книги / Сборник задач по аналитической геометрии

2 0 6 . х =

ab cost

_

ab sint

207

jv

_

__

у/ Ь2 cos2 1 —a2 sin2 t *

у/ b2 cos2 t — a2 sin2 f

^

*

У — t\ 2) x

=

2p

ctg2 t,y = 2p ctg

t;

3)

x = | ctg2 £ , у = p ctg

| .

208 .

1) x =

=

2Я соэ2 0,

у

=

Л sin 20;

2)

x

=

Я sin 20,

у =

2Л sin2 0;

3)

x

= 2p ctg 2 0,

у

—

2p ctg

0.

2

0

9 . 1) x -

y2

= 0 ;

2)

x 2 +

y2 -

a2

= 0; 3)

— ^7 — 1 =

0;

4)

^

^

-

i =

0; 6) x 2 +

у2 -

2Лх =

°; 6) x 2 + y2 -

2Ry = 0; 7) 2px -

y2

=

0.

172

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

214. (3; - 5).

215.

А{2;

- 1 ) , В (—1; 3), С ( 2;

4). 216 . (1

; - 3 ) ,

(—2; 5),

(5; - 9 ) и

(8; -1 7 ). 217. S =

17.

218 . С\ ( - 1 ; 4) или

С2 (25/7;

-

3 6 /7 ).

219 .

С\ (1; - 1 )

или С2 ( - 2 ;

-1 0 ).

220

. 1) 2х - Зу + 9 =

0; 2) Зх -

у =

0;

3) у

+ 2 = 0;

4) 3i + 4у -

12

= 0; 5) 2i + у + 5 = 0; 6) х + Зу — 2 = 0. 22 1 . 1) fc = 5,

Ъ= 3; 2) к =

- 2 /3 , 6 = 2; 3) * = - 5 /3 , 6 = - 2 / 3 ; 4) к = - 3 /2 , Ь = 0; 5) А: = 0,

6 =

3

222.

1)

- 5 /3 ; 2) 3/5.

223 . 1)

2х + Зу - 7

=

0; 2)

Зх -

2у - 4

=

0.

224

. Зх+2у =

0, 2х —Зу—13 =

0.

225 . (2; 1), (4; 2), ( - 1 ;

7), (1; 8). 22 6 . ( - 2 ;

- 1 ) .

227

. <3(11; -1 1 ).

228 . 1) Зх -

2у -

7 =

0; 2) 5х + у -

7 =

0; 3)

8х + 12у +

5 =

0;

4) 5х + 7у + 9 =

0; 5) 6х - ЗОу -

7 =

0.

229 . а) к = 7; б)

к =

7/10;

в)- к =

- 3 / 2 .

230

. 5х — 2у — 33 = 0, х + 4у — 11 =

0, 7х + 6у + 33 =

0.

231 . 7х — 2у — 12 =

О,

5х + у -

28 =

0, 2х — Зу — 18 =

0.

232 . х + у +

1 =

0.

233 . 2х +

Зу - 13 =

0.

234

. 4х+ З у -11 = 0, х + у + 2 = 0, 3 х + 2 у -1 3 = 0.

235 . (3; 4).

236 .

4 х + у - 3

=

0.

237

. х -

5 = 0. 238. Уравнение стороны АВ: 2х + у — 8 = 0; ВС: х + 2у — 1 =

0;

СА: х -

у - 1 = 0. Уравнение медианы, проведенной из вершины А: х -

3 =

0;

из вершины В:

х + у — 3 =

0;

из вершины С:

у =

0.

239 . ( —7; 0), (0; 7/3).

242

. (1; 3). 243. З х -5 у + 4 =

0, х + 7 у - 1 6 = 0, З х - 5 у - 2 2 =

0, х + 7у + 10 =

0.

244

. Уравнения сторон прямоугольника:

2х — 5у +

3

=

0,

2х — 5у — 26

=

0;

уравнение его диагонали: 7х — Зу — 33 =

0. 245 . 5х + у — 3 =

0 — биссектриса

внутреннего угла; х - 5 у - 1 1 = 0 — биссектриса внешнего угла.

246 . х + у - 8

=

О,

11х - у -

28 = 0. У к а з а н и е . Условию задачи удовлетворяют две прямые: од­

точки. 250. Р ( 0; 11). 251 . Р ( 2; - 1 ) .

252 . Р (2 ;

5).

253 .

1) ip =

тг/4; 2) <р =

тг/2;

3)

<р = 0 — прямые параллельны;

4)

(р = arctg

2 5 4 . х — 5у + 3

=

0

или

5 х + у —11 = 0. 255 . Уравнения сторон квадрата: 4х + З у + 1 = 0, З х —4 у + 3 2 =

0,

4 х + З у - 2 4 = 0, З х - 4 у + 7 = 0; уравнение его второй диагонали: х + 7 у - 3 1

=

0.

256. Зх - 4у +

15

=

0,

4х + Зу -

30

=

0,

Зх -

4у -

10

=

0, 4х +

Зу -

5

=

0.

257. 2х + у -

16 =

0,

2х + у + 14

=

0,

х -

2у -

18

= 0.

25 8 . Зх -

у +

9

=

0,

Зх + у + 9 = 0.

259.

29х —2у + 33 =

0.

262 .

1) З х - 7 у - 2 7

=

0; 2) х + 9у + 25 =

0;

3)

2х - Зу —13 =

0; 4) х - 2 = 0; 5) у + 3 =

0. 264 . Перпендикулярны 1), 3) и 4).

266.

1)<р = 45°; 2) ip =

60°; 3) ip = 90°.

267 . М3 (6; - 6).

2 6 8 .

4х -

у -

13 =

0,

х — 5 = 0, х + 8у + 5 =

0. 269 . ВС: Зх + 4у - 22 =

0, СА: 2х -

7у -

5 =

0, CN :

Зх + 5у — 23 = 0. 270 . х + 2у — 7 = 0, х — 4у — 1 = 0, х — у + 2 =

0. У к а з а н и е.

Задача может быть решена по следующей схеме:

1. Устанавливаем, что вер­

шина А не лежит ни на одной из данных прямых.

2. Находим точку пересече­

треугольника, можем составить уравнения его сторон. 27

1 .

Зх -

5у - 13 =

0,

8х - З у + 17 = 0, 5х + 2у - 1 = 0 . 272 . 2х - у + 3 = 0 , 2х + у ~

7

= 0 , х

- 2у - 6 =

0 .

О ТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

173

стороне.

2 7 3 .

4 х - З у + 1 0

=

0, 7 х + у - 2 0 =

0, З х + 4 у - 5 =

0.

274 . 4 х + 7 у - 1 =

0,

у - 3 = 0, 4х + З у - 5

=

0.

27 5 . Зх + 7 у ~ 5

= 0, Зх + 2 у - 1 0

=

0, 9х + 11у + 5 =

0.

276 . х -

Зу -

23 =

0,

7х +

9у + 19 = 0, 4х + Зу + 13 =

0.

277 . х + у - 7 =

0,

18х + 13у -

41 =

0.

2 7 9 . х + 2у

=

0,

23х +

25у

= 0.

280 .

8х - у - 24

=

0.

У

У

|

Г У 1

£

D_

Р и с . 81

283 . Зх+У =

0, х - 3 у

=

0.

2 8 4 . З х + 4 у - 1

= 0, 7 х + 2 4 у -6 1

=

0.

285 .

1) а =

- 2 ,

5у -

33 =

0;

2) ai = - 3 ,

х

-

56 =

0;

а2 =

3, 5х + 8 = 0;

3)

Qi =

1, Зх - 8у =

0;

а2 =

5/3,

ЗЗх - 56у = 0.

2 8 6 . т = 7, п =

- 2 ,

у + 3 =

0.

287 . т -

- 4 , п =

2,

х - 5 =

0.

2 8 8 .

1)

(5;

6);

2) (3;

2);

3) (1/4; 1/3); 4) (2;

-1 /1 1 ); 5)

( - 5 /3 ;

2).

29 1 .

1) При а Ф 3; 2) при а — 3 и Ь ф 2; 3) при a =

3 и 6 =

2.

292 . 1) т =

- 4 ,

п ф 2 или т = 4,

п ф - 2 ; 2) т = - 4 ,

п

= 2

или т = 4,

п =

- 2 ;

3) m

=

0,

п любое. 2 9 3 . m = 7/12.

2 9 4 . Условию задачи удовлетворяют два значения т :

т1 =

0, m 2 =

6. 2 9 5 .

1) Пересекаются; 2) не пересекаются; 3) не пересекаются.

29 8 .

а =

—7.

2 9 9 .

1)

| + | =

1 ;2 )

^

+ | = 1 ;3 ) § ^

+ | =

1;4 )

-

1*.

5)

+

J / _

= 1

(рис.

82).

30 0 .

6.

3 0 1 . х +

у +

4 =

0.

302 . х +

у - 5 =

О,

х —у + 1

=

0 , Зх — 2у

=

0.

3 0 3 . Р еш ен и е .

Напишем уравнение искомой

прямой «в отрезках»:

1

+

Ь

1-

«

a + 6 = aft.

(2)

аЬ = ± 4 .

(3)

174

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

Решим систему уравнений (2)

и (3):

а + Ь

4,

а + Ь

-4,

тогда

получим

аЬ

4;

аЬ

■4;

ai

=

2, bi

=

2; а2 =

- 2

+ 2у/2,

Ь2

=

- 2

- 2 / Т ;

аз

=

- 2

- 2 /

2",

63 =

- 2

+ 2 / Т . Таким образом, условию задачи удовлетворяют три прямые.

Подставим в уравнение (1) полученные значения параметров а и 6: ^ +

?[ =

1,

-------Е—

+

-------U— =

= 1,

--------— т=

+

-------^

=

1.

После

упроще-

- 2 + 2 / 2 ^

- 2 - 2 / 2

’ - 2 - 2 / 2

- 2 + 2 / 2

ния этих уравнений получим: х + у — 2 =

0 , (1 +

/ Т ) i

+

(1 — /

2 ) у — 2 =

0 ,

(1 -

/2 " ) х + (1 + / Т ) у - 2 = 0. 304 . Условию задачи удовлетворяют следующие

три прямые: ( / Т

+ 1) х + ( / Т

- 1) у -

10 =

0 , ( / Т

— 1) х +

( / ^

+

1) у +

10 =

0 ,

х -

у -

10 =

0. 305 . Зх -

2у -

12 = 0, Зх -

8у + 24 = 0.

306 .

х +

Зу -

30 =

0,

(0; - 3 ) и ( - 4 ; 0), (0; 3/2). 308 . S ^

2xiy i.

3

0 9 .

Прямые 1), 4), 6) и 8) заданы

нормальными уравнениями. 31 0 . 1)

^ х -

^

у -

2 = 0; 2) - ^ х + | у - 10 = 0;

р = 2; 2) а = 7Г, р = 2; 3) о =

7г/2, р =

3; 4)

а

=

—тг/2, р = 3; 5) а = JT/ 6, р =

3;

6)

а

=

—7Г/4, р = / 2 ;

7) а

=

-2тг/3,

р =

1;

8)

о

=

-/? , р =

д; 9)

а

=

0 -

7Г,

р

=

? .

312 . 1) 8 = - 3 , d =

3; 2)

5 =

1,

d = 1;

3)

5 = - 4 ,

d =

4;

4)

8 =

0,

d = 0 — точка Q лежит на прямой.

31 3 . 1) По одну сторону; 2) по разные сто­

роны; 3) по одну сторону; 4)

по одну сторону;

5)

по разные стороны.

3 1 4 .

5.

315 .

6.

318 . Является.

319 .

Не является.

32 0 .

4.

3 2 1 . 3.

3 2 2 .

1)

d = 2,5;

2) d = 3; 3) d = 0,5; 4) d = 3,5.

3 2 3 .

49. 325 . В отношении 2 : 3, считая от вто­

рой прямой. 326 . Р еш ен и е.

Задача о проведении прямых через точку Р на

расстоянии, равном 5 от точки Q, равносильна задаче о проведении из точки Р

касательных к окружности радиуса 5 с центром в Q. Вычислим расстояние QP:

QP = /

(2 - I)2 + (7 - 2)2 =

>/26. Мы видим, что расстояние QP больше ра­

у 7 — к (х — 2),

( 1 )

или кх - у + 7 - 2к = 0, где к — пока неопределенный угловой коэффициент.

рующий множитель (£ = ± -

. — ■-

. Умножая уравнение (1) на /х, получим

/

к2 + 1

искомое нормальное уравнение

кх —у + 7 — 2к

(2)

± / к2 +1

Подставляя в

левую

часть

уравнения

(2) координаты

точки Q,

имеем

I к _ 2 + 7 — 2к I

- 5 /1 2 ,

J-------.

2 -

■

I = 5. Решая это уравнение, найдем два значения к: к\ =

/ А

1

к2 =

0.

Подставляя найденные значения углового коэффициента в уравне­

ние (1), получаем искомые уравнения 5х + 1 2 у -9 4 = 0 и у - 7

= 0 . Задача реше­

на. 32 7 . 7 х + 2 4 у —134 =

0, х - 2 = 0.

3 2 8 .

3 х + 4 у - 1 3 = 0. 3 3 0 . 8 х - 1 5 у + 9 = 0.

33 1 . Зх -

4у -

25 = 0, Зх - 4у + 5 = 0. 3 3 2 . Условию задачи удовлетворяют два

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

175

сторон одного

из

них:

4х + Зу — 8

=

0, 4х + Зу +

17

=

0,

Зх — 4у -

6 =

О,

Зх - 4у +

19 =

0.

Уравнения сторон другого: 4х + Зу -

8 =

0, 4х + Зу -

33 =

0,

Зх — 4у — 6 =

0,

Зх — 4у + 19 = 0.

3 3 3 . Условию задачи удовлетворяют два

квадрата; остальные стороны одного из них лежат на прямых Зх + 4у -

11 = 0

,

4х — Зу — 23

=

0,

Зх + 4у — 27

=

0; остальные стороны другого — на прямых

Зх + 4у -

11

=

0, 4х -

Зу - 23

=

0, Зх + 4у + 5 =

0.

334 . Зх + 4у + б =

0

,

Зх + 4у -

14 =

0 или Зх + 4у + 6 =

0, Зх + 4у + 26 =

0.

335 .

12х - 5у + 61 =

0

,

12х - 5у + 22

= 0 или

12х - 5у +

61

= 0 , 12х - 5у + 100

=

0. 336 . М (2; 3).

3 3 7 . 4х + у + 5 = 0, у — 3 = 0. 3 3 8 . 1) Зх - у + 2 = 0; 2) х - 2у + 5 =

0;

3) 20 х —8у —9 =

0.

3 3 9 .

1) 4 х - 4 у + 3

=

0, 2 х + 2 у - 7 =

0; 2) 4 х+ 1 = 0, 8у+13 =

0;

3) 14х — 8у — 3 =

0, 64х + 112у -

23

=

0. 3 4 0 . х -

Зу -

5 =

0, Зх + у -

5 =

0.

треугольника.

3 4 5 . Острый угол.

3 4 6 . Тупой угол.

347 . 8х + 4у — 5

=

0.

34 8 . х + З у - 2 =

0.

3 4 9 . З х -1 9

=

0. 35

0 . 1 0 х - 1 0 у - 3

=

0. 351 .

7 х + 5 6 у -4 0

=

0.

3 5 2 . х + у + 5

=

0.

3 5 3 . S (2; - 1 ) .

3 5 4 .

1) З х + 2

у -7

=

0; 2) 2х - у

= 0; 3) у - 2

=

0;

4) х -

1 =

0;

5) 4х + Зу - 10 = 0; 6)

Зх - 2у +

1 =

0.

355 . 74х + 13у + 39 =

0.

3 5 6 .

х - у

- 7 =

0.

357.. 7 х + 19у —2 =

0. 358 . х - у + 1

= 0.

359 .

4 х - 5 у + 22 =

0,

4х +

у — 18

=

0,

2х — у + 1 =

0.

3 6 0 . х -

5у + 13

=

0, 5х +

у +

13

=

0.

3 6 1 .

5х —у —5 =

0 (ВС), х - у + 3 =

0 (АС), З х - у - 1

= 0 (CN). 362 .

х - 5 у - 7

=

0,

5х +

у +

17

=

0,

10х + 7у -

13

=

0.

3 6 3 . 2х +

у +

8 =

0,

х +

2у +

1

=

0.

3 6 6 .

С =

—29.

3 6 7 . а ф - 2. 3 6 8 .

Уравнения сторон квадрата:

4х + 3у -

14 =

0,

3 7 1 . 2х + у —6 =

0,

9х + 2у + 18 = 0.

3 7

2 . З х - у

+ 1 =

0.

374 .

З х - 4 у +

20 = 0,

4х + Зу - 15 = 0.

3

7 5 . х + 5у - 13 =

0,

5х - у +

13 =

0.

376 .

Условию

задачи

3 7 8 . АС:

Зх +

8у -

7

=

0.

BD:

8х

-

Зу + 7

=

0.

379 . 4х + у +

5

=

0,

х -

2у -

1

=

0,

2х + 5у -

11

=

0.

3 8 1 .

1)

р sin (0 -

0)

=

р, р cos (|

-

в)

=

3;

2)

p co s(0

- a

)

=

a cos a ,

p c o s ( 0 + | 7r)

=

- 1;

3)

p s i n ( /3 - 0 )

=

asin/3,

р 8}п

-

0^

=

3.

3 8 2 . р sin(0

-

0)

=

sin(/J

-

0i)-

383 . р cos(0

-

or)

-

ч

P sin (0 — 0 !)

_

;/ p 2 + P ? - 2PPl cos(0 - 0 i)

-

Pi COS (01

or .

• P2 sin (02 - 0 1 )

у

p2 +

p2 - 2p2P\ COS (02 -

01)

3 8 5 .

1)

x 2 +

y2

=

9;

2) (x -

2)2 +

(у +

3)2

=

49;

3)

(x -

6)2 + (y + 8)2

=

100;

4)

(x

+

l )2 +

(V -

2)2

=

25;

5)

(x -

l )2 +

(y -

4)2

=

8;

6) x 2 +

y2 =

16;

7)

(x

-

l )2 +

(У +

l )2

=

4;

8)

(x

-

2)2 +

(y -

4)2

=

10;

9)

(x

-

l )2 + У2

=

U

10) ( x —2)2 + (y —l )2 =

25.

3 8 6 . ( x - 3 )2 + ( y + l )2 = 3 8 . 3 8 7 . ( x - 4 )2 + (y + l)

= 5

и ( х - 2)2 + ( у - 3 )2 = 5 .

3 8 8 . (x + 2 )2 + (y + l )2 = 2 0 .

38 9 . ( x - 5 )2 + (y + 2 )2 =

20 и

(x «

9\ 2+ /

_

ЩЛ2 -

20. 3 9 0 . ( x - l ) 2+ (y + 2 )2 =

16. 39 1 . (x + 6 )2+ ( y - 3 )2 =

50

\

5 /

\

« /

2 2 \2

l

31\ 2

и

( x - 2 9 )3 + (y + 2 )2 =

800.

3 9 2 . ( x - 2 ) 2 + ( y - l )2 =

5

и

(x -

T

j

+

^

+

5- ;

=

=

289

3g3>

^

_

2)2

+ (У -

l )2

=

у !

и

(x

+

8)2

+

(y

+

7)2

=

y|.

176

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

3 9 4 . ( * - №

Ч 2 = ^

и

(х

+^ )2+( ,-^ ) 2= (^ )2395.

( , + ? ) % .

+ ( „ +

“ ) 2 =

1

и

( i - ^

) 2+

( y - | ) 2= l .

3 9 6 . ( х - 5)2 + 92 =

16, (х + 15)2 +

+ *

=

953, ( « -

щ

\

( у - ¥

) * -

( §

) ’

и ( , - f ) \

(„ +

?

) * - ( ¥

) 2

У

о

а:

Ри с. 83

Р и с. 84

Р и с. 85

Р и с . 86

у - 15 = О

О

Рис. 87

397. Уравнения 1), 2),

4),

5),

8) и

10)

определяют окружности;

1) С (5;

- 2 ) ,

Я = 5; 2) С (—2; 0), R = 8; 3) уравнение определяет единственную точку (5; —2);

4)

С (0; 5), R = \ГЬ \5) (7(1; —2),

R =

5; 6) уравнение не определяет никакого

точку ( - 2 ; 1); 8)

С (—1/ 2; 0), Я = 1/ 2;

9)

уравнение

не определяет никакого

геометрического

образа на плоскости;

10)

(7(0; - 1 /2 ),

Я = 1/ 2 . 3 9 8 . 1) По­

три окружности. 400 . 1) х + 5у —3 = 0; 2)

х + 2 =

0; 3) З х - у -

9 =

0; 4)

у + 1 = 0.

40 1 . 2х - 5у + 19 = 0. 402 . а) 7; б) 17;

в) 2.

40 3 . Mi ( - 1 ;

5)

и М2

( - 2 ; - 2 ) .

О ТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

177

4 0 4 .

1) Пересекает окружность; 2) касается окружности; 3) проходит вне окруж­

ности. 4 0 5 .

1) \к\

<

3/4; 2)

к =

± 3 /4 ;

3)

\к\ > 3/4.

406 .

=

Я2.

4 0 7 . 2х + у -

3 = 0.

4 0 8 . 11х -

7у -

69 =

0.

409 . 2 у/5 .

410 . 2х -

Зу + 8

= 0,

Зх + 2у —14 =

0. 4 1 2 . х 2 + у2 + 6у — 9у — 17 = 0. 413 . 13х2 + 13у2 + 3х + 71у = 0.

4 1 4 .

7 х —4у =

0. 4 1 5 . 2.

4 1 6 .

10. 4 1

7 . (х + 3 )2 + ( у - 3 )2 =

10. 418 . х - 2 у + 5

= 0.

4 1 9 .

Зх - 4у + 43 =

0.

4 2 0 .

М\ ( - 7

/2 ; 5 /4 ),

d = 2 \/Т. 421 . x ix +

уху =

Я2.

Рис. 90

Рис. 91

Рис' 92

л*»

n\t-r

-

-

в) (V-P) = R2- 4 2 3 . 45°.

4 2 4 . 90°. 4 2 5 . ( а х - а 2)2 +

= 0. 4 2 8 .

" ( А

(! « " ) “

" « Т

x - 2 i -

5

= 0 H 2 x - v - 5

4

-

i t

l \ , = 0 429

2 x

+

У - 5 =

0 .

x

-

2 y

=

0 .

4 3 0 .

90*. 4

3 1 .

x

+ 2 y + 5 =

3 2

4

-

7 5

4 3 3

d -

y

J

* 4 3 4 .

4

=

=

'/T O .3.

44 3

56 ..

2 x +у -

1

=

и0

2

x +

»

t

l l I 4tЭ Т

2

x +

- 5

=и 20x + y + 5

0.

4 3p8=.

2

r t c o s ( 9 - 9

(рис„ )

. 9 3).

- v

д

а

-

^

3) х Ч у ’ - х j y ’ о=. 4 4 2 . i ) p = c o s 9 ;2 ) p = - 3 c o s 9 . 3 ) p = 5 s m « ;4 h > = - s i n *

5 )

p

=

cos 9 + sin 9.

4 4 3 . p

=

Я

< « ( ® “

«•)■ 44 24 '5 + T " 112) 25 +

V = l i

3>ш

+

й

= '■4) i s + й

= 1; 5)

:

116)

= 1; 7'

*

+f

= 1:

8 ) g + fe =

li9 ) * i +

2C

:

1 или П Ш

+ £

=

1;

10) И

+

45

=

l -

4 4 5 .

1)

^

=

1;

2) %- +

25

~

1;

25

+ lf e

"

lj

64

+

lfe

~

1

c4 x 2

.

y2

,

x

s 1.

4 4 6 .

1) 4 и 3; 2) 2 и 1; 3) 5 и 1; 4)

v T T и >/T;

5)

IF

+

2? =

1; 6)

Т

+

16

178

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

5) 5/2 и 5/3; 6) 1/3 и 1/5; 7) 1 и 1/2; 8) 1 и 4; 9)

1/5 и 1/3;

10)

1/3

и 1.

4 4 7 .

1) 5

и

3; 2) Fi ( - 4 ; 0),

F2 (4; 0);

3)

е =

4/5; 4) х

=

± 25/4 .

44 8 .

16.

4 4 9 . 1)

/б "

и

3; 2) Fi (0; - 2 ) ,

F2 (0; 2);

3)

е =

2/3; 4) у =

± 9 /2 . 4 5 0

. 4 /1 F /4 5 .

4 5 1 .

Ь2/с.

4 5 2 . См. рис.

98.

4 5 3 . ( - 3 ;

- 8 /5 ) ,

( - 3 ; 8/5).

4 5 4 . Точки

А\ и

А& лежат

на

эллипсе; А2, Аа и Аз — внутри эллипса; Аз, Аз, Ау, Лв и Л ю — вне эллипса.

4 5 5 . 1) Половина эллипса

х 2

V2

расположенная в верхней полуплоскости

дГ =

(рис. 99); 2) половина эллипса

=

1, расположенная в нижней полуплос­

кости (рис. 100); 3) половина эллипса 2L-+ Цр =

1, расположенная в левой полу­

плоскости (рис. 101); 4) половина эллипса х2 + ^

=

1, расположенная в правой

полуплоскости

(рис.

102).

4 5 6 .

15.

4 5 7 .

8.

4 5 8 . 5х + 12у + 10 =

0, х -

2

=

0.

4 5 9 . п

=

2,6,

т2 =

7,4.

4 6 0 .

20.

4 6 1 .

10.

4 6 2 . ( - 5 ;

З / Т )

и

( - 5 ; - З / З ) .

4 6 3 . ( - 2 ;

у/2Г/2)

и ( - 2 ;

- < /2 1 /2 ) .

4 6 4 .

3

и

7.

4 6 5 .

1)

^

=

1;

16 +

1б/3

=

1;

3)

1о +

15

=

1;

4)

50

+

\

=

1;

5>

Т

+ \

~

1;

6)

Ш +

Ш

=

7 ) Й

+

^

L

4 6 6 - ! ) v ^ T /2 ; 2 ) / 2 / 2 ; 3 ) / 3 /

4 6 7 . е =

/ Т

/ 2 .

4 6 8 .

1.

4 6 9 .

(д- ~ j

)=-

ill+ ±

4 ) t

-1.

4 7 0 . L _ + _ J_

+

(У

4 2)

_

1

4 7 1 .

1) С (3; -

1), полуоси 3 и / F

, е — 2/ 3 , урав­

нения директрис: 2х -

15 =

0, 2х +

3 = 0; 2) С ( - 1; 2), полуоси 5

и 4 , е =

3/ 5,

уравнения директрис: Зх -

22 = 0, Зх + 28 = 0; 3) С (1; - 2 ) , полуоси 2 / Т

и 4,

е -

1/2, уравнения директрис: у -

6 = 0, у + 10 = 0.

4 7 2 . 1) Половина эллипса

О ТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

170

25^

+ ^ ~4~7^

= 1. расположенная над прямой у + 7 = 0 (рис. ЮЗ); 2) по­

ловина эллипса ^

расположенная под прямой у — 1 = 0

(рис. 104); 3) половина эллипса yg- +

3^- ■ =

1, расположенная

в левой

полуплоскости (рис. 105); 4) половина эллипса

+

(у ~ *)--

=

1,

рас­

положенная вправо от прямой х + 5 = 0 (рис. 106).

473 .

1)

^

+

25

= 1;

2)

2х2 -2 х у + 2 у 2 - 3 = 0; 3) 68х2+48ху+82т/2 -6 2 5

= 0; 4) 11х2+ 2ху+ 11у2 - 4 8 х -

- 24 = 0.

4 7 4 . 5х2 + 9у2 + 4х -

18т/ -

55 = 0. 4 7 5 . 4х2 + Зу2 + 32х -

14т/ + 59 = 0.

4 7 6

. 4х 2 +

5у2 + 14х + 40у + 81 = 0.

4 7 7 . 7х2 - 2ху + 7у2 -

46х + 2т, +

71

= 0.

4 7 8

. 17х2 +

8ху + 23у2 + ЗОх -

40т, -

175 = 0.

4 7 9 . х 2 + 2у2 -

6х + 24т, + 3 1 = 0 .

4 8 0 . (4; 3 /2 ), (3; 2).

4 8 1 . (3; 8 /5 ) — прямая

касается эллип­

са.

4 8 2 . Прямая проходит вне эллипса.

48 3 . 1) Прямая пе­

ресекает эллипс; 2) проходит, вне эллипса; 3) касается элли­

пса.

4 8 4 . 1) При |тл |< 5 пересекает эллипс; 2) при т =

± 5

касается

эллипса;

3) при |т| > 5

проходит вне эллипса.

4 8 5

. fc2a2 +fc2 = тп2. 4 8 6 .

+ ^

= 1.

4 8 8 . З х + 2 у -1 0

= 0

и Зх + 2у + 10 = 0. 4 8 9 .Лх + у — 5 = 0 и х + у + 5 = 0.

4 9 0

. 2х —у —12 = 0, 2х —у + 1 2 = 0; d = 24\ /T /5 . 491 . M i(-3 ;2 );

Р и с. 101

Рис. 102

d =

т/Тз.

4 9 2 . х +

у — 5

=

0

и х +

4у — 10

= 0.

493 . 4х -

5у — 10 = 0.

4 9 4 . d

=

18.

4 9 5 .

20

■ t

=

1 :

*1 + М

* 40 '

80

+

5

4 9 9 . «

+

^ - = 1- У к а з а н и е .

Воспользоваться свойством эллипса, сформу-

17

8

5 0 0 .

х 2

+

ц2

!•

У к а з а н и е .

Воспользоваться

лированным в задаче 498.

55

4 =

свойством эллипса, сформулированным в задаче 498.

502 . 2х +

11у -

10 = 0.

У к а з а н и е .

Воспользоваться свойством эллипса, сформулированным в зада­

че 501.

5 0 3 . (3; 2) и (3;

- 2 ) .

5 0 4 . R =

505 .

10,5 л/Т.

506 . р = 60°.

V т2 + п2

х2

2

5 0 7 .

16

и

8 .

5 0 8 . 60°.

5 0 9 . В эллипс,

уравнение

которого

25 +

= 1.

5 1 0 . х 2 +

у2 = 9 . 5 1 1 .

; ) + ю

= L

512‘ 9 ~ 4/3' 513, 9 = 2/3- 514‘ 41 = 1/3,

42 = 4/5.

515.

1) §5 -

=

U

г)

Т

"

15 =

3> Т ”

\ ~

1; 4)

ST "

Ж '■

180

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ

J 2

|>2

л»2

»J2

«|2

м2

«2

Б18.

1) 36 -

^ 4 =

-

1; 2)

И

"

V

=

“ 1; 3) 100

"

576 =

“ 1; 4)

24 “

25 = - 1 ;

5) ^

_ «1 = -1 . 517 . 1)

а = 3, 6 s

2; 2)

а = 4,

Ь= 1; 3) а = 4,

6 = 2;

4) а =

1,

6 = 1 ;

5) а =

5/2,

6 =

5/3;

6)

а =

1/5, 6 =

1/4; 7)

а = 1/3,

6 =

1/8.

5 1 8 . 1) о =

3,

6 = 4; 2)

Fi ( - 5 ;

0),

F 2 (5; 0);

3)

е =

5/3;

4)

у = ± |

ж; 5) х =

± § .

51 9 . 1) а =

3,

Ь =

4;

2)

Fi (0; - 5 ) ,

F 2 (0; 5); 3) е

=

5/4;

4) у

=

± j x ;

5)

у =

6 2 0 .

12.

Рис. 105

Рис. 100

5 2 1 . 1) Часть гиперболы -g- -

=

1, расположенная в верхней полуплоскости

(рис. 107); 2) ветвь гиперболы ж2 —

= —1, расположенная в нижней полу-

X2

I/2

=

lf расположенная в левой

плоскости (рис. 108); 3) ветвь гиперболы Хё “

9

полуплоскости (рис. 109); 4) ветвь гиперболы 55

~

^

= —1, расположенная

в верхней полуплоскости

(рис.

110).

5 2 2 . х — 4 >/1Гу +

10

=

0

и х -

10

= 0.

523 . Г| =

9/4,

г2

=

41/4.

52 4 .

8.

5 2 5 . 12.

52 6 .

10. 5 2 7 .

27.

5 2 8 . (10;

9 /2)

и (10; - 9 /2 ) .

529 . ( - 6; 4%/Т)

и

(—6; -A yft).

5 3 0 . 25/12,

313/12.

5 3 1 .

См.

рис. 111.

632 .

1)

Я -

£

=

1: 2) **

- к * =

l«i 3) -

£

=

1, 4)

£

- £

“ л "

б

Щ

-

3 5 5 Д 6

=

11

5\>

1=б

-'•

5 3 3 -

£

=

■

/ 2 .

6 3 4 .

£

=

6 3 6 .

£

-

g

= 1.

6 3 6 .

^

- 540£. 1 )= f

c1.=

j a

£

-

=

2) ^

^

=

—1.

541 . 1) С (2; —3), а — 3, Ь — 4,

с =

5/3,

уравне-

ния директрис: 5х -

1 = 0, 5х -

19 =

0, уравнения асимптот: 4х -

Зу -

17 = 0,

4х +

Зу +

1 =s 0;

2)

С { —5; 1),

о

=

8,

Ь = 6, е =

1,25,

уравнения

директрис:

х — ~11,4

и х =

1,4,

уравнения асимптот: Зх + 4у + 11 = 0

и З х -4 у + 1 9

= 0;