книги / Турбулентное смешение газовых струй

соотношения (3.44) при &ит -+■0:

стЬ p±SL Pep 1,1'

Отсюда получаем

При постоянном значении коэффициента турбулентной диффузии эти уравнения легко интегрируются. В резуль­ тате имеем соответственно для осесимметричного течения

где D° —DluzR = D/т.

В соотношениях (3.43) и (3.44), атакже в последующих выкладках используется понятие средней плотности рС1,. Нужно отметить, что значение среднейплотности в разных соотношениях и в левойиправойчастяхэтихсоотношений не одинаковы. Тем не менее для получения качественных зависимостей,характеризующих восновном приближенную пропорциональность одних величин другим, представ­ ляется возможным произвести соответствующие дей­ ствия с параметром рср как с единой алгебраической ве­ личиной.

Соотношения (3.45) и (3.46) позволяют описать законо­ мерности развития течения в основном участке струи, если известна связь характерного значения коэффициента турбулентной диффузии D0 с основными определяющими параметрамитеченият , н, ô°, ô“ и D°v а также если опре­

делено значение гсср. Поскольку в опытах исследовалось осесимметричное течение, в дальнейшем на нем будет сосредоточено основное внимание.

Удовлетворительного описания параметров струи в спутном потоке можно достигнуть, если рассмотреть три6

6 Г.II. Абрамович и др.

случая теченпя: течение с нулевым избыточным импуль­ сом, течение, в котором определяющую роль играет спут­ ныйпоток, и течение, в котором определяющую роль игра­ ет начальный импульс струи; предельным случаем такого течения является затопленная струя. При этом рассмот­ рение будет базироваться на уже высказанном предполо­ жении о постоянстве характерного значения коэффициен­ та турбулентной диффузии вдоль потока.

5. Как уже отмечалось, одним из основных парамет­ ров, определяющих характеристики течения в струе на больших расстояниях от исходногосечения, является зна­ чение избыточного импульса /, которое остается постоян­ ным вдоль потока. В осесимметричном течении размер­ ностью коэффициента диффузии (при условии независи­ мости его от продольной координаты) обладает комплекс

Очевидно, что для больших удалений характерными значениями плотности и скорости являются их значения в спутном потоке, т. е. перемешивание, связанное,с сило­ вым воздействием струи на поток, описывается коэффици­ ентами турбулентной диффузии, которые определяются соотношениями (3.47) —(3.48).

Кроме этого, в потоке действуют и другие механизмы переноса. В частности, собственная турбулентность спут­ ного потока, характеризуемая коэффициентом турбулент­

ной диффузии Z)2, а также турбулентность, генерируемая в начальной части течения в пограничных слоях, которая

характеризуется коэффициентом диффузии D\ и играет доминирующую роль при Г = 0. Можно предположить, что суммарный эффект переноса примеси определяется су­ перпозицией указанных процессов переноса:

где klt к2 и /с3—некоторые коэффициенты, зависящие от расстояния и основных параметров течения. В этом случае

соотношение (3.45) можно представить соответственно для

(3.40) и (3.41), определим значения коэффициентов к[ и

параметра /гсрх:

к{ = 9,5 (для осесимметричной струи), к'1п = 11 (для

плоской струи), нср1 = п.

Для определения коэффициента к'г рассмотрим течение за источником конечных размеров, не возмущающим ос­ новной поток, в котором коэффициент турбулентной диф­ фузии D = Dz (и = и2, р =гр2). В этом случае в прибли­ жении пограничного слоя задача для больших удалений имеет точное решение. Из условия сохранения расхода примеси имеем

ЬR

\ cuifdy = сиуЧу.

ОÔ

Всоответствии с условиями задачи и = const. При этом

1 ст - Х

2г (6°)l+1Jcp^)V^

о

Профили концентрации на больших удалениях извест­ ны, поэтому имеем

] 1

ср(ц)dr\ ~ 0,45, Jф (ц)ildr\~ 0,129.

оо

Ширину профиля концентрации можно связать с продоль­ ной координатой и коэффициентом турбулентной диффу­ зии, используя определение коэффициента диффузии:

D = lim 1 dY* 2 dl ’

где Y2 —дисперсия примеси.

При больших удалениях и обычном условии переноса х = ut имеем

Для струйных профилей величина дисперсии связана с шириной профиля соотношением

У2 » 0,14 Ъ2.

В соответствии с этим получаем соответственнодля осе­ симметричного и плоского течений

Остается установить связь между значением макси-?

мальнойконцентрации ст и параметрами т и п в равномер­ ном потоке.

На больших расстояниях от источника, где ширина профиля концентрации в соответствии с соотношением (3.53) определяется значением коэффициента турбулентной диффузии и не зависит от размеров источника, характер­ ное значение концентрации в данном сечении зависит от соотношения потоков массы, втекающих в пределы струи:

Из сопоставления соотношений (3.50), (3.51) и (3.55) имеем

/С‘2 /Сдп — ^Ср2 ~ И.

6. Рассмотрим случай нулевого избыточного импульса /° = 0. Как уже указывалось, этот случай соответствует условию т 1, т. е. такому превышению скорости в ис­ ходном сечении струи над скоростью спутного потока, когда потеря импульса в пограничных слоях и из-за воз­ можного градиента давления компенсируется указанным избытком скорости в исходном сечении струи. При этом турбулентный перенос на больших расстояниях от среза сопла обусловлен турбулентными пульсациями, которые возникают в пограничных слоях и сносятся вниз по по­ току. Вообще говоря, эти пульсации затухают при боль­ ших удалениях от среза сопла, но данные опытов показы­ вают, что в рассматриваемом участке струн (х° 200)

они весьма существенны и именно они определяют сме­ шение. Это значит, что интенсивность турбулентного

перемешивания не уменьшается до нуля при1°-*■ 0, даже если турбулентность во внешнем потоке отсутствует. Та­ кое неограниченное уменьшениеинтенсивноститурбулент­ ного перемешивания могло бы реализоваться лишь при условии абсолютно равномерного распределения скорости на срезе соплового устройства, т. е. в том случае, когда

/° = 0 достигается при т.м= 1.

Течение при неравномерном начальном профиле ско­ рости и 1° = 0 рассматривалось применительно к задаче о следе за движущимися телами. Теоретически эта задача исследовалась в работах [15, 65]; в работе [66] приведены результаты экспериментального изучения те­ чения за телом специальной формы при Г = 0. Теоре­ тический анализ относится либо к ламинарным течениям, либо к таким турбулентным течениям, в которых характе­ ристики турбулентного переноса определяются локаль­ ными градиентами скорости. Поэтому полученные в ука­ занных работах результаты не могут быть использованы для анализа рассматриваемого здесь случая течения, по­ скольку в соответствии с данными опытов было сделано предположение о постоянстве характерных значений па­ раметров переноса вдоль течения.

В случае нулевого избыточного импульса при турбу­ лентном течении определяющая роль исходных возмуще­ ний еще более очевидна, чем в рассмотренных уже слу­ чаях. Теоретический анализ показывает, что в таком те­ чении из-за быстрого уменьшения характерного дефекта скорости и слабого роста характерной ширины ее про­ филя [15, 65]происходит интенсивное (более интенсивное, чем в спутной осесимметричной струе) уменьшение харак­ терной турбулентной вязкости (диффузии), связанной с ло­ кальными градиентами. Поэтому естественно ожидать, что при нулевом значении избыточного импульса, так же как и в других случаях течения, в спутном потоке смеше­ ние будет определяться турбулентностью, сносимой пото­ ком (при постоянном значении коэффициента турбулент­ ного переноса).

Это подтверждается результатами измерения характе­ ристик турбулентности в следе за телом специальной фор­ мы при 1° = 0, приведенными в работе [66], согласно ко­ торым максимальное значение турбулентной вязкости практически постоянно вдоль всего точения.

Можно считать, что в реальных условиях турбулент­ ного течения при 7° = О характеристики турбулентного переноса в основном участке струи определяются турбу­ лентностью, генерируемой в сдвиговом течении началь­ ного участка. При этом можно рассмотреть несколько характерных предельных случаев течения, для которых удается получить приближенную связь характерного зна­ чения коэффициента турбулентной диффузии с определяю­ щими параметрами течения.

Рассмотрим осесимметричное течение. В этом случае для выражения величины относительного избыточного импульса через основные параметры течения можно ис­ пользовать прималой толщинепограничных слоев следую­ щее приближенное соотношение:

Г'—2^ри(и —и2)уdy• (о^Я2)'1=

о

- г,Йг ( v - *) • i ‘ ( т ) + 2S тг(‘ - 5 ) - И ( * ) +

+ J ] ï r

~ 1 —m —20° —2ôiP(1 - те)- 2тЫ1 (3.56)

Пренебрегая величиной 2ôlp по сравнению с едини­ цей, получим

Соотношение (3.57) показывает, что влияние наруж­ ного пограничного слоя на смещение режима течения с ну­ левым избыточным импульсом от значения те, равного единице, в значительной мере зависит от относительной плотностинаружного потока п. Чем больше л, тем сильнее проявляется влияние наружного пограничного слоя.

Соотношения (3.56) и (3.57) могут быть использованы для определения характеристик турбулентного переноса при те —те* (7° = 0). Еслизначение те* близко кединице, то характеристики турбулентности будут близки к харак­ теристикам турбулентности в следе за пластиной (в кото­ рую может быть предположительно развернут контур

сопла), обтекаемой потоками разной плотности с соответ­ ствующими пограничными слоями.

Коэффициент турбулентной диффузии определяется согласно соотношению (3.48) силовым воздействием такой пластины на поток в целом:

D 1 —р1Ц(6Г+ т!л0Г> Рсрмср Рсриср

Тогда в соответствии с обозначениями, принятыми в соот­ ношениях (3.45) и (3.57), при т æ 1 имеем

Если значение параметра m* заметно отличается от единицы, то характеристики турбулентности будут опре­ деляться сдвиговым течением. Используя соотношение (3.20) для зоны смешения, получим

Протяженность области, где в основном порождается турбулентность при Г = 0, пропорциональна длине на­ чального участка. Ниже по течению порождение турбу­ лентности в этом случае относительно невелико и величина коэффициента турбулентной диффузии соответствует его значению в конце начального участка струи. Протяжен­ ность последнего при значении т *, заметно отличающем­ ся от единицы, может быть найдена из соотношения (3.34)

х ________ I{ (1 + тп)

(1-МН1-Ш) ’

Из двух последних соотношений имеем

Явления, связанные с порождением турбулентности в сле­ де за пограничными слоями, а также в зоне смешения, по-

видимому, достаточно полно отражают процессы, проис­ ходящие в потоке при Г —0. Оба итоговых соотношения (3.58) —(3.59) для характерных значений коэффициентов турбулентной диффузии при Г = 0 показывают, что ком­ плекс nopD°, который согласно (3.45) определяет вели­ чину сш, в обоих случаях слабо зависит от отношения плотностей п и практически зависит только от разности (1 —- т%). При этом суммарный эффект, вызываемый по­ рождением турбулентности в начальном участке струп, дает значение коэффициента турбулентной диффузии, про­ порциональное разности (1 —т%):

Это соответствует значениям нс„ = иср.с для следа и

"ср = (/Й/(1 + /«))*''’ для слоя смешения. Аналогичным образом можно проанализировать слу­

чай Г = 0 для плоского течения, для которого связь от­ носительного избыточного импульса с определяющими параметрами течения дается уже точным соотношением,

Так же как и в осесимметричном течении (3.57), влия­ ние наружного пограничного слоя на смещение режима течения с нулевым избыточным импульсом от значения т = 1 к значениям т < 1 зависитототносительной плот­ ности наружного потока п. Однако влияние пограничных слоев на это смещение в плоском случае слабее, чем в осе­ симметричном.

Если значение т% близко к единице, то по аналогии с (3.58) получаем

г; + т\ ш>1

(3.62)

Существенное отличие т% от единицы обусловлено превалирующим влиянием наружного пограничного слоя из-за большой его толщины или большой относительной плотности наружного потока. В этом случае характер­ ное значение коэффициента турбулентной диффузии опре­ деляется толщиной пограничного слоя: