книги / Сборник задач по аналитической геометрии

12 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ [Гл. 1

оси; зная, что его конец в точке В (1; —3), найти координаты его начала.

50. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала коор­ динат, зная длину d и полярный угол в каждого из них: 1) d = 5,

52. Вычислить проекции на координатные оси отрезков, зная

Вычислить длину и полярный угол следующих отрезков: 1) M iM j; 2) М 1М 3; 3) М Ж ; 4) М 4М 3.

56. Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат: 1) острый угол; 2) тупой угол.

оси, найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ох угол в = 27Г/3.

отрезка PQ на ось, которая составляет с осью Ох угол в = arctg |.

64. Даны две смежные вершины квадрата А (3; - 7 ) и В ( - 1; 4). Вычислить его площадь.

65. Даны две противоположные вершины квадрата Р (3 ;5 ) н Q (1; - 3 ) . Вычислить его площадь.

66. Вычислить площадь правильного треугольника, две верши­ ны которого суть А (—3; 2) и В ( 1; 6).

67 . Даны три вершины А (3; - 7 ) , В ( 5; - 7 ) , С ( - 2; 5) паралле­ лограмма A B C D , четвертая вершина которого D противополож­ на В . Определить длины диагоналей этого параллелограмма.

68. Сторона ромба равна 5 \/Т(7, две его противоположные вер­ шины суть точки Р ( 4; 9) и Q (—2; 1). Вычислить площадь этого ромба.

69. Сторона ромба равна 5 у/2, две его противоположные вер­

73. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M i (1; 1), М 2 (0; 2) и Мз (2; - 1) тупой угол.

14 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ [Гл. 1

74. Доказать, что все внутренние углы треугольника с верши­

77. На оси абсцисс найти такую точку М , расстояние от ко­ торой до точки N (2; - 3 ) равнялось бы 5.

78. На оси ординат найти такую точку М , расстояние от ко­

§ 5. Деление отрезка в данном отношении

Если точка М (х; у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки

Если точка М является серединой отрезка Mi М2 , то ее координаты определя­

ются по формулам

87. Центр масс однородного стержня находится в точке М (1; 4),

89 . Даны точки 4 ( 3 ; —1) и В ( 2; 1). Определить:

1) координаты точки М , симметричной точке А относительно точки В ;

2) координаты точки iV, симметричной точке В относительно точки А.

90 . Точки М (2; - 1), N ( - 1; 4) и Р ( - 2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.

В ( 1; 7) и точка пересечения его диагоналей М (1; 1). Определить две другие вершины.

93 . Даны три вершины А (2; 3), В ( 4; - 1) и С(0; 5) параллело­ грамма A BCD . Найти его четвертую вершину D.

94 . Даны вершины треугольника .4(1; 4), В { 3; - 9 ) и С ( - 5 ; 2). Определить длину его медианы, проведенной из вершины В.

95 . Отрезок, ограниченный точками А ( 1; - 3 ) и В (4; 3), разде­ лен на три равные части. Определить координаты точек деления.

96 . Даны вершины треугольника А (2; —5), В ( 1; - 2 ) и С (4; 7). Найти точку пересечения биссектрисы его внутреннего угла при

С ( —1; —2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине А.

98 . Даны вершины треугольника А ( - 1; - 1), В (3; 5) и С ( - 4 ; 1). Найти точку пересечения биссектрисы его внешнего угла при вершине А с продолжением стороны ВС .

99 . Даны вершины треугольника 4 (3 ; - 5 ) , В (1; - 3 ) , С (2; - 2 ) . Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В .

105. Прямая проходит через точки 4 (5; 2) и В ( - 4 ; - 7 ) . Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.

16 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ (Гл. 1

109. Точка М пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины его— точки А (2; - 3 ) и В ( - 5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек

М и С.

ной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез, прямые разреза проходят через центр квадрата, оси координат направле­ ны по ребрам пластинки (рис. 4). Определить центр масс этой пластинки.

112. Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными а и Ь, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по ребрам пластин­ ки (рис. 5). Определить центр масс этой пла­

стинки.

113. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединя­ ет середины двух смежных сторон, оси коорди­ нат направлены по ребрам пластинки (рис. 6). Определить центр масс пластинки.

§ 6 . П лощ адь треугольника

Каковы бы ни были три точки А{х\\ у\), В (х г; i/г) и С (х 3; уз), площадь S

треугольника АВС дается формулой

1 а?2- XI уг~У\

2 |13 - Ц уз - 7/1

Правая часть этой формулы равна + S в том случае, когда кратчайший поворот отрезка АВ к отрезку АС положителен, и —S в том случае, когда такой поворот отрицателем.

116. Вычислить площадь треугольника, вершинами которого

118. Определить площадь параллелограмма, три вершины ко­

120. Даны последовательные вершины однородной четырех­

ки. Определить координаты ее центра масс.

122. Площадь треугольника S = 3, две его вершины суть точ­ ки Л (3; 1) и В { 1; - 3 ) , а третья вершина С лежит на оси Оу. Определить координаты вершины С.

123. Площадь треугольника S = 4, две его вершины суть точ­ ки А (2; 1) и В ( 3; - 2), а третья вершина С лежит на оси Ох. Определить координаты вершины С.

124. Площадь треугольника 5 = 3, две его вершины суть точки

125. Площадь параллелограмма 5 = 12; две его вершины суть точки Л ( - 1 ;3 ) и В ( - 2 ; 4). Найти две другие вершины этого

18 ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ 1Гл. 1

параллелограмма при условии, что точка пересечения его диаго­ налей лежит на оси абсцисс.

126. Площадь параллелограмма S = 17; две его вершины суть точки А (2; 1) и Б (5; - 3 ) . Найти две другие вершины этого парал­ лелограмма при условии, что точка пересечения его диагоналей лежит на оси ординат.

§ 7. Преобразование координат

Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

х = х' + а, у - у ' + Ь.

Здесь х, у— координаты произвольной точки М плоскости относительно ста­ рых осей, х', у' — координаты той же точки относительно, новых осей, а, Ь— координаты нового начала О' относительно старых осей (говорят также, что а — величина сдвига в направлении оси абсцисс, Ь— величина сдвига в направ­ лении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол а (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

х = х' cos а —у' sin а, у = х' sin а + у1cos а .

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно ста­ рых осей, х\ у' — координаты той же точки относительно новых осей.

Формулы

х = х' cos а - у1sin а + а, у = х' sin а + у' cos а + 6

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину 6 в направлении Оу и последую­

щем повороте осей на угол а. Все указанные формулы соответствуют преобра­ зованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предпо­ лагается также в нижеприводимых задачах.

127. Написать формулы преобразования координат, если на­ чало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) А {3; 4); 2) В { - 2; 1); 3) С ( - 3 ; 5).

128. Начало координат перенесено (без изменения направления

координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 1) в точку А\ 2) в точку В ;

3)в точку С.

130. Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими

системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе. 133. Даны точки М (3 ; 1), N ( - 1; 5) и Р ( - 3 ; - 1).- Найти их координаты в новой системе, если оси координат повернуты на

угол: 1) -4 5 ° ; 2) 90°; 3) -9 0 °; 4) 180°.

134. Определить угол а, на который повернуты оси, если фор­ мулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

В (2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

136 . Написать формулы преобразования координат, если точ­ ка М\ (2; —3) лежит на новой оси абсцисс, а точка Mo (1; - 7 ) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

137. Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох', Оу' име­ ют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А (3; —4) определены от­ носительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох' опре­ делено отрезком ОА.

138. Начало координат перенесено в точку 0 '( - 1 ; 2), коорди­

140. Определить старые координаты нового начала и угол а, на который повернуты оси, если формулы преобразования ко­

положительное направление новой оси абсцисс совпадает с на­ правлением отрезка М\М2. Вывести формулы преобразования координат.

142. Полярная ось полярной системы координат параллель­ на оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты по­ люса 0 (1 ; 2) и полярные координаты точек M i (7; 7г/2), М2 (3; 0), Мз (5; - 7г/2), M I (2; 27г/3) и Ms (2; - 7г/6). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе.

143. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направ­

угольные ординаты этих точек.

144. Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса 0 ( 3 ; 2) и точек Mi (5; 2), М 2 (3; 1), М3 (3; 5), М 4 (3 + V2-, 2 - ^ 2 )

иMs (3 + '/З ] 3). Определить полярные координаты этих точек. 145. Полюс полярной системы координат совпадает с началом

декартовых прямоугольных координат, полярная ось направле­ на по биссектрисе первого координатного угла. Даны декарто­ вы прямоугольные координаты точек M i ( - 1 ; 1), М2 (у/2 \- V 2 ) , М з(1; л/1Г), М4 (-- / Г ; 1) и Ms(2\/3"; - 2). Определить полярные координаты этих точек.