ; |
3; |
0), |
г |
= |
3; |
3) |
C (2; |
1; - 1 ) , |
г |
= |
5; |
|||
4) |
C (0; 0; 3), |
r = |
3; |
5) |
C (0; - 1 0 ; 0), |
г |
= |
10. |
1091 . |
x = 54 - |
1, |
у = |
- 4 |
+ 3, |
|||||||||
z |
= |
24 - |
0,5. |
109 2 . д- ~21/ 2 |
= |
У± Ш |
|
= |
2 +41Z? . |
Ю 93. |
1) |
Вне |
сферы; |
||||||||||
2) |
и 5) на поверхности сферы; 3) |
и 4) |
внутри сферы. |
1094 . а) 5; б) 21; в) 7. |
|||||||||||||||||||
109 5 . |
1) |
Плоскость пересекает сферу; |
2) плоскость касается сферы; 3) плос |
||||||||||||||||||||
кость проходит вне сферы. |
109 6 . |
1) Прямая пересекает сферу; 2) прямая про |
|||||||||||||||||||||
ходит вне сферы; 3) прямая касается сферы. |
1097 . Mi ( - 2 ; |
- 2 ; 7), |
d = |
3. |
|||||||||||||||||||
109 8 . С ( - 1 ; 2; 3), |
R = |
8. |
10 9 0 . (х - I)2 + (у - |
2)2 + (z - |
I)2 = 36, 2х - z - 1 = |
0. |
|||||||||||||||||
1100 . (х —l)2 + (y + l ) 2 + (z —2)2 = |
6 5 ,18х —22y+5z —30 = 0. 1101 . (х - 2 ) 2+ у 2 + |
||||||||||||||||||||||
196 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
+ (2 - 3 )2 = 27, х + у - 2 = |
0. |
110 3 . |
5 х —8 y + 5 z —7 = |
0. 110 4 . x 2 + y 2 + z2 -lOar-f. |
||||||||||||||||||||||||||
+ 15y—25z= 0. |
1105 . x 2+ y 2+ z 2+ 1 3 x + 9 y - 9 z - 1 4 = 0 . |
1106 . x 2+ (y + 2 )2+ z 2 = 41. |
||||||||||||||||||||||||||||
1107 . |
6x —3y—2z—49 = 0. |
1108 . (2; - 6; 3). |
110 9 . a = |
± 6 . 11 1 0 . |
2 x - y - z + 5 |
= |
0 . |
|||||||||||||||||||||||
1 1 1 1 . x 1x + y1y + ziz = |
r 2. 1 1 1 2 . A2R2 + B2R2 + C2R2 = D2. 111 3 . (®i - |
o) x |
||||||||||||||||||||||||||||
X (x - |
a) + |
(yi |
- |
0) (y - |
/?) + |
(zi |
~ 7) (z - |
7 ) = r 2. |
1114 . 3x - 2y + |
6z - |
И |
~ |
0, |
|||||||||||||||||
6x + 3y + 2z - |
|
30 |
= |
0. |
1115 . x + |
2y — 2z — 9 |
= |
0, |
x + 2y - |
2z + |
9 |
= |
0. |
|||||||||||||||||
1116 . 4x + 3z - |
40 |
= 0, |
4x + |
3z + |
10 = |
0. |
111 7 . |
4x + |
6y + |
|
5z - |
103 |
= |
o, |
||||||||||||||||
4x + |
6y + 5z + |
205 |
= |
0. |
|
1118 . |
2x - |
3y + |
4z - |
10 |
= |
0, |
3x - |
4y + |
2z - |
10 |
= |
0. |
||||||||||||
1 1 2 0 . x —y—z —2 = 0. 1 1 2 2 . A x+By+C z+D = 0. |
1123 . x co sa+ y |
cos/3+z 0 037 - |
||||||||||||||||||||||||||||
- p |
= |
0. |
1124. d |
= |
| r i n ° - p | ; |
d. = |
|xi cosa |
+ |
y! cos/? |
+ |
zi COS7 - p|. |
|||||||||||||||||||
1125 . ( r z - n ) ( r - n ) |
= |
0; (x 2- x i ) |
(x —x i)+ (y 2 —y i) ( y - y 1)+ (z 2 - z 1) (z -z i) |
= |
0. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
a i02 (г - |
|
го) = |
0; |
|
х - |
х о |
|
у - |
уо |
Z - |
го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 1 2 6 . |
|
|
/l |
|
|
m i |
щ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
12 |
|
|
тп2 |
п2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1127. (Г2 |
— r i ) |
(гз — r i ) |
( r — 17 ) |
= |
0; |
x —xi |
y —y 1 |
z — Z\ |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
X2 — X l |
У2 —y i |
Z2 —Z\ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ З -Х ! уз - y i |
Z3-Z1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X - |
|
х 0 |
|
у - |
у о |
* —го |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
112 8 . ТЦП2 (г - |
|
no) = |
0; |
|
Ах |
|
Вх |
Ci |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А% |
|
В2 |
С2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
а = У ^ р = £ и |
|
. 1 1 3 2 . [ ( r ~ r i )2(-rn ) ] =0, ( г ( г2- Г 7 )] = [ п г г ] , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— |
|
|||||||||||||||||||
Г = П + |
( Г2- г О |
« . |
1 1 3 3 . л ( г |
— Г ! ) = 0;I (х |
— x i ) |
- f |
m |
( y |
— У1) -f-n |
( z |
z—i ) |
= |
0. |
|||||||||||||||||
1134 . QI “2( г - V o ) |
= |
0. |
|
1 1 3 5 .Щ П 2 ( г - Г о ) |
= |
0. |
1 1 3 6 . |
г |
= |
тъnt;+ |
|
|
|
= |
||||||||||||||||
|
|
* |
= |
£ ^ . |
|
1 1 3 7 . |
r |
= |
n , + |
[n1n2] t ; |
*0 |
|
Сх |
J/ - |
|
уо |
|
= |
|
z |
- z 0 |
|||||||||
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bi |
Ci |
|
Лх| |
|
Ui |
|
Г |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1В 2 |
С2 | |
| са |
Д2 | |
|
\А2 |
В2 \ |
||||||||
|
• Гоп + |
D |
= 0, |
an |
= |
0; |
Л х0 + |
Вуо + Cz0 + D = |
О, А1 + |
Вт + Cm = |
0. |
|||||||||||||||||||
1 1 3 9 . |
0 l a 2(г - |
|
го) |
= 0. |
1 1 4 0 . 0102 (г г |
- |
п ) |
= |
0. |
|
1 1 4 1 . m |
- |
71071 + |
Qс |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ап |
|
|
|
х у |
° |
- ~ |
QA |
|
№ |
|
Cgn+ D '. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
* = * » |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
п , ‘T - T i - - 1 1 |
|
|
|
|
g z i „ + |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л2 + в 2 + с 2 |
|
|
||||||
у = У1 - |
|
+ ■ВУ1 + |
|
|
Д в, |
|
- |
^ » 1 + в » 1 |
+ с х 1 + д г |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
Л2+В 2 |
+С 2 |
|
|
|
z |
Z1 |
|
|
дГ+ва +С2----С- |
|
|
|
|
|||||||||||||
1143 . Го + |
~ 2r°) a |
a, |
X = |
х 0 + |
(Д1 ~ -S >)1 + (gn - Уо) т + (z i |
- zn) п f |
|
|
||||||||||||||||||||||
г/ = vn 4- ( а . ~ * о ) * + (yi ~уо) т |
+ (zx - zp)п |
|
™ |
+П |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 + т 2 + п2 |
|
|
|
т |
* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
п . II
|
2 |
+ Z l — Zo X I — Хо |
2 |
|
|
У1- Уо z i - г 0 |
+ а?1- х о |
y i - уо |
|||
тп |
п |
п |
1 |
f |
тп |
|
|
|
|
||
V I2 + т 2 + п2
|
|
|
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ |
|
|
|
|
197 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mod |
|
|
|
h |
Д2 ~ ®1 •> |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mi |
ТП.2 |
1/2 — 2/1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
щ |
п2 |
Z2 - 2 i |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 1mi |
ni |
2 |
In, |
Ы |
Ч |
mi i2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
у 1m 2 |
П2 |
|
+ |
|
|
|
|
m2 | |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|n2 |
|
Rm |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2/1 |
= |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 12 + т 2 + п 2 ' |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
||||
|
Л 2 |
+ т 2 + п2 |
|
** |
* |
|
\/ J2 + т 2 + п2 |
’ |
|
|
|
Дт |
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
л/f2 + т 2 + п2 |
1 |
||||||||||||
z2 = |
— 7= = = ^ = = = * . 114 8 . Яо+ т~ т ® и го—т~~т |
|
®i — хоН— . |
^ = = = = , |
||||||||||||||
|
Vi2+ m2+ n2 |
|
|
|
[el |
|
Г®1 |
|
|
|
|
V I2 + ш2 + п2 |
|
|||||
2/1 = |
2/о+- /.j, |
|
|
|
= |
ZQ+ |
/|0 . ^П0 . |
|
и |
12 = |
до------------^ |
|
’ |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
/ / 2 + т 2 + п2 |
|
|
|
|
\Л2 + т 2 + n2 |
|||||
|
|
|
|
|
_____ |
|
Яп |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
...................... |
*2 = zo “ “7й “ |
— |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
' VF + mt + n2 ' |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1149 . ( п - п о ) ( г - г о ) |
= |
Я2. |
115 0 . ( г - п ) 2 = |
|
|
Д ) |
i |
(x - ® i )2+ ( y - y i ) 2 + |
||||||||||
+ (z - 21)2 = (Ас‘ t * B+ B * |
+ |
,c P |
D )* - 1151‘ Й |
|
" |
я |
= |
0’ |
]ТГ + Л = |
0; |
||||||||
Ax + By + Cz |
_ R = g |
Ax + By + Cz |
+ д = 0 |
1152 |
M iL zJB l - |
д = |
Q, |
|||||||||||
у/ А 2 + В2 + С2 |
_ |
|
у/ А 2 + В 2 + С2 |
|
|
|
|
|
|
1а 1 |
|
|
||||||
а (г - го) |
+ R |
|
0 . |
l(x —z 0) + т |
(у — уо) + п (г — г0) |
д |
= |
О, |
||||||||||
I а I |
^ |
|
|
0;’ |
|
|
у/12+ 7712 + П2 |
|
|
|
||||||||
2 (д — др) + |
т ( у |
— 2/о) + n(z —гр) + д _ 0 |
1153# |
3 |
|
|
/2; 3; о), (2; |
- 3 ; 0), |
||||||||||
|
у/12 + т 2 + п 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(2; 0; |
у Т ) , |
(2; 0 ;-ч /У ). |
1 1 5 4 .4 , 3; |
(4; 0; —1), ( - 4 ; 0; —1). 115 5 .1 5 ; |
(0; —6; —3/2). |
|||||||||||||
1156 . Уравнения проекции на плоскость Оху: х2 + 4ху + 5у2 - |
х = 0, z = 0; |
|||||||||||||||||
на плоскость Oxz: |
д2 — 2дг |
+ 5z2 — 4х |
= |
0, у |
= |
0; |
на плоскость Oyz: |
|||||||||||
у2 + |
г2 + 2у — z = 0, |
д |
= 0. |
|
1 1 5 7 . Эллипс; (2; - 1 ; |
1) — центр этого эллипса. |
||||||||||||
У к а з а н и е . Центр сечения проецируется в центр проекции. 1158 . Гипербола;
(1; —1; —2) — центр этой гиперболы. |
115 9 . |
1) Эллипс; |
(—3/2; 1; 1 3 /4 )— центр |
||||||||||||||
этого эллипса; 2) парабола; не имеет центра; 3) гипербола; (2; - 3 ; - 4 ) — центр |
|||||||||||||||||
этой |
гиперболы. |
11 6 0 . а) |
1 < |
|яг| |
< |
у/2\ |
б) |m| |
< |
1. |
1161 . а) т ф 0 |
|||||||
и |
т |
^ |
- 1 / 4 , причем в |
случае |
т |
= |
- 1 / 4 |
вырожденный |
эллипс— точка; |
||||||||
б) |
т = 0. |
1162 . (9; 5; |
- 2 ) . |
11 6 3 . |
(3; 0; -1 0 ) . 1164 . (6; |
- 2 ; 2). |
1165 . т = ±18. |
||||||||||
1166 . 2х - у - 2z - 4 = 0. |
116 7 . |
д - |
2у + |
2г - |
1 = |
0, х - |
2у + |
2z + |
1 = 0; |. |
||||||||
1168 . тр + У '25~ |
= |
И 6 9 . |
+ |
jg |
+ |
ij- |
= 1. 1170 . <7i |
= |
2/5, |
<72 = 4/5. |
|||||||
|
|
„ |
|
|
1. |
1173 . |
х 2 +У |
|
•T |
= |
1. |
1178 . |
|
- |
У- = 2z. |
||
1180 . |
(3; 4; - 2 ) |
и |
(6; - 2 ; 2); 2) (4; - 3 ; |
с2 |
|
|
|
|
Р |
Я |
|||||||
1) |
2) — прямая |
касается поверхности; |
|||||||||||||||
3) прямая и поверхность не имеют общих точек; 4) прямая лежит на поверх
ности. 1181 . 2х — 12у — z + |
16 |
= |
0, |
д — 2у + 4 |
= |
0, 2д — 12у — z + |
16 |
= |
0, |
|
х + 2у - 8 = 0. 1182 . у + |
2г |
= |
0, |
д |
- 5 = |
0; |
2х - 5z = 0, у + |
4 |
= |
0. |
у + 1 _ г - 1 |
х _ у + 9 |
_ г + З |
|
|
|
|
||||
*) Выражение mod а обозначает абсолютную величину а.
198 |
|
|
|
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ |
|
|
|
||||
^тг2 |
= ¥ = = ! • |
И * 5 - |
arccos |
118в . l ) f £ + j £ - f r = |
< > ;2 ) f T - ? ! r + § r - |
||||||
: 0; 3) - |
- f c + Zj = |
0. |
1188 . |
x2 + y2 - z 2 = 0 . |
1189 . |
о* |
' |
2с2 2 |
°* |
||
|
|
' F |
’r с2^“ |
и‘ |
ААО°* |
* тг/ “ |
------- |
||||
1190 |
. Зх2—5y2+ 7z2—6x y + 10x z —2yz—4х+ 4у —4z+ 4 = 0. 119 1 . ~ |
+ 2 5 ~ fg |
= °* |
||||||||
1192 |
. я2 — Зу2 + 22 = 0. |
1193 . 35х2 + 35у2 — 52z2 — 232ху — 116xz + 1 16уг + 232х — |
|||||||||
- 70у - 116z + 35 = 0. 1194. ху + xz + yz = 0 — ось конуса проходит в первом и седьмом октантах; ху + xz — yz = 0 — ось конуса проходит во втором и восьмом
октантах; |
ху — xz — yz — 0 — ось конуса проходит в третьем и пятом октан |
|
тах; |
ху — xz + yz = 0 — ось конуса проходит в четвертом и шестом октантах. |
|
1195. |
9х2 — 16у2 — 16z2 — 90х+ 225 = 0. 1196. х 2+ 4у 2 - 4 z 2 + 4 x y + 1 2 x z -6 y z = 0. |
|
1197. |
4х2 - |
15у2 - 6z2 - 12xz - 36х + 24z + 66 = 0. 1198. 16х2 + 16у2 + 13z2 - |
- 1 6 x z + 24yz + 1 6 x - 2 4 y - 2 6 z - 1 3 1 = 0. 1199. х 2 - у 2 - 2 x z + 2yz + x + y - 2 z = 0. 1200. 5х2+5у2+ 2z2—2xy + 4xz+ 4yz—6 = 0. 1201.5x2+ 8y2+ 5z2+ 4 x y + 8 x z -4 y z + + бх+24у—6z—63 = 0. 1202 . 5x2+10y2+13z2+ 1 2 x y -6 x z+ 4y z+ 26x+ 20y -38z+ 3 =
= 0. 1203 . x 2 + 4y2 + 5z2 - 4xy - |
125 = |
0. 1204 . 1) |
18; 2) 10; 3) |
0; 4) |
- 5 0 ; 5) |
0; |
|||||||||||||
6) x 2 - x i ; 7) 0; 8) |
1. 1205 . x |
= |
12; 2) x = 2; 3) |
x\ = |
- 1 , |
x 2 = |
- 4 ; |
4) xi = |
- 1 / 6 , |
||||||||||
X2 = 3/2; 5) x j ,2 = |
±2i; |
6) xi |
= |
2; |
х 2,з = |
- 2 ± |
i; 7) |
x |
= |
( - l ) n 7T/12 + |
7rn /2 , где |
||||||||
n — целое число; 8) x = 7г(2п + 1)/6, где n — любое целое число. 1206 . |
1) х > 3; |
||||||||||||||||||
2) х > -1 0 ; 3) |
х < |
- 3 ; |
4) |
- 1 |
< |
х |
< 7. |
1207 . 1) х = 16, |
у = 7; 2) х = |
2, у = 3; |
|||||||||
3) система не имеет решений; 4) система имеет бесконечно много различных |
|||||||||||||||||||
решений, каждое из которых может быть вычислено по формуле у = |
^ 7^ » |
||||||||||||||||||
где численные значения х задаются произвольно и вычисляются соответствую- |
|||||||||||||||||||
|
_ч |
ас + bd |
« |
У = |
be — ad |
„\ |
|
|
|
|
|
|
решений. |
||||||
щие значения у; 5) х = |
^ |
^ 2 |
а2 + $ |
>6) системане имеет |
|||||||||||||||
1208 . 1) а ф - 2 ; |
2) а = |
- 2 , |
Ь ф 2; |
3) |
а = |
- 2 , |
6 |
= |
2. |
|
1209 . а = |
10/13. |
|||||||
1210 . 1) х = |
—2£, |
у = |
7t, |
z |
= |
41\ 2) х |
= |
2£, |
у = |
3i, |
z |
= |
0; |
3) |
х = |
0, |
у = |
£, |
|
z = 3£; 4) х = |
0, у = £, z = |
2£; 5) |
х |
= 2£, у = 5i, |
z = |
4£; 6) х |
= |
4£, у = 2£, z = |
3£; |
||||||||||
7) х |
= £, у |
= 5£, z = |
H i; |
8) |
х |
= 3£, у |
= |
4£, z |
= H i; |
9) |
х = |
0, |
у |
= |
£, z = |
3i; |
||||||||||
10) |
х |
= |
(а + |
1) £, у = |
(1 — о2) i, |
|
z = - ( а |
+ |
1)£ |
при условии, что а ф |
—2 (если |
|||||||||||||||
а = |
—1, то любое решение системы состоит из трех |
чисел х, |
|
|
у, z, |
где х, у |
||||||||||||||||||||
угодно, a z = |
х - у ) ; |
11) х = |
( 6 - 6 ) £, у = (З а - 2 ) i, z = (а б -4 ) £ при условии, что |
|||||||||||||||||||||||
а ?£ 2/3 или 6 ^ 6 |
(если а = 2/3 |
и 6 = |
6, то х, у произвольны, a |
z — | х + 2у); |
||||||||||||||||||||||
12) |
х |
= |
3 (1 - |
2а) £, |
у — (об + |
1) £, |
z |
= |
3 (6 + 2) £ |
при условии, |
что а ф 1/2 |
|||||||||||||||
или Ь ф —2 (если а = |
|
1/2 |
и 6 = |
—2, то х, у произвольны, a |
z |
= |
2(3у — х)). |
|||||||||||||||||||
1211 . -1 2 . |
1212 . |
29. |
1213 . |
87. |
121 4 . 0. |
121 5 . - 2 9 . |
12 1 6 . 2а3 . |
1 2 2 3 . - 4 . |
||||||||||||||||||
1 2 2 4 .1 8 0 . |
1 2 2 5 .8 7 . |
|
1 2 2 6 .0 . |
|
1227 . (х |
- |
у) (у |
- |
z) (z - |
х). |
1229 . 2а26. |
|||||||||||||||
1230 . sin2а. |
1231 . xyz (х - у ) (y -z ) (z - x ) . |
1232 . (а + 6+с) (а2+ 62+ с 2- а 6- а с - 6с). |
||||||||||||||||||||||||
123 4 . |
1) |
х |
= - 3 ; 2) Xi = |
- 1 0 , |
х 2 |
= |
2. |
1235 . 1) х > 7/2; 2) |
- 6 |
< |
х < |
- 4 . |
||||||||||||||
123 6 . |
х |
= |
49/2, у |
= |
43/2, |
z |
= |
10. |
1 2 3 7 . х = |
1, у |
= |
1, |
z = |
1. |
123 8 . х = |
2, |
||||||||||
у = |
3, |
z |
= |
4. |
1239 . х |
= |
1, |
у |
= |
3, z = 5. 1240 . х = 53/4, у = 33/4, z = 29/4. |
||||||||||||||||
1241 . х |
= |
2, |
у = |
|
- 1 , |
z |
= |
1. |
1242 . х |
= |
|
, |
у |
= |
^ |
|
, |
2 |
= |
. |
||||||
12 4 3 . х |
= |
2 - ^ , |
у |
= |
|
|
, |
|
z |
= |
|
|
. |
12 4 4 . Система |
имеет |
бесконеч |
||||||||||
но много решений, каждое из которых может быть вычислено по формулам
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ |
199 |
х = 2z - 1, у = z + 1, где численные значения z задаются произвольно и
вычисляются соответствующие значения х, у. 1245 . Система не имеет реше
ний. 1246 . Система не имеет решений. |
1247 . 1) а ф - 3 ; 2) а = - 3 , Ь ф 1/3; |
||
3) о = —3, 6 = |
1/3. 124 9 . Система имеет единственное решение х = у = z = 0. |
||
12 5 0 . Система |
имеет бесконечно |
много |
решений, каждое из которых может |
быть вычислено по формулам х |
= 2t, |
у = - 3 1, z = 51, где численные зна |
|
чения t задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения х,
у, я. 1251 . а = 5. 1 2 5 2 . |
30. 125 3 . -2 0 . |
1254 . 0. 1255 . 48. 1250 . 1800. |
12 5 7 . (b + c + d ) ( b - c - d ) ( b - c + d ) (b + c - d ,). |
1258 . (a + b + c + d ){a + b - c - d )x |
|
x ( a - b + c - d ) ( a - b - c + d). |
1 2 5 9 . (a + b + c + d )(a - b + c - d )[{a - c )2 + (b -d )2]. |
|
1260 . (b e -cd )2. |
|
|