книги / Турбулентное смешение газовых струй

В гл. I толщина профиля температуры определяется при л = 25%. Это объясняется тем, что профиль температуры близок к прямолинейному

л>

АТ

0,5

способом расчетных профилей («старая» теория Л. Пран­ дтля) с опытными данными представлено на рис. 2.10.

Полученное совпадение значительнохуже, чем в координа­ тах р (u), Т (и) (см. рис. 2.9). Получающееся расхождение в основном связано с неточностями кактеории, так и опыт­ ных данных вблизи границы зоны смешения. Характерно, что влияние параметра п на профили р и Т потеориисиль­ нее (рис. 2.10, а, в), a на профиль и слабее, чем это пока­ зывают опытные данные. Если провести аналогичное

б)

Рис. 2.11. Расчетные профили скорости и и плотности р в зоне смешения, соответствующие «повой» теории Л. Прандтля. Обо­ значения, как на рис. 2.10.

построение прииспользованиирезультатоврасчетовпо«но­ вой» теории Л. Прандтля, то из-за качественно иного по­ ведения всех функций вблизи границ зоны смешения за­ висимости типа Д и° (т]) и Др° (rj) будут выглядеть иначе (рис. 2.11). Так, например, профили Др° (-ц) в этом случае будут значительно слабее зависеть от п, а влияние это­ го параметра на профиль Ди° (т|) наоборот усилится.

3. Анализ результатов численного расчета показывает, что «старая» теория Л. Прандтля дает несколько лучшее по сравнению с «новой» совпадение с опытными данными, особенно вблизи границ зоны смешения. Из-за убывания значения турбулентной вязкости к границам зоны смеше­ ния, которое имеет место в «старой» теории Л. Прандтля, все параметры достигают своих предельных значений при конечных значениях поперечной координаты. Опытные

данные и, в частности, визуализация зоны смешения с по­ мощью прибора Теплера (см. рис. 3.1 и 3.11) показывают, что зона смешения отделена от невозмущенных потоков четкими границами. Современные представления о струк­ туре зоны смешения [36] разграничивают область, внутри которой газ завихрен и интенсивно перемешивается, и область потенциального течения. Вовлечение новых пор­ ций газа в процесс смешения происходит за счет беспоря­ дочного искривления поверхности, разделяющей эти об­ ласти. Несомненно, что эти представления ближе соответ­ ствуют «старой»] модели смешения Л. Прандтля. Однако в этой теории принята чрезмерно большая степень стрем­ ления к нулю турбулентной вязкости.

Наилучшее совпадение с опытом, по-видимому, дала бы какая-нибудь промежуточная модель смешения. В работе А. Таунсенда [36] отмечается очень хорошее совпадение теории с опытом, когда в качестве Е (у) использовалось соотношение (2.5) с дополнительным коэффициентом пере­ межаемости у (у), который в середине зоны смешения близок к единице, а по мере удаления от зоны смешения экспоненциально убывает до нуля.

Для того чтобы в дальнейшем не загромождать анализ результатов численных расчетов черезмерным количеством примеров, речь, за небольшим исключением, будет идти только о «старой» теории Л. Прандтля. Как отмечалось, эта теория лучше других соответствует эксперименталь­ ным профилям осредненных параметров и более обосно­ вана применительно к смешению потоков с малой интен­ сивностью турбулентности.

Геометрическое положение зоны смешения в простран­ ствеудобнохарактеризоватьотношением координаты одной из границ зоны смешения к ее толщине. На рис. 2.12 приведено сравнение с опытом расчетного значения отно­ шения | 2/Д|, где Д| —gj —- £2, а | 2 “ координата внеш­ ней границы зоны смешения. По мере увеличения отно­ шения скоростей т и плотностей п зона смешения пово­ рачивается в сторону оси струи и значение —|3/Д£ убы­ вает. Учитывая неточность определения границ струи, можно отметить вполне удовлетворительное согласование теоретических и экспериментальных дапных.

4. Чтобы полностью описать течение в зоне смешения, необходимо конкретизировать вид зависимости А (я),

котораявходитв преобразованнуюпоперечнуюкоординату. Найдемсвязь характерной толщины зоны смешения вфизи­ ческих координатах b = у1—у2 (см. рис. 2.1) с толщи­ ной зоны смешения Д|а = h —£2 в преобразованных координатах, где и | 2 —границы зоны смешения, опре­ деленные по профилям, представленным на рис. 2.6—2.7,

- ш

Рис. 2.12. Относительное положение внешней границы золы сме­ шения при т = var, п = var. Обозначения, как на рис. 2.10.

а индекс а соответствует «старой» (а=2) и «новой» (а=1) теории Л. Прандтля. С этой целью воспользуемся опре­ делением координаты I (2.55) и запишем

дтля (а = 1),

получим окончательное выражение для Ъ(т , я, х). Зна" чения Д£а, приведенные на рис. 2.13 для а = 2 и 1, оп

Рис. 2.13. Расчетная зависимость вспомогательной функции Д|а от т и п при а ~ 2 и а = 1.

выкладки, выпишем три выражения для b, соответствующие трем значениям (2.86) для А (я):

где Д§2 и Agx —функции параметров т и п, представлен­ ные на рис. 2.13.

Все эти соотношения соответствуют лннейной зави­ симости b от продольной координаты х н при т = 1 при­ водят к нулевой толщине зоны смешения. Для того чтобы отдать предпочтение какой-либо из этих формул, целесо­ образно рассмотреть зависимость углового расширения зоны смешения bjx от параметров т и п. Текущее значе­ ние b/х, отнесенное к значению при яг = 0и л= 1,3и обозначенное через (b/zf, представлено на рис. 2.14, а

для формулы (2.87) и на рис. 2.14, б для формулы (2.88). Простое сопоставление этих зависимостей с эксперимен­ тальными данными показывает, что формула (2.88), а сле­ довательно, и соотношение I = с2Ь значительно ближе соответствует опытным данным.

По-видимому, наиболее правильным критерием спра­ ведливости полуэмпирических теорий можно считать сте­ пень универсальности постоянных, входящих в соотноше­ ния (2.87) —(2.89). На рис. 2.15 представлены значения

опытом достигается не всегда при значениях 2с2= 0,012; так, при m æ 0, п = 7,25и вобласти0,5< 2 постоян­

ная2с\ заметно превышает указанную величину. Это оз­ начает, что в этих случаях смешение идет более интен­ сивно, чем это следует из теории Л. Прандтля при значе­

нии универсальной постоянной 2с\ = 0,012. Наиболее вероятной причиной этого расхождения следует считать особенности проведения экспериментов, которые не учи­ тываются в теоретических расчетах. Рассмотрим эти осо­ бенности в каждом из указанных случаев.

Значения тп = 0, п —7,25 соответствуют смешению затопленной гелиевой струи. Различие молекулярной вяз­ костидля гелия, воздуха и фреона прификсированных раз­ мерах сопла приводило к тому, что при проведении изме­ рений (см. гл. I) числа Рейнольдса в струе гелия были заметно ниже, а в струе фреона—выше, чем в струе возду­ ха. Известно [37, 38], что увеличение числа Рейнольдса в свободных струйных течениях сопровождается умень­ шением перемешивания и сокращением толщипы зоны смешения, если числа Рейнольдса выше критических и течение турбулентное. Особенно заметеи этот эффект при переходных числах Рейнольдса, когда исходные погра­ ничные слои ламинарны, а течение в зоне смешения тур­ булентно. Наряду с влиянием числа Рейнольдса различие экспериментальных и теоретических данных при смеше­ нии затопленных струй может быть обусловлено влиянием архимедовых сил, которые не учитываются в расчетах.

В области чисел 0,5 ^ т ^ 2, т. е. при смешении по­ токов с близкими значениями скоростей, турбулентность,

порождаемая разницей скоростей, становится соизмери­ мойс турбулентностью, которая имеетсявследе за кромкой с прилежащими к ней пограничными слоями. В этом диапазоне чисел т в теоретическом расчете нельзя игно­ рировать неравномерность исходных профилей скорости, которая сохраняется на большом удалении от кромки сопла и приводит к тому, что профили скоростей вдоль зоны смешения оказываются неподобными. Кроме того, из-за наличия турбулентности в начальных пограничных слоях при х = 0 турбулентная вязкость не равна нулю даже при т = 1. Можно предположить, что в этом случае выражение для турбулентной вязкости представляет со­ бой суперпозицию турбулентной вязкости в начальных пограничных слоях и вязкости, порождаемой в зоне сме­ шения разностью скоростей. Эта точка зрения подкреп­ ляется анализом уравнения для турбулентной вязкости [28] и обобщением опытных данных, которое было сдела­ но Р. К. Тагировым и О. В. Яковлевским.

Поскольку полученные выше аналитические и числен­ ные решения справедливы при произвольной зависимости турбулентной вязкости от продольной координаты (в фор­ муле (2.54) А (х) произвольно), то все полученные ре­ зультаты можно распространить и на случаи, когда соот­

ношения для А (х) отличны от (2.86) и учитывают влия­ ние начальных пограничных слоев. Более подробно такой анализ будет представлен в гл. III. Здесь необходимо лишь подчеркнуть, что несоответствие опытных и расчетных данных в области 0,5 ^ т ^ 2 объясняется не столько несовершенством теории Л. Прандтля, сколько ограни­ ченностью самойпостановкитеоретического анализа, в ко­ тором рассматривалось только автомодельное решение. Хотя с помощью теории Л. Прандтля трудно описать все особенности профилей скорости вблизи кромки сопла, т. е. на участке перестройки течения от пограничных сло­ ев к зоне смешения, тем не менее при решении неавтомо­ дельной задачи с учетомреальных профилей скорости вда­ ли от кромки сопла можно ожидать удовлетворительного

скольку в качестве одного из граничных условий было принято v1 = 0, па внутренней границе зоны смешения величина Vx = 0; по мере удаления от внутренней грани­ цы зоны смешения значение Vстановитсяотрицательным и достигает минимума при | ж 0. С приближением к внешней границе струи скорость V возрастает и, как пра­ вило, принимает при £ = | 2 положительное значение см. рис. 2.1). Для получения абсолютных значений ско­ рости v по данным рис. 2.1 можно воспользоваться соот­ ношением

Расчеты по формуле (2.90) показывают, что при т —0 большая скорость втекания в зону смешения со стороны впешнего потока соответствует струям с большей плот­ ностью. Расчетные значения скорости | vz | при т —0 описываются приближенной формулой, справедливой в

исследованном диапазоне значений п:

/Й-^-жЗ-Ю -2. (2.91)

В соответствии с формулой (2.91) в струю фреона (п— —0,27) воздух всасывается соскоростью, в 5 раз большей

Рис. 2.16. Распределение поперечной скорости V в зоне смешения при различных значениях параметров п.

чем в струю гелия (п = 7,25). В то же время, как это от­ мечалось в гл. I, относительный расход в струе гелия растет быстрее, чем в струе фреона, поскольку начальный расход в струе при одинаковой скорости истечения обрат­ нопропорционален параметру п.

При рассмотрениирис. 2.16 обращает на себя внимание случай т = 0,25, п = 7,25, когда на внешней границе струи поперечная скорость V2 отрицательна и внешний поток приобретает скорость, направленную от оси струи. На рис. 2.17 приведены значения скорости V2 на внешней границе зоны смешения. Видно, что в соответствии с опыт­ нымиданнымиприп > 1 имеется область значенийт > 0, при которых V2 < 0. Может показаться, что в этих слу­