книги / Турбулентное смешение газовых струй

ности е = Vu,zJu слабо зависит от абсолютного уровня скорости, то турбулентная вязкость будет пропорциональ­ на уровню средней скорости й и какому-либо геометриче­ скому масштабу. Структура соотношений (2.8) и (2.9) как раз соответствует такому случаю турбулентного сме­ шения, поскольку в этих соотношениях турбулентная вязкость пропорциональна абсолютному значению скоро­ стипотока. Коэффициенты пропорциональностиА (я) вфор­ муле (2.8) и х в (2.9), в соответствии с отмеченными выше особенностями смешения потоков с начальной турбулент­ ностью, должны при этом зависеть от интенсивности тур­ булентности е.

Таким образом, можно априори предположить, что теория Л. Прандтля физически обоснована для случаев смешения невозмущенных потоков, когда турбулентность появляется в процессе их смешения из-за наличия гради­ ента осредненной скорости. Соотношения типа (2.8) и (2.9) при надлежащем подборе функции А (ж) или посто­ янной хАмогут дать совпадение с опытом для процесса смешения предварительно турбулизированных потоков, когда градиенты скоростейне играют определяющей роли. Однако при этом А (х) и не универсальны и зависят от начального уровня турбулентности е и других пара­ метров.

ТеоБия Л. Прандтдя в силу локального характера со­ отношений (2.4) и (2.5), согласно которым трение и тур­ булентная вязкость связываются с параметрами потока в данной точке, также не лишена недостатков. В этой теории не учитываются предыстория потока, а также от­ меченные выше механизмы конвективного или диффузион­ ного переноса пульсаций в данную точку потока. Указан­ ные недостатки вынудили самого Л. Прапдтля и многих других исследователей обратиться к соотношению (2.3) и искать для величин е и L более сложные связи с осредненными параметрами течения. В работах А.- Н. Колмо­ горова [13J, Л. Прандтля [14J и И. Ротта [21) были вве­ дены гипотезы о механизме диффузии и диссипации тур­ булентности и получены дифференциальные уравнения для е и L. Из решения этих уравнепин следует, что тур­ булентная вязкость Е зависит от предыстории течепия п граничных условий, что устраняет отмеченный выше

Здесь щи —продольная и поперечная скорости, р — плотность, р —давление, h —энтальпия, с —массовая концентрация, Ilj —члены, описывающие молекуляр­ ный перенос, г = 0 и 1 соответствует плоскому и осесим­ метричному течению.

При осреднении этих нестационарных уравнений дела­ ется ряд допущений и предположений. Рассмотрим схему представления мгновенных значений параметров через осредненные и пульсационные величины. В работе Ван Драйста [29] было предложено считать, что комплексы (ри) и (ру) пульсируют как слитные величипы, т. е. при­

нималось, например, что pu = pu + (pu)'. Такая схема осреднения позволяет несколько упростить математиче­ ские выкладки. Например, осреднепное уравнение нераз­ рывности в этом случае будет выглядеть так же, как и при стационарном течении. Однако в целом такой способ ос­ реднения не избавляет от необходимости представления величины (pu)' в виде (pu)’ = ри + р'й + pV для оп­ ределения распределения скорости й. Поэтому такая схе­ ма мало чем принципиально отличается от обычного спо­ соба осреднения, где каждый параметр представляется в виде суммы осредненного и пульсационного составляю­ щего, например и = й + и', р = р + р' и т. д. Формаль­ ная процедура осреднения системы уравнений (2.12) — (2.15) по обычной схеме приводит к появлению большого

количества новых членов типа mV, pV, и'2, p'uv'. По­ скольку течение в струях обладает особенностями, при­ сущими течению в пограничном слое, осреднепные уравне­ ния можно упростить, используя тот факт, что все пара­ метры вдоль струи изменяются значительно слабее, чем

малость всех пульсациошшх составляющих позволяет

считать, например, p'u'v' t7pV ипренебречь тройными корреляциями по сравнению с двойными. Кроме того, при достаточно больших числах Рейпольдса члепы, содер­ жащие молекулярные коэффициенты переноса, малы по сравнению с аналогичными членами, соответствзчощпми турбулентному переносу. Здесь, по-видимому, уместно

отметить, что при умножении уравнений на пульсирую­ щийпараметр молекулярные члены также могут оказаться существенными. Так, если уравнение движения (2.12) умножить на скорость и осреднить, то в правой части этого уравнения появится сумма

Несмотря на наличие в выражении (2.17) в качестве об­ щего множителя молекулярной вязкости, относительная величина первого слагаемого в правой части (2.17) не убывает с ростом числа Рейнольдса [9]. Физически этот результат объясняется тем, что по мере увеличения числа Рейнольдса в турбулентном потоке убывает минимальный размер масштабов турбулентных пульсаций и растут мгновенные значения производных от пульсационной

Поэтому пренебречь этим слагаемым по сравнению с чле­ ном, содержащим турбулентное трение, нельзя. Аналогич­ ная сумма присутствует также в правой части осредненного уравнения энергии (2.13):

(2.18)

Здесь а —молекулярный коэффициент температуропро­ водности, а второе слагаемое соответствует притоку тепла вследствие вязкой диссипации и перехода кинетической энергии в тепловую. Относительная величина этого сла­ гаемого по указаннымвыше причинамне убывает с ростом числа Рейнольдса. Простые оценки, основанные на сооб­ ражениях размерности, показывают, что относительная величина этого слагаемого попорциональна квадрату числа Маха. Поэтому при дозвуковых течениях, которым посвящена дапная работа, этим слагаемым все же можно пренебречь. Анализ величин П£, содержащих молекуляр­ ные коэффициенты переноса в уравнениях (2.12) —(2.14), показывает, что при правильном осреднении уравнений их значения в дозвуковых потоках малы и имиможно пре­ небречь.

В системе уравнений (2.12) —(2.16) отсутствует урав­ нение движения в проекции на ось у. Известно 14], что

в случае турбулентных, струйных течений это уравнение приводится к виду

Уравнение (2.19) показывает, что в зоне смешения, где пульсации отличны от нуля, имеются области понижен­

ного давления. Вследствие малости пульсаций z/2 ^ и2, максимальное разрежение в струе обычно не превышает 5% от скоростного папора.

Поскольку в дальнейшем будут анализироваться толь­ ко изобарические течения, в уравнении движения можно положить dpjdx = 0.

2. С учетом всехперечисленных особенностей осредненная система уравнений (2.12) —(2.15) может быть записа­

В эту систему входят следующие неизвестные функ­ ции: mV—характеризующая турбулентное трение, h'и' —

турбулентную диффузию тепла, c'y'—турбулентную диф­ фузию вещества. Как отмечалось в монографии А. G. Ги-

невского [15], корреляция pV входит в систему уравне­ ний (2.20) —(2.23) особым образом. Если ввести новую функцию по формуле

то во всех уравнениях вместо явной зависимости от v ц pV появится зависимость только от г?*. Поскольку

на границе струиpV = 0 и граничное условие дляу*сов­ падает с условием для г7, то решение уравнений (2.20) — (2.25) для й, h, с и V* не зависит явно от распределения

величины pV. Отвеличины pV в соответствии с форму­ лой (2.24) зависит только распределение поперечной ско­ рости V.

Несмотря на достаточную очевидность этого результа­ та, в современной литературе, посвященной теоретическо­ му анализу струйного смешения, встречаются утверж­

дения о существенном влиянии члена pV. Так, например, в работе В. Шаблевского [30] на основании теории Л. Прандтля найден профиль скорости при смешении двух полубесконечных потоков различной плотности при близ­

pV = 0идля—pV = 2EdpJdy, показывает заметное раз­ личие формы профилей скорости, соответствующих этим двум случаям. Этот результат связан с неверным услови­ ем V= 0 при тш-> 1, принятым в работе В. Шаблевско­ го [30].

Для нахождения решения при т -+■ 1 необходимо уст­ ремить к нулю разность скоростей (иг —щ)-+ 0 и вы­ делить в уравнении движения (2.20) члены, имеющие порядок (% —щ)1. Можно показать, что более высокий порядок стремления к нулю в этом уравнении имеет член д(рüv^jjdy. В самом деле, из анализа уравнения неразрывности (2.23) следует, что v* имеет порядок

(мх —щ)2. Поэтому в уравнении (2.20) при pV == 0 и 7711 слагаемым, содержащим = г>*, можно пренеб­

речь. В случае pV =f= 0 величина v =f= v* в соответствии с формулой (2.24) становится равной по порядку осталь­

ным членам уравнения (2.20), так как pV — (и2 —щ)1- Неучет этогообстоятельствапривелВ. Шаблевскогок оши­

бочному заключению о влиянии величины pV на профиль скорости й (у), В действительности, как отмечалось выше,

отвеличины pV зависит только распределение поперечной скорости v (у), и поэтому во многих случаях членами, со­

держащими pV, можно пренебречь.

Воспользуемся соотношениями Буссинеска (2.1) и (2.2) для связи корреляции с осредненными параметрами

течения;

-*V±-Z>.£,

Сучетом соотношений (2.25) систему (2.20) —(2.23) можно привести к такому виду:

Система уравнений (2.26) —(2.29) описывает смеше­ ние несжимаемых потоков с произвольными параметрами и встречается в ряде монографий и статей. В частности, для случая, когда Dp = Dh = Dc —2Е, эта система ана­ лизируется в работах В. Шаблевского [30]. Однако удоб­ нее провести анализ несколько более частного случая смешения. С этой целью рассмотрим подробнее уравнение состояния (2.16). Обозначив индексами 1 и 2 параметры двух смешивающихся газов, получим на основании закона Дальтона формулу для молекулярного веса р смеси

где Pi и р2 —молекулярные веса смешивающихся газов,

В систему (2.26) —(2.29) в явном виде температура Т не входит, поэтому удобнее привести уравнение (2.30) к иному виду. Прн не слишком высоких температурах

гдеcPlисРг —теплоемкостисмешивающихсягазов. Исклю­ чая из (2.30) и (2.31) температуру, получим уравнение со­ стояния в виде

(2.32)

Это соотношение связывает три параметра р = ф (/&, с), причем эта связь справедлива для мгновенных значений р, h и с. Воспользуемся соотношением (2.32) для опреде­ ления связи между коэффициентами переноса, входящими в уравнения (2.26) —(2.29). В соответствии с этим соотно­ шением пульсации параметров р', h' и с' связаны друг с другом зависимостью

(2.33)

где Ô—члены, пропорциональные квадрату пульсаций с' и h'. Умножим это соотношение на пульсационную скорость v' и произведем осреднение, принебрегая трой­ ными корреляциями по сравнению с двойными:

(2.34)

Воспользуемся формулами Буссинеска (2.25) и пред­ ставим соотношение (2.34) в дифференциальном виде

Осредним соотношение р = <p(h, с),! пренебрегая корреля­

циями р р 'с ', с'h' вследствие их малости, и продиффе­ ренцируем это соотношение по у:

Умножим соотношение (2.32) на Dp и вычтем из (2.35):

В общем случае распределения величин h (у) и с (у) независимы друг от друга, поэтому из (2.37) следует

Напомним, что при выводе соотношений (2.38) были сделаны следующие допущения: 1) тройные корреляции малы по сравнению с двойными; 2) корреляции связаны с осреднепными параметрами формулами Буссинеска (2.25); 3) в осреднениом уравнении состояния роль кор­ реляционных членов несущественна. Эти же предположе­

ния использовались и при выводе уравнений (2.26) — (2.29).

Таким образом, система (2.26) —(2.29) дополняется условием (2.38) и осредненным уравнением состояния (2.32) . Покажем, что во многих случаях можно сущест­ венно упростить системууравнений. С этой целью рассмот­ рим, например, газы, для которых уравнение состояния (2.32) может быть записано в виде

Это соотношение справдливо при смешении одинаковых

газов, отличающихся только температурами См-х/М-з = = cpJcPl = 1), и при смешении газов одинаковой атомно­ сти (p!/u2 = cPi/cPl).

В случае, когда температура смешивающихся газов одинакова, но cPi/cPl Ф (Vp2, уравнение состояния с уче­ том соотношений (2.30) и (2.31) запишется так:

где

T' K - cviV* (P'2 —N

pi71(CpiCVt) P2 (pi- P?)

Этот вид упрощенного уравнения состояния перехо­ дит в (2.39) при кх = 0. Покажем, что во всех указанных случаях смешение газов описывается более простой систе­ мой уравнений.

Подставляя в уравнение (2.27) значение h, выражен­ ное через р из соотношения (2.40), после несложных пре­ образований получим

Используя уравнение неразрывности (2.29) и учитывая условия (2.38), получим из (2.41)

Это уравнение встречается в работах [30, 31] и приме­ нительно к смешению дозвуковых потоков различной плотности представляет собой уравнение сохраненияобъе­ ма меченных частиц газа при смешении. Строго говоря, оно справедливо лишь в указанных выше случаях, когда уравнение состояния может быть записано в виде (2.40). При этом система уравнений (2.26) —(2.29) упрощается, из нее можно выделить замкнутую подсистему из трех уравнений (2.26), (2.29) и (2.42), которые содержат три неизвестных функции й, ÿ, р. Важным следствием полу­ ченного разделения системы определяющих уравнений является тот факт, что при смешении газов с различной температурой и молекулярным весом эти параметры влияют на смешение не независимо друг от друга, а через плотность газов, значение которой определяется отноше­ нием молекулярных весов и температур смешивающихся газов.-Профиль плотности, определяемый системой урав­ нений (2.26), (2.29) и (2.42), позволяет с учетом гранич­

ных условий найти профиль энтальпии h из простых ал­ гебраических уравнений типа (2.39) или (2.40). Дифферен­ циальное уравнение (2.27), использованное при получе­ нии уравнения (2.42), в систему определяющих уравне­ ний в этом случае^не входит.